מכניקה הנדסית — סטטיקה

זוהי הקורס הראשון בהנדסת מכונות אוניברסיטאית: סטטיקה הנדסית — המכניקה של גופים במצב איזון. כל פעולה שמבצע מכונה, גשר או מבנה מתחילה כאן, והכלי המרכזי היחיד בקורס הוא תרשים הגוף החופשי. תשובה בטוחה שגויה.

• יחידות 1.1 ו1.2 בונות את המילון: וקטורים, כוחות והמשמעת של בידוד גוף לפני ביצוע חישובים.
• יחידות 1.3 עד 1.5 פותרות איזון: תחילה חלקיקים, ולאחר מכן רגעים ותמיכות עבור גופים קשיחים.
• יחידות 1.6 עד 1.8 מיישמות את אותם שלושה משוואות למבנים, חיכוך ו עומסים מפוזרים.

כיצ לקרוא כל יחידה: סיפור קצר מסביר מדוע היא חשובה; תמונה באה לפני כל נוסחה; לאחר מכן ההגדרות המדויקות; ואז דוגמאות פתורות הולכות ומתקשות, כל אחת עם בדיקה שחושבה בדרך שנייה; לאחר מכן השגיאות שאנשים אכן עושים; ואז סיכום בשלוש שורות. ההרגל שקובע הצלחה: לצייר תחילה את תרשים הגוף החופשי המלא, עם כל הכוח וכל תגובה, ולבדוק אותו לפני כתיבת משוואות. תגובה חסרה היא בלתי נראית באלגברה — היא פשוט מובילה ל תשובה שגויה בטוחה. תשובה בטוחה שגויה.

שתי חבלים מושכים קופסה: אחד מזרחית ב-30 N, אחד צפונית ב-40 N. איזה משיכה יחידה תהיה להחליף אותם? מענה לכך — שילוב וחלוקה של דחיפה — הוא מה שהיחידה 1.1 עושה בדיוק.

כוח הוא דחיפה או משיכה עם גודל, כיוון ו-** קו פעולה. כוחות הם וקטורים: הם נספרים קצה-לקצה, והם מתפרקים לרכיבים לאורך צירים נוחים כלשהם. משוואות ההתפרקות, כאשר $\theta$ נמדד ביחס לציר ה-$x$:

המאזן של מספר כוחות הוא סכום הווקטורים שלהם: לסכום את הרכיבים, ולאחר לבנות מחדש את הגודל $R = \sqrt{(\Sigma F_x)^2 + (\Sigma F_y)^2}$ והכיוון $\theta_R = \tan^{-1}(\Sigma F_y / \Sigma F_x)$. כוח ניתן להזזה לאורך קו הפעולה שלו בלי לשנות את השפעתו על גוף קשיח — אך לעולם לא צדדי מחוץ לקו קו. כוחות במערכת SI נמדדים ב-ניוטונים (N); 1 N מאיץ 1 ק"ג ב 1 m/s². משקלים הם כוחות: $W = mg$, עם $g = 9.81 \text{ m/s}^2$, ולכן בלוק של 50 ק"ג שוקלת 490.5 N.

דוגמה פתורה 1 (פרוק ובדוק). כוח של 100 N פועל בזווית 30° מעל האופק: $F_{x} = 100\cos 30^{\circ} = 86.6$ N ו-$F_{y} = 100\sin 30^{\circ} = 50$ N. בדוק: $\sqrt{86.6^{2} + 50^{2}} = 100$ N — המרכיבים תמיד בונים מחדש את הווקטור המקורי, מה שמאפשר בדיקה חופשית בשני הכיוונים.

