שדה כבידה של מספר נקודתי
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| orbit/ˈɔːbɪt/ | מסלול |
| orbital speed/ˈɔːbɪtl spiːd/ | מהירות מסלולית |
| satellite/ˈsætəlaɪt/ | לוויין |
| Kepler's third law/ˈkepləz θɜːd lɔː/ | חוקו של קפלר השלישי |
| geostationary/ˌdʒiːəʊˈsteɪʃənəri/ | גיאוסטציונרי |
| equator/ɪˈkweɪtə/ | משווה |
| free fall/friː fɔːl/ | נפילה חופשית |
מדוע הירח לא נופל
- הירח תמיד נופל לכיוון כדור הארץ — אך הוא גם נע בצד במהירות.
- ולכן הוא נשאר תמיד מחוץ: הוא במערכת מסלול.
- הכבידה מספקת בדיוק את הכוח המרכזי הנדרש.
שדה של מסה נקודתית
- במרחק $r$ ממסה $M$: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$ — יורד בהתאם ל-$\dfrac{1}{r^{2}}$.
- בסמוך לפני הקרקע של כדור הארץ, $r \approx R$ גדול מאוד, כך שהעלייה בגובה של מבנה משנה מעט מאוד את $g$.
עוצמת השדה יורדת לפי 1/r²: הכפלת המרחק מנמיכה את הכוח לרבע
מרווח בין קווי השדה מראה את עוצמת השדה — קווים צפופים יותר מצביעים על שדה חזק יותר
שדה של מסה נקודתית
g ∝ M/r²
עוצמת השדה הכבידתית עוקבת אחר חוק הריבוע ההפוך — חלף את המרחק והשדה ירבע.
עוצמת השדה הכבידתי במרחק $r$ ממסה נקודתית $M$ היא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מ$g = \dfrac{F}{m}$ עם $F = \dfrac{GMm}{r^{2}}$, המספר הבדיקה מצטמצם: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$.
טיפסה בגובה רב של מבנה משנה את הערך של g בצורה משמעותית.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
רדיוס כדור הארץ הוא ~6400 ק"מ, ולכן מספר מטרים של גובה משנה מעט מאוד $r$ — $g$ נשאר יעיל כקבוע.
מהירות מסלול
- הכבידה = כוח מרכזי: $\dfrac{GMm}{r^{2}} = \dfrac{mv^{2}}{r}$.
- המסה $m$ מתבטלת: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ — אינה תלויה במסת הלוויין.
מהירות המסלול של לוויין אינה תלויה במסתו עצמה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המסה $m$ מתאפסת ב⟩$\dfrac{GMm}{r^{2}} = \dfrac{mv^{2}}{r}$, ומשאירה את $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$.
חוק קפלר השלישי
- מתוך $T = \dfrac{2\pi r}{v}$: $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}\,r^{3}$, ולכן $T^{2} \propto r^{3}$.
- גרף של $T^{2}$ כנגד $r^{3}$ הוא קו ישר — השיפוע שלו נותן את המסה המרכזית.
ציור T² כנגד r³ נותן קו ישר דרך הראשית — שיפועו קובע את המסה המרכזית M
חוק השלישי של קפלר (למסלולים עגוליים) קובע:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}\,r^{3}$, ולכן ריבוע התקופה פרופורציונלי למקובע של הרדיוס.
אם רדיוס המסלול עולה פי 4, התקופה עולה פי:
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$T \propto r^{3/2}$, ולכן $T$ קנה מידה לפי $4^{3/2} = 8$.
דוגמה מפורטת: לוויין מעל מאדים
לוויין מקיף את מאדים (מסה $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$, רדיוס $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$) בגובה של $1.7 \times 10^{6}\ \text{m}$ מעל הפני השטח. מצאו את מהירותו ואת התקופה.
- רדיוס המסלול, מהמרכז: $r = 3.4 \times 10^{6} + 1.7 \times 10^{6} = 5.1 \times 10^{6}\ \text{m}$.
