גזירות של cos x, sin x, eˣ ו-lin x
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | פונקציה מעריכית |
| logarithmic/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk/ | לוגריתמי |
| elementary derivatives/ˌelɪˈmentəri dɪˈrɪvətɪvz/ | נגזרות יסודיות |
ארבע נגזרות שחובה לשנן
- חוק החזקה מסתיים בחזקות של $x$. מעבר להן נמצאות הפונקציות היסודיות.
- ארבע מהן מופיעות באופן תדיר, ולכן ידע בנגזרות שלהן חשוב לדעת היטב.
- הן הן $\sin x$, $\cos x$, $e^x$, ו-$\ln x$.
- למד ארבע אלו ובשילוב עם החוקים הקודמים, תוכל לגזור מגוון רחב מאוד של ביטויים.
הזוג הטריגונומטרי
- $\dfrac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
- $\dfrac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ — שימו לב למינוס.
- בדיקה פרקטית: השיפוע של $\sin x$ בנקודה $0$ הוא $1$ (ה עלייה התלולה ביותר), ו-$\cos 0=1$. ✓
- (דורשים $x$ ב-רדיאנים — הנוסחאות המעודנות תקפות רק שם.)
שיפוע הסינוס הוא הקוסינוס
כאשר $\sin x$ התלול ביותר (בנקודה $0$), השיפוע שלו הוא $1$ — בדיוק $\cos 0$. הגזירה של $\sin$ היא $\cos$.
מהו $\dfrac{d}{dx}[\sin x]$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
$\dfrac{d}{dx}[\cos x]=$ ____ $\sin x$ (שים לב לסימן).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הגזירה של קוסינוס היא $-\sin x$.
הפונקציה האקספוננציאלית והלוגריתם
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — פונקציית האקספוננט היא הנגזרת שלה. השיפוע שלה תמיד שווה לגובה.
- $\dfrac{d}{dx}[\ln x]=\dfrac{1}{x}$ — הנגזרת הלוגריתמית, תקפה עבור $x>0$.
- $e^x$ היא הפונקציה היחידה שלא משתנה תחת גזירה.
- $\ln x$ הופכת למכפיל פשוט $\tfrac1x$ — תוצאה מפתיעה ומסודרת.
$e^x$ הוא גזירתו עצמו.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — ייחודי מבין הפונקציות.
מהי $\dfrac{d}{dx}[\ln x]$ (עבור $x>0$)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$.
שילוב עם כללי ההיסכום
- נגזרות יסודיות אלו מתאימות ישירות לכללי הסכום, הפרשה והכפלה בקבוע.
- $\dfrac{d}{dx}[3\sin x-2e^x]=3\cos x-2e^x$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2+\ln x]=2x+\dfrac1x$.
- גזור כל איבר לפי הכלל שלו, ואז שלב — אין צורך ללמוד דבר חדש מעבר לארבע העובדות.
גזרו את $3\sin x-2e^x$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$3\cos x$ ו-$e^x$ נשארים $e^x$: $3\cos x-2e^x$.
בחר את כל הגזירות האלמנטריות הנכונות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
האחרון שגוי — זה צריך להיות $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$, לא $x$.
שמור על סימנים ותחום הגדרה. $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ (המינוס הוא הטעות הנפוצה ביותר). $e^x$ היא נגזרת עצמה — אל תחיל את כלל החזקה עליו. ו-$\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$ תקף רק עבור $x>0$, תחום ההגדרה של $\ln$.
גזרו את $h(x)=4\cos x+e^x-5\ln x$.
- $\dfrac{d}{dx}[4\cos x]=4(-\sin x)=-4\sin x$.
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$; $\quad\dfrac{d}{dx}[-5\ln x]=-\dfrac{5}{x}$.
- $h'(x)=-4\sin x+e^x-\dfrac{5}{x}$.
שינן ארבע נגזרות יסודיות: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$, $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$, $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$. הן משתלבות עם כללי הסכום/הפרשה/הכפלה בקבוע כדי לגזור ביטויים מעורבים. שמור על המינוס ב-$\cos$, שמור על $x$ ברדיאנים, וזכור ש-$e^x$ היא נגזרת עצמה.