הערכת נגזרות של פונקציה בנקודה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| estimate/ˈestɪmət/ | הערכה |
| difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/ | מנת הפרשים |
מדידת שיפוע שאינו ניתן לחישוב מדויק
- לעיתים יש לך גרף או טבלה, ולא נוסחה — אך עדיין רוצים את $f'$ בנקודה.
- ניתן להעריך את הנגזרת מהנתון שקיים.
- מגרף: מדד את התלילות של קו המשיק בעיניים.
- מטבלה: השתמשו במנת הפרשים עבור הקלט הקרוב ביותר הזמין.
הערך את השיפוע בעיניים
y = x²
זז את הנקודה וצפה במשיק — החריפות שלו היא הנגזר שתעריך מגרף.
מגרף: נטיית המשיק
- צייר (או בדמיין) את קו המשיק בנקודה, ואז קרא את השיפוע כעלייה ÷ הליכה.
- בחר שתי נקודות ברורות על המשיק, לא על העקומה, וחשב $\tfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
- משיק תלול יותר → $|f'|$ גדול יותר; משיק שטוח → $f'\approx0$.
- משיק עולה → נגזרת חיובית; משיק יורד → שלילית.
כדי להעריך $f'(a)$ מגרף, עליך למדוד את השיפוע של ה-...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הנגזר הוא שיפוע המשיק, קוראים מהנקודות על קו המשיק.
מטבלה: מנת הפרש הקרובה ביותר
- עם ערכי טבלה, קרב את $f'(a)$ באמצעות מנת הפרש על הנקודות הקרובות ביותר:
- הערכת סימטרית היא הטובה ביותר: $f'(a)\approx\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$, כאשר משתמשים בנקודה אחת בכל צד.
- או השתמש במנת צד-אחד $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ אם זמין רק שכנוע אחד.
- $h$ קטן יותר (כניסות קרובות יותר) נותן לרוב הערכה טובה יותר.
טבלה מספקת $f(1.9)=4.2$ ו-$f(2.1)=5.8$. השתמש בביטוי ההפרש הסימטרי כדי להעריך $f'(2)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\dfrac{5.8-4.2}{2(0.1)}=\dfrac{1.6}{0.2}=8$.
שימוש בערכי כניסה הקרובים יותר לנקודה משפר בדרך כלל הערכה של נגזר מתוך טבלה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
مجال קטן יותר מקרב טוב יותר לשיפוע המשיק.
נגזר שקוראים מטבלה או גרף הוא ____, ולא ערך מדויק.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
רק אלגברה על נוסחה נותנת את הנגזר המדויק.
מ-$f(3)=10$ ו-$f(3.2)=11.4$, הערך $f'(3)$ עם ביטוי הפרש חד-צדדי.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\dfrac{11.4-10}{3.2-3}=\dfrac{1.4}{0.2}=7$.
קריאת סימן וגודל
- ה-סימן של ההערכה אומר לאיזה כיוון $f$ הולך: $+$ עולה, $-$ יורדת.
- ה-גודל אומר כמה מהיר: נגזרת של $12$ משמעותה ש-$f$ משתנה בכ-$12$ יחידות לכל יחידה של $x$ שם.
- תמיד הצמד יחידות ופרש בהקשר (למשל "הטמפרטורה עולה בכ-$2^\circ$C לדקה").
- הערכה היא קירוב — אמור זאת, והשתמש בנתונים הקרובים ביותר שלך.
אם הנגזר המוערך בנקודה הוא שלילי, הפונקציה שם היא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קצב שלילי משמעו שהפונקציה יורדת שם.
בעת הערכה ממגרף, קרא את שיפוע קו המשיק, לא של חוטך סמוך, ולקח את שתי הנקודות מממשיק, לא מעקומה. מטבלה, אל תשתמש בנקודה $a$ עצמה כשתי הכניסות — אתה צריך שתי כניסות שונות המקיפות (או שואפות ל) $a$.
טבלה נותנת $f(1.9)=4.2$, $f(2)=5.0$, $f(2.1)=5.9$. הערך $f'(2)$.
- מנת הפרש סימטרית: $f'(2)\approx\dfrac{f(2.1)-f(1.9)}{2(0.1)}=\dfrac{5.9-4.2}{0.2}=\dfrac{1.7}{0.2}=8.5$.
- (הערכת צד-אחד $\dfrac{5.9-5.0}{0.1}=9$ היא קרובה אך פחות מאוזנת.)
- אז $f'(2)\approx8.5$ — $f$ עולה בקצב של כ-$8.5$ יחידות ליחידה אחת של $x$.
כדי להעריך נגזרת: מגרף, קראו את השיפוע של קו המשיק (עלייה ÷ הליכה באמצעות נקודות על המשיק); מטבלה, השתמשו במנה הפרשים עבור הקלט הקרוב ביותר — הסימטרי $\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$ הוא מדויק ביותר. הסימן נותן כיוון, הגודל נותן קצב.