- מהירות: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{5.1 \times 10^{6}}} = 2.9 \times 10^{3}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- תקופה: $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi \times 5.1 \times 10^{6}}{2.9 \times 10^{3}} = 1.1 \times 10^{4}\ \text{s}$, כשלוש שעות.
- בדיקה: מסת הלוויין עצמה מעולם לא הופיעה — כל לוויין בגובה זה נע במהירות זו. שימוש בגובה בלבד עבור $r$ מניב מהירות גבוהה מדי.
לוויין מקיף את כדור הארץ (מסה $6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}$) ברדיוס של $8.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ מהמרכז. מהי מהירות המסלול שלו, בק"מ לשנייה?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24}}{8.0 \times 10^{6}}} = 7.1 \times 10^{3}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 7.1\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$.
מסלול גיאוסטציונרי
- תקופה 24 שעות, ישמע על משווה הארץ, מסתובב ממערב למזרח — באותו כיוון שבו כדור הארץ סובב.
- הוא נשאר קבוע מעל נקודה אחת — אידיאלי לצלחת טלוויזיה. מתוך $r^{3} = \dfrac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}$ עם $T = 86\,400\ \text{s}$, הרדיוס הוא $\approx 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$, כ-$3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ מעל פני השטח.
בחרו את כל המאפיינים של לוויין גיאוסטציונרי.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הוא מתאים לסבוב כדור הארץ (24 שעות, ממערב למזרח) מעל הקו המשווה, ולכן נשאר קבוע מעל נקודה אחת. מסלול קוטבי אינו עושה זאת.
מסלולים סינכרוניים אחרים
- לכל כוכב לכת יש מסלול סינכרוני משלו: התקופה שווה לתקופת הסיבוב של הכוכב, והמסלול נמצא מעל המשווה, נע יחד עם הסיבוב.
- מאדים מסתובב פעם אחת בערך ב-$25$ שעות, ולכן לוויין בתקופת $25$-שעות מעל משווהו יישאר מעל נקודה מארית אחת.
- שינוי התקופה גורם לשינוי הרדיוס לפי חוק קפלר: תקופה ארוכה יותר אומרת מסלול גדול יותר.
בכל נוסחת מסלול $r$ נמדדת מה-מרכז של הכוכב — יש להוסיף את רדיוס הכוכב לגובה. מסת הלוויין מתבטלת, ולכן "לוויין כבד יותר צריך לנוע מהר יותר" הוא שגוי. מסלול גיאוסטציונרי חייב להיות מעל המשווה: כל מסלול אחר חוצה את המשווה פעמיים ביום ונודד צפונה ודרומה בהתבוננות מקרקעית.
לוויין נמצא $600\ \text{km}$ מעל פני השטח של כוכב לכת ברדיוס $6400\ \text{km}$. במשוואות המסלול, $r$ = ____ ק"מ.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$r$ נמדד מהמרכז: $6400 + 600 = 7000\ \text{km}$.
לא חסרי משקל — תחת נפילה
- בגובה תחנת החלל של $400\ \text{km}$, $g = 9.81 \times \left(\dfrac{6370}{6770}\right)^{2} = 8.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ — קרוב לערך הפני השטח.
- אסטרונאוטים צפים כי הם ותחנת החלל נמצאים ב-נפילה חופשית יחד, ולא כי הכבידה נעלמה.
רדיוס כדור הארץ הוא $6370\ \text{km}$ ועוצמת השדה בפני השטח היא $9.81\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$. מהי עוצמת השדה בגובה של $400\ \text{km}$, ב-N/kg?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$g \propto \dfrac{1}{r^{2}}$, ולכן $g = 9.81 \times \left(\dfrac{6370}{6770}\right)^{2} = 8.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ — האסטרונאוטים אינם חסרי משקל, הם נופלים.
הבנתך מושלמת
- שדה של מס נקודתי: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$ (ולכן $g$ הוא קבוע כמעט מעל פני השטח)
- מסלול: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ עם $r$ מה-מרכז (בלתי תלוי במסת הלוויין); $T^{2} \propto r^{3}$
- גיאוסטציונרי: 24 שעות, מעל המשווה, ממערב למזרח; מסלול סינכרוני מתאים לסיבובו של כל כוכב לכת