חוק הכבידה של ניוטון
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| law of gravitation/lɔː ɒv ˌɡrævɪˈteɪʃn/ | חוק הכבידה העולמית |
| attractive/əˈtræktɪv/ | מושך |
| universal constant/ˌjuːnɪˈvɜːsl ˈkɒnstənt/ | קבוע גרביטציוני |
| inverse-square law/ɪnˈvɜːs skweə lɔː/ | חוק הריבוע ההפוך |
| point mass/pɔɪnt mæs/ | מסה נקודתית |
כל מסה מושכת כל מסה אחרת
- כדור הארץ מושך אותך למטה — ואתה מושך את כדור הארץ למעלה, בדיוק באותו עוצמה.
- כל זוג של מסות נמשך זה לזה, בכל מקום ביקום.
- ניוטון סיכם זאת במשוואה אחת.
חוק הכבידה
- $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$ — משיכה אTRACTIVE לאורך הקו המחבר את המסות.
- $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \dfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$ הוא הקבוע האוניברסלי.
חוק הכבידה של ניוטון
F ∝ Mm / r²
כבידה מושכת פנימה וחלשה עם ריבוע המרחק.
חוק הכבידה של ניוטון נותן את הכוח בין שתי מסות כך:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המושך פרופורציונלי לכל מסה והופך הפוך לריבוע המרחק.
כבידה היא תמיד מושכת.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כן — מסות מושכות אחת את השנייה תמיד; אין דחייה כבידתית.
חוק הריבוע ההפוך
- הכוח יורד כ$\dfrac{1}{r^{2}}$.
- הכפלת המרחק → הכוח יורד לרבע.
תחנת החלל הבינלאומית מקיפה את כדור הארץ, מהוססת במסלולה על ידי הכבידה
שתי מסות נמשכות זו את זו ב-$40\ \text{N}$ במרחק הפרדה $r$. מהו הכוח במרחק הפרדה $2r$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ריבוע הפוך: $\dfrac{40}{2^{2}} = \dfrac{40}{4} = 10\ \text{N}$.
אם שתי המסות מוגדלות פי שניים (אותו מרחק), הכוח הכבידתי הופך ל:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$F \propto m_1 m_2$, ולכן הגדלת פי שניים בכל אחת מכפילה את הכוח ב-$2 \times 2 = 4$.
שני מספרים מושכים זה את זה בכוח $F$. התאם כל שינוי לכוח החדש.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$F \propto \dfrac{m_1 m_2}{r^{2}}$: המספרים משנים את הכוח באופן ישיר, והמרחק משנה אותו לפי חוק הריבוע ההפוך.
כדורים פועלים כמו נקודות
- כדור אחיד מושך (מחוץ) בדיוק כמו מסה נקודתית במרכזו.
- לכן ניתן להתייחס לכדור הארץ כמסה נקודתית במרכזו, וה-$r$ נמדד תמיד ממרכז למרכז.
שתי מסות נמשכות לאורך הקו המקשר ביניהם
כדור אחיד מושך גופים מחוצים לו כאילו כל מסתו מרוכזת במרכזה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כן — מרחוק, כדור אחיד מתנהג בדיוק כמו מספר נקודתי במרכזו.
דוגמה פתורה: כדור הארץ והירח
מסת כדור הארץ היא $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$, מסת הירח היא $7.35 \times 10^{22}\ \text{kg}$, ומרכזיהם נמצאים במרחק $3.84 \times 10^{8}\ \text{m}$ זה מזה.
- כוח: $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^{2}} = 2.0 \times 10^{20}\ \text{N}$.
- על איזה גוף? על שניהם: הירח מושך את כדור הארץ באותו בדיוק כוח $2.0 \times 10^{20}\ \text{N}$ — זוג לפי חוק השלישי של ניוטון.
- הפחתת המרחק למחצה: הכוח יהיה $4 \times 2.0 \times 10^{20} = 8.0 \times 10^{20}\ \text{N}$.
- בדיקה: רבעו את המרחק לפני החלוקה, ושמרו על יחידות מטרים. תשובה הקרובה ל-$10^{28}\ \text{N}$ מעידה ש-$r$ לא הועלה בריבוע.
שני אנשים בעלי מספר $50\ \text{kg}$ עומדים עם מרכזיהם במונחה $1.0\ \text{m}$ זה מזה. מהו הכוח הכבידה ביניהם, ככפולה של $10^{-7}\ \text{N}$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 50 \times 50}{1.0^{2}} = 1.67 \times 10^{-7}\ \text{N}$ — קטן יותר מכוח הכובד על גרגר אבק, ומכאן שהערך $G$ נקרא זעיר.
מדידת מסת כוכב
- לא ניתן להניח כוכב במאזניים, אך שדה הפנימי שלו חושף את מסתו: $g = \dfrac{GM}{R^{2}}$, ולכן $M = \dfrac{gR^{2}}{G}$.
- גם מסלול הירח עובד: הכבידה מספקת את הכוח המרכזי, $\dfrac{GMm}{r^{2}} = mr\omega^{2}$, ולכן $M = \dfrac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}}$ — נדרשים רק רדיוס המסלול והתקופה שלו.
דוגמה פתורה: מסת מאדים
בפני שטח מאדים, עוצמת השדה היא $3.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ והרדיוס הוא $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. הראו כי מסת מאדים היא כ-$6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$.
- התחילו משדה כדור: $g = \dfrac{GM}{R^{2}}$.
- עצב מחדש: $M = \dfrac{gR^{2}}{G} = \dfrac{3.7 \times (3.4 \times 10^{6})^{2}}{6.67 \times 10^{-11}}$.
- תשובה: $M = 6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$, כפי שנדרש — כעשרית ממסת כדור הארץ.
- בדיקה: סעיף "הראו" מתעדה בעבודה, לכן כתבו את המשוואה, את העיצוב מחדש וההצבה, ותנו למספר לצאת באופן טבעי.
לכוכב יש עוצמת שדה פני שטח של $25\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ ורדיוס של $7.0 \times 10^{7}\ \text{m}$. מהו מספרו, ככפולה של $10^{27}\ \text{kg}$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$M = \dfrac{gR^{2}}{G} = \dfrac{25 \times (7.0 \times 10^{7})^{2}}{6.67 \times 10^{-11}} = 1.84 \times 10^{27}\ \text{kg}$ — קרוב לזוהר של צדק.
$r$ הוא המרחק בין מרכזים — לעולם לא המרווח בין המשטחים, ולעולם גובה מעל הקרקע לבדו. $G$ קטן מאוד, מה שמסביר מדוע הכבידה בין אובייקטים יומיומיים היא זניחה; רק מסה בגודל כוכב הופכת אותה למורגשת. ושני הכוחות בזוג הם שווים, ללא קשר להבדלים במסה — התפוח מושך את כדור הארץ באותו כוח כמו שכדור הארץ מושך את התפוח.
ב$F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$, המרחק $r$ נמדד בין ה____ של שני המספרים.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כדור אחיד פועל כמסה נקודתית במרכזו, ולכן עבור $r$ זהו רדיוס הכוכב לכת בתוספת הגובה מעל הפני השטח.
הבנתך מושלמת
- $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$ — תמיד מושך, לאורך הקו המחבר, שווה בשתי המסות
- זוהי חוק ריבוע ההפוך: הכפלת $r$ → רביעת הכוח
- כדור אחיד פועל כ-נקודת מסה במרכזו, ולכן $r$ נמדד ממרכז למרכז; $M = \dfrac{gR^{2}}{G}$ שוקל כוכב