דוגמה פתורה 2 (שלושה כוחות, מורחב). עמודה נמשכת על ידי שלושה חבלים: 200 N מזרח, 150 N צפון, 100 N מערב. סכמו את המרכיבים תחילה: $\Sigma F_x = 200 - 100 = 100$ N ו-$\Sigma F_y = 150$ N, ולכן $R = \sqrt{100^{2} + 150^{2}} = 180.3$ N ב-$\theta_R = \tan^{-1}(150/100) = 56.3°$ מעל המזרח. הבדיקה הגיאומטרית: 100 ו-150 הן רגלי המשולש, ו- 180.3 הוא האלכסון שלו — אותו עיצוב כמו בדוגמה 1, הפוך. זה שיטת מרכיבים-תחילה מחליפה כל איור חוד-אחר-חוד באריתמטיקה שלא ניתן לקשקש.

טעויות נפוצות. ערבוב ייחוס הזווית (מהציר $x$ או מקו הכוח השלישי) – תמיד ציינו מה. שימוש ב-$\cos$ בשני המרכיבים כי המשולש "נראה כמו" בעיה של קוסינוס: $F_x$ לוקח את הקוסינוס של הזווית מה ציר $x$, $F_y$ את הסינוס, בכל פעם. דיווח על גודל ללא כיוון — ש הכוח התוצאתי הוא גם וגם.

סיכום: כוחות הם וקטורים עם גודל, כיוון וקו פעולה; פירקו לפי $\cos$/$\sin$, שילבו בסכום מרכיבים, ובדקו על ידי שחזור המקורי; הזיזו כוח לאורך קו הפעולה בחופשיות, לעולם לא בצורה אחרת.

ספר נמצא על שולחן. מה השולחן עושה לספר? אין דבר בתמונת הספר שהוא מראה — עד שתנתקו את המגע ותציירו מה הוא מעביר. החיתוך הזה, והמשמעת סביבו, היא דיאגרמת הגוף החופשי: הכלי היחיד של הקורס שכל יחידה מאוחרת משתמשת בו.

דיאגרמת גוף חופשי מבודדת גוף אחד, ומציירת כל כוח חיצוני הפועל עליו, ואף דבר אחר. זוהי חיתוך מכוון דרך התמיכות, המפרקים והמגעים, כשכל חיתוך מוחלף במה שמעביר.

• עומסים מופעלים: כבידה, כבלים, מגעים, לחץ נוזלים — עם כיוון ו נקודת יישום.
• תגובות: מה שכל תומך דוחף בחזרה. הכובד פועל ב מרכז הכובד.
• כוחות פנימיים לעולם לא מופיעים: אם לא ביצעת חיתוך דרך החלק, הכוח שלו אינו בתרשים זה.

הבדיקה: ספור את הבלתי ידועים, ספור את המשוואות העצמאיות (שתיים לגוף חלקי ב 2D, שלוש לגוף קשיח), והצהירו האם הגוף קבוע סטטית — ניתן לפתרון באמצעות איזון בלבד.

דוגמה מוצגת 1 (טבעת הנורה). נורה תלויה משני כבלים בזוויות 30° ו-45° מאופק. ה-FBD של הטבעת הוא נקודה אחת עם שלושה כוחות: הכובד 200 N למטה ושני מתחים בלתי ידועים לאורך הכבלים שלהם. אין עדיין פתרון — התרשים IS המסירה של שלב זה, והיחידה 1.3 פותרת אותו.

דוגמה פתורה 2 (בדיקת הקורה, מורחב). קורה באורך 6 מ' נמצאת על מסב בנקודה A ועל טעויות נפוצות. ציור כוחות שהגוף אינו מרגיש (העומס בצד האחר של החיתוך). שכחת תגובה בגלל "התמיכה נראית קשיחה" — קשיחות היא בדיוק הסיבה שהיא דוחפת אחורה. ציור כוחות פנימיים בתוך המברג במקום לחתוך אותם. מרכיבים ($A_x$, $A_y$) ומרכיב אחד של הגלגל ($B_y$): שלושה נעלמים מול שלושה משוואות לגוף קשיח — נקוב ופתיר. כעת בדוק את מצבי הכשל: התעלם מה- המרכיב האופקי של המסב והחישוב יראה נעים יותר, אך הקורה אינה פתירה; חלקיק הוא גוף שאינו משנה את גודלו — כל הכוחות פועלים בנקודה אחת. איזון ב1.5D הוא שתי משוואות:

טעויות נפוצות. ציור כוחות שהגוף לא מרגיש (העומס בצד ה-אחר של החיתוך). שוכחים תגובה כי "התמיכה נראית קשיחה" — קשיחות היא הסיבה המדויקת לכך שהיא דוחפת בחזרה. ציור כוחות פנימיים בחלקים בתוך ההרכבה במקום לחתוך אותם. בדיוק למה הוא דוחף בחזרה. ציור כוחות חלקים פנימיים בהרכבה במקום סיכום: חתוך, החלף וצייר רק מה שהגוף המבודד מרגיש; העומסים הם

סיכום: לחתוך, להחליף ולצייר רק מה שהגוף המבודד מרגיש; העומסים יש כיוון ונקודת יישום; בדיקת האלגברה (משתנים לא ידועים מול משוואות) באה לפני כל אלגברה.

טבעת המנורה מ1.2 תלויה ללא תנועה. שלוש כוחות פוגעים שם — מה חייב להתקיים מהם? איזון חלקיק הוא התשובה, והוא דורש רק שתי משוואות.

חלקיק הוא גוף שגודלו אינו רלוונטי — כל הכוחות פועלים בנקודה אחת. איזון ב2D נדרש לשתי משוואות:

כל כוח חייב להיות פרוק תחילה (יחידת 1.1); המשוואות אז מתקיימות רכיב-ברכיב מרכיב. בחר צירים לאורך ולעומס על המשתנה הלא ידוע שאתה רוצה למנוע: כל משוואה פותרת אז משתנה אחד ישירות. כאשר שלושה כוחות מאוזנים, הם חייבים להיתך — קווי הפעולה שלהם עוברים דרך נקודה אחת — או להיות מקבילים; זאת עובדה גיאומטרית פותרת בעיות רבות ללא חישובים.

דוגמה מופת 1 (הסימן הסימטרי). שלט במשקל 400 N תלוי בשני כבלים בזווית 30° מעל האופק. לפי סימטריה לכל כבל יש אותה מתיחה $T$; אנכית, $2T\sin 30^{\circ} = 400$, ולכן $T = 400$ N. אופקית הרכיבים הכבלים מבטלים זה את זה לפי סימטריה — ואם היו לא מבטלים, הייתה זו הבדיקה שתלוכדת טעות. שימו לב איך כבל תלול יותר (זווית גדולה) דורש פחות מתח: הרכיב האנכי הוא שמחזיק את השקל.

דוגמה מופת 2 (המנורה הא-סימטרית, פתורה, מורחבת). המנורה במשקל 200 N של יחידה 1.2: הכבל 1 בזווית 30°, והכבל 2 בזווית 45°. המשוואות, עם רכיב ה-x של $T_1$ מצביע שמאלה ושל $T_2$ ימינה:

הצבת $T_1 = T_2\cos 45^{\circ}/\cos 30^{\circ} = 0.816\,T_2$ במשוואה האנכית נתונה: $T_2(0.408 + 0.707) = 200$, ולכן $T_2 = 179.3$ N ו-$T_1 = 146.4$ N. בדיקה: $146.4\sin 30^{\circ} + 179.3\sin 45^{\circ} = 73.2 + 126.8 = 200$ N בדיוק. ההרחבה שמעוניין בה: הסימטריה נעלמה, אך מנגנון שתי המשוואות נשאר פעיל — והכבל התלול ביותר 45° נושא יותר, בדיוק כפי שהדוגמה 1 נבאה.

שגיאות נפוצות. סיווג של שני רכיבי ה-x באותו סימן כי "שניהם עולים" — העלייה היא ציר ה-y; רכיבי ה-x מתנגדים. פתרון ביחסים ($T$ מתפצל כהזוויות) — המתיחה נובעת מסינוסים, ולא מגודל הזוויות. דילוג על המשוואה השנייה כאשר קיים סימטריה: סימטריה היא מסקנה לבדיקה, לא להנחה. הניחו.

