פוטנציאל כבידתי
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| escape velocity/eˈskeɪp vəˈlɒsɪti/ | מהירות בריחה |
| gravitational potential/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl/ | פוטנציאל כבידתי |
| infinity/ɪnˈfɪnɪti/ | אינסוף |
| gravitational potential energy/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | אנרגיה פוטנציאלית כבידתית |
| tightly bound/ˈtaɪtli baʊnd/ | קשור היטב |
כמה מהר כדי לצאת לנצח?
- זרקו כדור למעלה והוא חוזר. זרקו אותו במהירות מספקת והוא לעולם לא יחזור.
- מהירות זו של "לעולם לא חוזר" היא מהירות הבריחה.
- כדי למצוא אותו אנו זקוקים לפוטנציאל כבידה.
פוטנציאל כבידה
- $\phi$ הוא העבודה הנעשית ליחידת מסה כדי להביא מסת מבחן קטנה מאינסוף לנקודה: $\phi = \dfrac{W}{m}$. יחידה: $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
- נחשב אפס באינסוף, ולכן $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ הוא שלילי בכל מקום אחר.
פוטנציאל כבידתי
V = −GM / r
פוטנציאל ∝ −1/r — עמוק ליד המסה, ומתשטח עם המרחק.
הפוטנציאל הכבידתי הוא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הכבידה מבצעת עבודה כאשר מסה נופלת פנימה, ולכן $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ הוא שלילי, ומגיע לאפס רק באינסוף.
הפוטנציאל הכבידתי מוגדר כאפס ב____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
בחירה זו גורמת לכך שהפוטנציאל יהיה שלילי בכל מקום בו קיימת מסה בפועל.
אנרגיה פוטנציאלית כבידתית
- מסה $m$ בפוטנציאל $\phi$ בעלת $E_{\text{P}} = m\phi = -\dfrac{GMm}{r}$.
- הוא שלילי; מסות קרובות יותר הן יותר שליליות — קשורות חזק יותר.
כוח הכבידה מספק את הכוח הצנטריפטלי ששומר על כוכב לכת במסלול מעגלי
שתי מסות הקרובות יותר אחת לשנייה הן בעלות אנרגיה פוטנציאלית כבידתית שלילית יותר (נמוכה יותר).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{r}$ — $r$ קטן יותר נותן ערך שלילי יותר, כלומר זוג קשור בחוזקה רבה יותר.
התאם כל מונח להגדרה שמסמן בוחן התשובה הנכונה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
שניים מתוכם הם ליחידת מסה ואחד הוא ליחידת מסה של עבודה. המילה היחידה הזו היא מה שמבדיל בין פוטנציאל לבין עוצמת השדה.
הקשר עם $mg\Delta h$
- עבור שינויי גובה קטנים סמוך לפני השטח, $r$ משתנה מעט מאוד, ולכן $\Delta E_{\text{P}} \approx mg\Delta h$.
- עבור שינויים גדולים (הרמת לוויין), השתמש ב$-\dfrac{GMm}{r}$ בכל רדיוס וחבר חיסון.
הנוסחה הפשוטה $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$ תקפה כאשר:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זה מניח שדה אחיד. עבור שינויים גדולים ב$r$, השתמש ב$-\dfrac{GMm}{r}$ בכל רדיוס.
מדוע הפוטנציאל הכבידתי תמיד שלילי? סמן את כל האפשרויות המתאימות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
"כי הכבידה מושכת" לבדו אינו התשובה המדויקת. ההסבר דורש את ארגומנט העבודה: אפס באינסוף, והשדה מבצע עבודה במהלך הכניסה.
דוגמה פתורה: הפוטנציאל לפני השטח של מאדים
למארס יש מסה $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$ ורדיוס $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. מצאו את הפוטנציאל הכבידתי על פני השטח, ואת האנרגיה הנדרשת להרחיק $1\ \text{kg}$ מפני השטח לאינסוף.
- פוטנציאל: $\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{3.4 \times 10^{6}} = -1.3 \times 10^{7}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
- היחידה נתבקשה: ג'אול לקילוגרם, מכיוון שפוטנציאל הוא אנרגיה ליחידת מסה.
- אנרגיה לבריחה לקילוגרם: מ$\phi$ ועד אפס באינסוף זהו $+1.3 \times 10^{7}\ \text{J}$ לכל קילוגרם.
- בדיקה: סימן החיסור אינו אופציונלי. הוא אומר שעל לעשות עבודה על המסה כדי להוציא אותה — המסה נמצאת ב"באר" $1.3 \times 10^{7}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ עמוקה.
