חלוקת חזקות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| power/ˈpaʊə/ | חזקה |
| Power Rule/ˈpaʊə ruːl/ | כלל החזקות |
| integer/ˈɪntɪdʒə/ | מספר שלם |
קיצור דרך שמחליף את הגבול
- חישוב כל הנגזרות מההגדרה של הגבול הוא איטי. ישנו דפוס.
- עבור חזקות של $x$, חוק אחד מבצע זאת מיד: חוק החזקה.
-
$$\frac{d}{dx}\big[x^n\big]=n\,x^{\,n-1}$$
- "הורד את המעלה כמקדם, ולאחר מכן חסר אחת מהמעלה".
חזקה ושיפוע המשיק שלה
y = x²
עבור $y=x^2$ חלוקת החזקות נותנת שיפוע $2x$ — הזז את הנקודה ובדוק שהשיפוע של המשיק תואם ל-$2x$.
ראה כיצד זה עובד
- $\dfrac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ — ה-$3$ נופל לפני, והמעלה הופכת ל-$3\to2$.
- $\dfrac{d}{dx}[x]=1\cdot x^0=1$ — הנגזרת של $x$ היא $1$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^{10}]=10x^9$.
- זה תואם להגדרת הגבול (מצאנו $\frac{d}{dx}[x^2]=2x$) אך לוקח שורה אחת.
מהו $\dfrac{d}{dx}[x^5]$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הורד את $5$, הפחת מעלה החזקה: $5x^{5-1}=5x^4$.
אם $f(x)=x^4$, מצאו $f'(2)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f'(x)=4x^3$, ולכן $f'(2)=4\cdot8=32$.
זה עובד עבור כל מעלה
- $n$ יכולה להיות שלילית או רציונלית (שבר), לא רק מספר טבעי חיובי.
- שלילית: $\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$.
- רציונלי: $\dfrac{d}{dx}\big[x^{1/2}\big]=\tfrac12 x^{-1/2}$.
- אותו חוק בכל פעם — הורד את $n$, והפחת את המעריך ב-1.
$\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{\square}$. המעלה $\square$ היא ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הפחת 1 מ-$-2$: $-2-1=-3$.
חוקי נגזרות: קבוע, סכום, הפרש והכפלה בקבוע – איזה מהבאים ניתן לגזור ישירות (לאחר אתרון)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
כולן חזקות של $x$ לאחר אתרון; $5^x$ היא פונקציה מעריכית, ולא חזקה של $x$.
כתוב מחדש, ואז גזור
- שורשים ומחלקות מסתירים מעריכים — כתוב אותם מחדש כ$x^n$ לפני היישום של החוק.
- $\sqrt{x}=x^{1/2}$, ולכן $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]=\tfrac12 x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt x}$.
- $\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$, ולכן $\dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac1{x^3}\right]=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}$.
- ההיפוך של כל איבר למעריך הוא השלב המכריע בהכנה.
אתר ומגזור: $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]$ שווה ל...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\sqrt x=x^{1/2}\Rightarrow \tfrac12 x^{-1/2}=\tfrac1{2\sqrt x}$.
חלוקת החזקות חלה על $2^x$, ותנתי $x\cdot 2^{x-1}$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
חלוקת החזקות דורשת בסיס משתנה עם מעלה קבוע; $2^x$ היא פונקציה מעריכית (בשיעור הבא).
חוק המעריכים מיועד לבסיס משתנה עם מעריך קבוע ($x^n$). הוא לא חל על בסיס קבוע עם מעריך משתנה — $\frac{d}{dx}[2^x]\neq x\,2^{x-1}$. (זהו פונקציה אקספוננציאלית, שתטופל בשיעור הבא). אל תשכחו להפחית את המעריך: $\frac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$, לא $-2x^{-2}$.
גזרו את $g(x)=\sqrt[3]{x^2}+\dfrac{1}{x}$.
- כתבו מחדש כמעריכים: $g(x)=x^{2/3}+x^{-1}$.
- חוק המעריכים לפי איברים: $\tfrac23 x^{-1/3}$ ו$-1\cdot x^{-2}$.
- $g'(x)=\tfrac23 x^{-1/3}-x^{-2}=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\dfrac1{x^2}$.
ה-חוק המעריכים $\frac{d}{dx}[x^n]=n\,x^{n-1}$ עובד עבור כל מעריך קבוע — שלם, שלילי או רציונלי. כתבו שורשים ומחלקות מחדש כמעריכים, ואז הורידו את המעריך והפחיתו אותו ב-1. הוא מחליף את הגדרת הגבול לפונקציות מעריכיות.