סיכום: שתי משוואות רכיבים; בחר צירים כדי לבודד נעלמים; שלושה כוחות במאזן מתחלקים בנקודה אחת; בדוק סימטריה במקום להניח אותה.

מדוע מפתח ארוך משתחרר בורג שאינו משתחרר על ידי מפתח קצר? אותו דחיפה, זרוע ארוכה יותר — האפקט הסיבתי גדל עם המרחק. אפקט זה דורש מדד משלו ומשוואה משלו. מדד את עצמו ומשוואה משלו.

מומנט הוא האפקט הסיבתי של כוח סביב נקודה: $M = F\cdot d$, כאשר $d$ הוא זרוע המומנט — המרחק האנכי מ הנקודה לקו פעולת הכוח. מומנטים נמדדים ב-N·m, והם נושאים סימן: כיוון נגד כיוון השעון חיובי הוא הקונבנציה המקובלת.

צמדת כוחות היא זוג של כוחות שווים, הפוכים ומקבילים. המומנט שלה $M = F\cdot d$ (המרחק בין קווי הפעולה) זהה סביב כל נקודה — זוג כוחות אין לו כוח נטו, אך יש לו אפקט סיבוב טהור. השלישי משוואת האיזון היא $\Sigma M_O = 0$ סביב כל נקודה נוחה, וניתן לבחור נקודה על קו הפעולה של כוח לא ידוע כדי להשמיט אותו.

הסבר מדוע זוג כוחות אינו תלוי בנקודת ייחוס. נגזור מומנטים של הזוג סביב כל נקודה $O$ במרחק $a$ מקו הפעולה של הכוח הראשון: $M_O = F(a + d) - F(a) = F d$ — ה $a$ מתבטל. כוח אחד מרוויח והאחר מאבד בדיוק באותו סכום. ש הביטול הזה הוא ההגדרה ל"סיבוב טהור".

דוגמה מופת solved 1 (זוג כוחות לעומת כוח יחיד). שני כוחות בגודל 150 N יוצרים זוג כוחות עם מרחק בין קווי הפעולה של 0.8 m: מומנט של $M = 150 \times 0.8 = 120$ N·m, זהה סביב כל נקודה במישור. כוח יחיד 240 N עם מומנט זרוע 0.5 m גורם גם ל120 N·m סביב הנקודה הזו — אך רק סביב נקודה זו; אם מזיזים את נקודת הייחוס, ה מומנט משתנה. ניגוד זה — מומנט של זוג כוחות קבוע, מומנט של כוח יחיד תלוי בנקודת ייחוס — מהווה את העיקרון כולו.

דוגמה מופת solved 2 (שילובם, בהתפתחות). זרוע תמיכה חשה בכוח כלפי מטה בגודל 300 N שהקו הפעולה שלו עובר במרחק של 0.4 m מימין לבולט $O$, בנוסף לזוג כוחות מופעל בכיוון השעון בגודל 60 N·m. סביב $O$: הכוח יוצר מומנט של $300 \times 0.4 = 120$ N·m בכיוון השעון, הזוג כוחות יוצר מומנט של 60 N·m בכיוון השעון, הסך הכל 180 N·m בכיוון השעון — וסביב כל נקודה אחרת, החלק הקשור לכוח משתנה בעוד שהמומנט של 60 N·m אינו משתנה. אם התמיכה באיזון, הבולט והשותף שלו חייבים לספק מומנט נגדי כיוון השעון בגודל 180 N·m ביניהם; העובדה שהמומנט אינו תלוי בנקודת ייחוס מאפשרת לחשב מומנטים סביב כל בולט שמתאים לחישוב האלגברי.

שגיאות נפוצות. שימוש במרחק לנקודת ההשפעה של הכוח במקום במרחק האנכי לקו הפעולה שלו. פליטה של זוג הכוחות מחישוב המומנט. סכומים "כי אין להם כוח" — זוגות נכנסים לכל משוואה של סכום, במלואה. שליחת מומנטים היא חתומה: ערבוב גודלים עם כיוון שעון ונגד כיוון השעון ב סכום אחד.

