פירוק קבל
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| discharge/dɪsˈtʃɑːdʒ/ | פרוק |
| time constant/taɪm ˈkɒnstənt/ | קבוע זמן |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | ירידה אקספוננציאלית |
הדעיכה לעולם לא נגמרת לחלוטין
- קבל המופע מאבד 63% מהמטען שלו בזמן הקבוע הראשון, ואז 63% ממה שנשאר בזמן הבא, וכך הלאה לנצח.
- לאחר חמישה זמנים קבועים נותר פחות מ-1%, אך העקומה לעולם לא מגיעה לאפס. היא לא יכולה, כי קצב האובדן תמיד יחסוני לכמות שנותרה.
- כל כמות המתנהגת כך, כולל דעיכה רדיואקטיבית, נותנת אותה עקומה, ולכן לימודה פעם אחת משרת שתי מטרות.
- LESSON זו היא נוסחות ההפעלה, הזמן הקבוע, וגרף הלוגריתמי שממיר את העקומה לקו ישר.
מאين נובעת האקספוננציאליות
- סגור את המתג וההפרש הפוטנציאלים בקבל מניע זרם דרך ההתנגדות. חוק Kirchhoff השני נותן $V_C = V_R$, ועם $V_C = Q/C$, $V_R = IR$ ו$I = -dQ/dt$:
- קצב האובדן הוא יחסוני למטען שנשאר. זו התכונה המגדירה של דעיכה אקספוננציאלית, והיא הסיבה שהעקומה משטחת ככל שהיא יורדת.
במהלך פירוק דרך נגד, הטענה על הקבל:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ככל שהטענה גדולה יותר, כך הזרם גדול יותר — ונובע מכך ירידה אקספוננציאלית.
מדוע פירוק קבל הוא אקספוננציאלי?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המשוואה Q/C = -R dQ/dt אומרת זאת בדיוק. כל גודל בעל תכונה זו, כולל רדיאוקטיביות, נותן את אותה עקומה.
שלוש הנוסחות
- המטען, הפרש הפוטנציאלים והזרם דוהים כולם יחד, עם אותו קבוע זמן:
- הזרם הוא הגדול ביותר ברגע שמתחיל פותח, $I_0 = V_0/R$, משום שהפרש הפוטנציאלים ההתחלתי המלא נמצא אז על הנגוד. הוא יורד כשהפוטנציאל יורד.
- השטח מתחת לגרף הזרם-זמן הוא המטען שעבר. לכל שלושת העקומות אותו צורה, ולכן מדידת $\tau$ מכל אחת מהן תניב לך $RC$.
תלול בהתחלה, ואז הופך לשטוח יותר ויותר, לעולם לא מגיע בדיוק לאפס
עקומת טעינה / פירוק
המתח עולה (או יורד) אקספוננציאלית לאורך הזמן עם זמן קבוע τ = RC.
פירוק קבל
Q = Q₀·bᵗ
הטענה יורדת אקספוננציאלית דרך הנגד.
הטענה במהלך הפירוק נתונה על ידי:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הפירוק שואף לאפס: $Q = Q_0 e^{-t/RC}$ (הצורה $1 - e^{-t/RC}$ היא עבור טעינה).
קבוע הזמן
- הקבוע הזמן הוא:
- היחידה שלו היא השנייה, מכיוון שאום כפול פרד שווה לשנייה.
- זהו הזמן הדרוש לכמות הדוהה כדי להגיע ל$\dfrac{1}{e} \approx 37\%$ מערכה ההתחלתי. לאחר $2\tau$ נותר כ-13.5%, ואחרי $5\tau$ נותר פחות מ-1%.
- קבוע זמן גדול $R$ או קיבול גדול $C$ מצביעים על פריקה איטית: מאגר גדול שמרוקן דרך צינור צר.
קבל של $500\ \mu\text{F}$ פורק דרך נגד של $2000\ \Omega$. מהו זמן הקבוע?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tau = RC = 2000 \times 500 \times 10^{-6} = 1.0\ \text{s}$.
לאחר זמן קבוע אחד, המטען יורד לכ-____ % מהערך ההתחלתי שלו.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הוא יורד ל$\dfrac{1}{e} \approx 0.37$, כלומר לכ-37%.
לאחר 5 זמני קבוע, נותר פחות מ-1% מהמטען.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$e^{-5} \approx 0.0067$, ולכן נותרו פחות מ-1% — בפועל הטעינה הסתימה לחלוטין.
קבל טעון עד 24 V משתחרר דרך נגד של 5.6 קילו-אום. מהי הזרם ההתחלתי, ב-mA?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ברגע שהמתג נסגר, כל ה-p.d. נמצאת על הנגד, ולכן I0 = V0/R = 24/5600 = 4.3 mA. לאחר מכן הוא דועה באותו זמן קבוע כמו המטען.
דוגמה פתורה: שאלת פריקה מלאה
- קבלן $470\ \mu\text{F}$ טעון ל$24\ \text{V}$ פורק מטען דרך נגד של $5.6\ \text{k}\Omega$. חשב את קבוע הזמן, את הזרם ההתחלתי, את הפרש הפוטנציאלים לאחר $4.0\ \text{s}$, ואת הזמן שבו הפרש הפוטנציאלים יורד ל$6.0\ \text{V}$.