לירח יש מסה $7.35 \times 10^{22}\ \text{kg}$ ורדיוס $1.74 \times 10^{6}\ \text{m}$. מהו הפוטנציאל הכבידתי בפני השטח שלו, ככפולה של $10^{6}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$? (כלול את הסימן.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{1.74 \times 10^{6}} = -2.8 \times 10^{6}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ — כעשרים חלקים ממסת כדור הארץ, ולכן יציאה מהירח קלה.
מהירות בריחה
- כדי להגיע לאינסוף, האנרגיה הקינטית חייבת להתאים לעומק הבאר: $\tfrac{1}{2}mv_{\text{esc}}^{2} = \dfrac{GMm}{r}$.
- $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} \approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ במשטח כדור הארץ — אינו תלוי במסת הגוף.
כמעט, מהי מהירות הבריחה מפני השטח של כדור הארץ, בק"מ לשניה?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} \approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ עבור כדור הארץ.
מהירות הבריחה תלויה במסת הגוף הבוקע.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מסת הגוף מצטמצמת: $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ תלויה רק בכוכב הלכת ובמרחק.
לכוכב לכת יש GM/r = 6.3e7 J/kg בפני השטח. מהי מהירות הבריחה שלו, בק"מ לשניה?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
v = sqrt(2GM/r) = sqrt(1.26e8) = 1.12e4 m/s = 11.2 km/s, הערך של כדור הארץ. שים לב לגורם של 2 ולמסת הגוף הבוקע שמצטמצמת לחלוטין.
דוגמה מופת: הרמת לוויין
לוויין $500\ \text{kg}$ מועלה משטח כדור הארץ ($R = 6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$) למסלול בקירוב רדיוס $7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$. מסת כדור הארץ היא $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$. חשב את העלייה באנרגיה פוטנציאלית, והשווה אותה ל-$mg\Delta h$.
- שני פוטנציאלים, חיסור: $\Delta E_{\text{P}} = GMm\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r}\right)$.
- הצבה: $6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 500 \times \left(\dfrac{1}{6.37 \times 10^{6}} - \dfrac{1}{7.0 \times 10^{6}}\right) = 2.8 \times 10^{9}\ \text{J}$.
- הדרך הגסה: $mg\Delta h = 500 \times 9.81 \times 6.3 \times 10^{5} = 3.1 \times 10^{9}\ \text{J}$ — בערך $10\%$ גדולה מדי, מכיוון ש-$g$ יורדת עם הגובה ואילו $mg\Delta h$ מניחה שאינה מתעוררת.
- בדיקה: העלייה היא חיובית — הלוויין נמצא בסוף בפוטנציאל פחות שלילי, פחות קשור — גם אם שני הפוטנציאלים הם מספרים שליליים.
הפוטנציאל הוא שלילי ו-עולה לעבר אפס ככל שמרחיקים. "אנרגיה שנרכשה" היא הסכום הסופי מינוס ההתחלתי עם שמירת הסימנים: $-1.3 \times 10^{7} \to -0.9 \times 10^{7}$ הוא רכישה של $0.4 \times 10^{7}$ לכל קילוגרם. $mg\Delta h$ מתאים רק ל-$\Delta h \ll R$. והיחידה של $\phi$ היא $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ — כתיבת ג'אולים תגרום לאבדן נקודות.
אילו הצהרות לגבי פוטנציאל כבידתי הן נכונות? סמן את כל האפשרויות הרלוונטיות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הפוטנציאל הוא אנרגיה ליחידת מסה, ולכן יחידת המידה שלו היא ג'ול לקילוגרם. הוא שלילי, עולה לעבר אפס עם המרחק, ומדרגתו נותנת את השדה: $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$.
עוצמת השדה מהגרף הפוטנציאל
- עוצמת השדה היא ה-שיפוע של גרף הפוטנציאל-מרחק: $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$.
- כאשר הגרף של $\phi$ תלול (קרוב למסה), השדה חזק; הרחק, הגרף מתשטח והשדה חולש.
- הסימן המינוס אומר שהשדה מכוון למטה לאורך שיפוע הפוטנציאל — לכיוון המסה, שם $\phi$ הוא השלילי ביותר.
הבנתך מושלמת
- פוטנציאל כבידתי $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ ב-$\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ (שלילי, אפס באינסוף); $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$
- אנרגיה פוטנציאלית כבידתית $E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{r}$ — יותר שלילי = יותר קשור; שינויים גדולים משתמשים ב-$GMm\left(\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}\right)$
- מהירות בריחה $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ (לא תלויה במסה, $\approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ לכדור הארץ)