סיכום: $M = Fd$ סביב נקודה נבחרת עם הזרוע המאונכת; זוגות הם סיבוב טהור, אותו דבר בכל נקודה; בחר את נקודת המומנט כדי לבטל אי-ידועים.

גיר גשר מונח על קצה מחובר בולט וקצה החלק — מדוע בולט אחד ולא שניים? כי המשימה של התמיכות היא לספק בדיוק את האי-ידועים שהמשוואות שלוש יכולות לעכל: יחידה זו מארגנת כוחות ומומנטים לשיטה המלאה לגוף קשיח.

גוף קשיח ב 2D מספק שלוש משוואות: $\Sigma F_{x} = 0$, $\Sigma F_{y} = 0$, $\Sigma M = 0$. תמיכות מספקות תגובות, וכל סוג תמיכה מגביל תנועה ספציפית: תנועה:

• גלגלת: תגובה אחת, מאונכת לפני השטח.
• ציר: שני רכיבי תגובה, בכל כיוון.
• תמיכה מהודקת: שני רכיבי כוח וגם מומנט.

דוגמה פותרת 1 (הקורה הפשוטה). קורה באורך 6 m מונחת על ציר ב-A וגלגלת ב-B נושאת עומד נקודי בגודל 12 kN המרוחק 2 m מנקודה A. מומנטים סביב A: $R_{B} \times 6 = 12 \times 2$, ולכן תגובה אנכית בגודל $R_{B} = 4$ kN; אנכית בתוצרת הכוללת $R_{A} = 12 - 4 = 8$ kN. בדוק באמצעות מומנטים סביב B: $R_{A} \times 6 = 8 \times 6 = 48 = 12 \times 4$ ✓ — משוואה שלא שימשה לקבלת שום תשובה. ליוצר את התשובות.

דוגמה פותרת 2 (המתח, מעורע). אותו קורה, אך הגלגלת זזה ל- 4 מ' מ-A והעומס ה-10 kN תלוי בקצה ה-6 מ'. מומנטים סביב A: $R_{B} \times 4 = 10 \times 6$, ולכן $R_{B} = 15$ kN — גדול מהעומס, כי הוא מנצל יתרון מומנט. אנכית $R_{A} = 10 - 15 = -5$ kN: הציר מושך למטה ב-value 5 kN. בדוק באמצעות מומנטים סביב B: $R_{A} \times 4 + 10 \times 2 = -20 + 20 = 0$ ✓. התוצאה השלילית אינה שגיאה — הקורה מצביעה על כך ש- יש להיחזק למטה, והסיבה לכך שקורות מתח אמיתיות מחוברות בבורג ולא רק נשענות.

איבר דו-כוחי נושא כוחות שווים, הפוכים וכופליים לאורך הישר המחבר בין שני נקודות ההצמדה שלו — אין בו מטען נוסף. זיהוי איברים כאלה הופך מבנים קשים ל- פשוטים. כל בדיקה כאן מחשבת מחדש תשובה באמצעות משוואה שלא שימשה ליצירתה. להפקתה.

טעויות נפוצות. הנחה שכל תגובה אנכית מופנית כלפי מעלה — במתחים ובמטענים מוזזים הם הפוכים. חישוב מומנטים מספר נקודות אך שימוש בשגויות ביד המומנט של האותו נעלם פעמיים: יש לסמן את המרחקים על FBD לפני החיבור. כינוי מבנה לא-תכונן "פתרון עם מאמץ נוסף": 6 נעלמים מול 3 משוואות היא עובדה, לא אתגר.

סיכום: שלושה משוואות, תמיכות נקבעות לפי מה שהן מונעות (1, 2 או 2+M), נעלמים; מומנט סביב הנקודה שמטשטשת נעלם; תגובות שליליות הן מידע; איברים דו-כוחיים הם מתנות.