- $\tau = RC = (5.6 \times 10^3)(470 \times 10^{-6}) = 2.6\ \text{s}$, ו-$I_0 = V_0/R = 24/5600 = 4.3\ \text{mA}$.
- לאחר $4.0\ \text{s}$: $V = V_0 e^{-t/RC} = 24\,e^{-4.0/2.63} = 5.3\ \text{V}$.
- עבור הזמן, לקוח לוגריתמים: $t = -RC\ln(V/V_0) = -2.63\ln(6.0/24) = 3.6\ \text{s}$.
- שמור על $\tau$ ללא עיגול בתוך החישוב ועגל רק בסוף. כמו כן, שימו לב ש-$\ln(V/V_0)$ הוא שלילי, ולכן סימן הניגוד הופך את $t$ לחיובי: סידור זה הוא הנפוץ ביותר בשאלות, אך גם הקלויט ביותר לפתרון.
לאחר זמן קבוע אחד, כ-37% מהמטען המקורי נותר על הקבל.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הוא יורד ל-1/e מהערך ההתחלתי, כ-37%. לאחר שניים הוא בכ-13.5%, ואחרי חמישה מתחת ל-1%, אף על פי שהוא לעולם לא מגיע בדיוק לאפס.
דוגמה מפורטת: קריאת $\tau$ ממגרף
- המתח הכולל על קבל $2200\ \mu\text{F}$ יורד מ-$6.0\ \text{V}$ ל-$2.2\ \text{V}$ בזמן של $4.5\ \text{s}$. חשב את ההתנגדות.
- בדוק תחילה את היחס: $2.2/6.0 = 0.367$, שהוא $1/e$. לכן $4.5\ \text{s}$ הוא זמן קבוע אחד.
- אחר כך $R = \tau/C = 4.5/(2200 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^3\ \Omega$.
- אם הירידה אינה ל-$1/e$, השתמש ב-$RC = -t/\ln(V/V_0)$ במקום. התוצאה זהה בשתי הדרכים, אך זיהוי ה-$1/e$ חוסך צעד.
קבל עם זמן קבוע של 2.63 שניות טעון עד 24 V. כמה זמן, בשניות, עד שה-p.d. יורד ל-6.0 V?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
t = -RC ln(V/V0) = -2.63 ln(0.25) = 3.6 שניות. ln(0.25) שלילי, ולכן סימן הפחות הופך את t לחיובי; עריכה זו היא הרבה פעמים זו שנוהגים לבצע בטעות.
הגרף הלוגרימטי
- לקחת לוגריתמים מ-$V = V_0 e^{-t/RC}$:
- ולכן גרף של $\ln V$ מול $t$ הוא קו ישר עם שיפוע $-1/RC$ וחיתוך ציר $\ln V_0$.
- זוהי שיטת הניסוי הסטנדרטית: היא הופכת עקומה לקו ישר, כך ש-$RC$ מתקבל מהשיפוע ולא מקריאה בודדת, והסטייה מקו ישר מראה שהדעיכה אינה אקספוננציאלית.
ה-p.d. על קבל של 2200 µF יורד מ-6.0 V ל-2.2 V בתוך 4.5 שניות. סדרו את שלבי חישוב ההתנגדות.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
אם הירידה אינה ל-1/e, השתמשו ב-RC = -t/ln(V/V0). התוצאה זהה, אך זיהוי ה-1/e חוסך שלב.
סימונים נופלים מהיד
- $\tau = RC$ הוא זמן, בשניות, ולא שבר. לאחר זמן $\tau$ כמות החומר נשארת ב-37%, ולא 63% דעכו ונעצרו.
- הזרם הגדול ביותר בהתחלה, כאשר כל המתח נמצא על פני ההתנגדות, והוא דועך באותו קבוע זמן כמו הטעון.
- למצוא זמן, יש לקחת לוגריתמים: $t = -RC\ln(V/V_0)$. שמור על קבוע הזמן ללא עיגול לאורך הפתרון.
- בגרף של $\ln V$ מול $t$ השיפוע הוא $-1/RC$, ולכן $RC$ הוא מינוס ה-הופכי של השיפוע.
גרף של ln V מול t עבור קבל משתחרר הוא קו ישר. מה השיפוע שלו?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לקיחת לוגריתמים של V = V0 exp(-t/RC) נותנת ln V = ln V0 - t/RC. לכן RC הוא מינוס ההופכי של השיפוע, והקו הישר עצמו מאשר שהדעיכה היא אקספוננציאלית.
הבנתך מושלמת
- קצב האובדן פרופורציונלי לטעון הנותר, ולכן הדעיכה היא אקספוננציאלית: $Q = Q_0e^{-t/RC}$, ו-$V$ ו-$I$ דועכים זהה זה לזה.
- הזרם מתחיל ב-$I_0 = V_0/R$ וה-שטח מתחת לגרף הזרם-זמן הוא הטעון שעבר.
- קבוע הזמן $\tau = RC$ הוא הזמן להגיע ל-$1/e \approx 37\%$; לאחר $5\tau$ נותרו פחות מ-1%.
- לקחת לוגריתמים כדי למצוא זמן, $t = -RC\ln(V/V_0)$, וגרף של $\ln V$ מול $t$ הוא קו ישר בעל שיפוע $-1/RC$.