גשר רכבת מעביר את הרכבת שלו דרך מאות מוטות צרים, שאף אחד מהם מתכופף. הסוד הוא במשולש: משולשים מחוברים נושאים עומסים צירית, ועומס צירי פירושו שני כוחות, כלומר ניתן לפתור — יחידה זו היא התגמול לכל מה שקדם לה.

גשר הוא מבנה של מוטות ישרים דו-כוחיים המחוברים במפרקים חסרי חיכוך, נושאים עומסים רק בנקודות החיבור. המוטות נושאים מתיחה טהורה או דחיסה לאורך הצירים שלהם.

שיטת המפרקים: בכל מפרק, שתי משוואות כוח פותרות שני כוחות במוטות נעלמים. שיטת החתכים: חוצים שלושה מוטות, לוקחים חלק אחד כדיאגרמת גוף חופשי FBD, ופתרנו שלוש משוואות — אידיאלי למוט אחד הרחק בתוך גשר ארוך. חברים ללא כוח נושאים אפס כוח צירמי תחת העומס הנקבע. בצומת ללא עומס חיצוני או תגובה תמיכה, שני חברים לא מקבילים הם כולם חברים ללא כוח. אם שלושה חברים נפגשים ושניים מהם מקבילים, ה שלישי הוא חבר ללא כוח. סימטריה אינה נדרשת.

דוגמה מפורשת 1 (מפרק בקיר). מפרק בקיר נתמך על ידי מוט אופקי ומוט אלכסוני העולה בגיאומטריה 3-4-5, נושא עומס של 3.6 kN תלוי כלפי מטה. אנכית: $F_{inclined} \times (3/5) = 3.6$, ולכן $F_{inclined} = 6$ kN (מתיחה). אופקית, המברג האופקי מקבל $6 \times (4/5) = 4.8$ kN דחיסה. כל חיבור בכל קרס הוא אותו דבר שלב שני-משוואות.

דוגמה פתורה 2 (קרס מלא, מאומת על ידי מחשב, מעודכן). קרס פרט של 6 מטר רוחב בשלושה 2 מטר תאים, גובה 2 מטר: חיבורים תחתונים A–C–D–B, חיבורים עליונים T1 מעל C ו-T2 מעל D, אנכים ב-C ו-D, אלכסונים A–T1 ו-T2–B, ואחד אלכסון פנימי T1–D. עומסים של 4 kN תלויים ב-C וב-D; לפי סימטריה $R_A = R_B = 4$ kN. פתרון כל שישה החיבורים (מאומת על ידי מחשב, שאריות אפס בכל מקרה):

• קורות תחתונות: מתיחה של 4 kN בכל פאנל; קורת עליונה T1–T2: הדקה בvalue 4 kN
• קשתות אלכסוניות A–T1 ו-T2–B: $4\sqrt{2} = 5.66$ kN בלחץ; עמודים אנכיים: 4 kN מתיחה (כל אחד תולת מטען של צומת התחתון שלו מקורה העליון)
• האלכסון הפנימי T1–D: אפס — הלוח המרכזי אינו נושא כוח גזירה, משום שהתגובה 4 kN נצרכת על ידי המטען 4 kN בנקודה C

זהו הדפוס של כל שרשרת פשוטה נתמכת בתחתית בעומסי מטה: היא מתקמעת, לכן הקורה התחתונה נמתחת (מתיחה) והקורה העליונה מתכווצת (לחץ). אם הקורה התחתונה יוצאת בלחץ, חפש טעות סימן.

שיטת החתך בודקת איבר אחד ללא שימוש בחיבורים: חתכו את התא הימני (הקורה התחתונה D–B והאלכסון T2–B), שמור על החלק הימני (צומת B) וחשב מומנטים אודות T2, שבו האלכסון החתוך עובר. עם מתח כחיובי, כוח הקורה התחתונה מושך את B שמאלה לאורך קו 2 m מתחת ל-T2: $4 \times 2 - F_{bottom} \times 2 = 0$, ולכן $F_{bottom} = 4$ kN מתיחה — בהתאמה לתוצאת החישוב מהחיבור לחיבור באמצעות מסלול אחר.

מסגרות ומכונות מכילות מברגים רב-כוחיים; פירקו אותן, ציירו FBD לכל מברג עם כוחות החיבור השווים והמונוטים בשכנו, ופתרו את ההרכבה חלק אחרי חלק. שגיאות נפוצות. טעינת חיבור באמצע המברג — מברגי קרס נטוענים

שגיאות נפוצות. מטענת צומת באמצע החבר — חברי שרשרת נטענים רק במפרקים (עומס אמצע גורם לעיוות החלק מחוץ לתחום התיאוריה). נניח שכל קורה אלכסונית "צריכה" לשאת עומס: מצאו תחילה את הקורות ללא כוח. יישום חתכים דרך ארבעה קורות: שלושה קורות חתוכים הם המקסימום שלוש משוואות יכולות לספק.

סיכום: מפרקים מספקים שתי משוואות כל אחד, חתכים מספקים שלוש; קורות ללא כוח מקצרות את העבודה; לחץ מול מתיחה הוא הדוח; מסגרות מתפרקות לזוגות שווים-נגדיים. ניצבים מנוגדים.

תיבת משקל 50 ק"ג יושבת על מגן בשיפוע 20° ואינה מחליקה. מדוע לא – ומה השיפוע הייתה צריך להיות? חיכוך הוא הכוח היחיד בקורס שמתכוונן עצמו, והיחידה כולה לומדת לשאול "כמה הוא צריך?" לפני ביצוע חישובים כלשהם.

חיכוך יבש מנוגד להחלקה יחסית במגע. לפני ההחלקה, כוח החיכוך מתכוונן עצמו לכל ערך המבטיח איזון, עד לגבול פרופורציונלי לכוח הנורמלי:

כאן מקדם החיכוך הסטטי קובע את החיכוך הסטטי הגבולי, בעוד שמקדם החיכוך הקינטי חל על התהליך בזמן החלקה. בגבול, המגע נמצא בהחלקה עומדת, וחל עליו מלוא המשפט החיכוכי: התגובה הכוללת $R = \sqrt{N^2 + F^2}$ נוטה במקסימום $\phi = \tan^{-1}\mu_s$ מהנורמל.

דוגמה מופתרת 1 (משטח אלכסוני והשוואה קלאסית). גוש במסה 50 ק"ג על משטח אלכסוני בזווית 20° ($\mu_s = 0.4$). רכיב המשקל לאורך השיפוע: $490.5\sin 20^{\circ} = 167.8$ N; חיכוך זמין: $0.4 \times 490.5\cos 20^{\circ} = 184.4$ N. Because $167.8 < 184.4$, הגוש נשאר — וכוח החיכוך בפועל הפעיל הוא רק 167.8 N, ולא 184.4 N. החיכוך לוקח את מה שהוא צריך, לעולם לא את מה שהוא יכול להעניק. הזווית המקסימלית שאין בה החלקה נובעת מיידית: $\tan^{-1}(0.4) = 21.8°$, בדיוק מעל 20° — השוליים קיימים אך צרים.

דוגמה מופתרת 2 (התהפכות או החלקה, מורחבת). ארגז ברוחב 0.5 מטר וגובה 1.0 מטר, מסה 40 ק"ג (משיכה $W = 392.4$ N), $\mu_s = 0.5$, נמשך אופקית בקצה העליון שלו. החלקה דורשת $P_{slip} = \mu_s W = 0.5 \times 392.4 = 196.2$ N. התהפכות סביב הקצה התחתון הקדמי מאזנת את הכוח הנמשך עם המומנט של המשקל: $P_{tip} \times 1.0 = 392.4 \times 0.25$, ולכן $P_{tip} = 98.1$ N. הערך הקטן יותר מתרחש תחילה: הארגז מתהפך ב-98.1 N, הרבה לפני כל החלקה. הלקח עיצובי: ארגזים גבוהים על רצפות מחוספסות מתהפכים; ארגזים נמוכים על רצפות חלקות מחליקים — משיכה נמוכה ואותו ארגז מחליק במקום זאת.

טעויות נפוצות. הצבת $F = \mu N$ כערך קבוע: זהו הגבול; האיזון קובע את הכוח בפועל, והחלקה עומדת להיגרם היא בלבד שמגיעה לגבול זה. הנחתה שגויה בכיוון התנועה המתוכננת — החיכוך מתנגד לתנועה שהייתה מתרחשת, לא לכל כיוון תנועה שגוי — חיכוך נגד תנועה שתייה תקרה, לא כל תנועה שתוכל לדמיין. השוואת ערכי $P$ מבלי לבדוק אילו כישלון הם לשייך ל-.

סיכום: חיכוך מתכוונן עצמו עד $\mu_s N$; השוו בין הנדרש לבין הזמין; זווית הקונוס $\tan^{-1}\mu_s$ היא הטיה הסטטיקה הגרועה ביותר; קצה מול החלקה משווה שני כוחות משיכה ולוקח את הקטן ביותר.

ערמות שלג עמוקות יותר באמצע המרווח מאשר בקצוות — הקורה למטה לא חשה נקודה, אלא צורה. ההנדסה מגיבה במהלך אחד: מחליפה את הצורה ב- נקודת איזונה, וכל הכלי הקודם חל ללא שינוי. סה

עומס מפוזר מפיץ כוח לאורך או בשטח (N/m, N/m²). A מרכז הכובד הוא נקודת האיזון של המטען: ניתן להחליף את כל ההתפלגות בתוצרת הסך הכל - הגודל הכולל הפועל במרכז הכובד.

• מלבן (עומס אחיד $w$ לאורך $L$): $R = wL$ באמצע, $L/2$.
• משולש (שיא $w_{0}$ בקצה אחד לאורך $L$): $R = w_{0}L/2$ במרחק $L/3$ מהשיא כל צורה הופכת לחץ אחד: הגודל הכולל במקום האיזון

גזירת מרכז הכובד של המשולש. רצועה במרחק $x$ מהקצה האפס נושאת עוצמה יחסוני ל$x$, ולכן $\bar{x} = \int x \cdot (w_0 x/L)\,dx \,/\, \int (w_0 x/L)\,dx = 2L/3$ from the zero end, which is $L/3$ מהשיא — הכלל השלישי, עכשיו עם המקור הגלוי.

דוגמה מפורשת 1 (הקורה המשולשית). עומס משולשי עולה מאפס עד 6 kN/m על 4 מ"מ בקורה פשוטה. סך הכל: $R = 6 \times 4/2 = 12$ kN הפועל במרחק $4/3 = 1.333$ מ"מ מהקצה הגבוה. תגובות נובעות משני משוואות מומנטים בדיוק כפי שנהוג לטעינת נקודה. כאשר טעינה אחידה וטעינה משולשת חולקות קורה, החליפו כל אחת בתוצרת שלה וחברו — ההחלפה היא מדויקת, ולא קירוב.

דוגמה מפורטת 2 (שתי צורות, מאומת על ידי מחשב, מעודכן). קורה בעלת אורך 6 מ"מ נושאת טעינה אחידה של 2 kN/m לאורך 3 המ"מ הראשונים וטעינה משולשת העולה ל-4 kN/m לאורך 3 המ"מ האחרונים. תוצריות: $R_1 = 6$ kN במרחק 1.5 מ"מ מנקודה A; $R_2 = 6$ kN במרחק 5 מ"מ מנקודה A. מומנטים סביב A: $R_B \times 6 = 6 \times 1.5 + 6 \times 5 = 39$, ולכן $R_B = 6.5$ kN ו- $R_A = 5.5$ kN. בדיקה סביב B: $5.5 \times 6 = 33 = 27 + 6$ ✓ (אומת על ידי מחשב).

עם זאת, הקורס גוזר את הסיום: הטעינות מצטמצמות לתוצריות, התוצריות נכנסות ל דיאגרמות גוף חופשי, ושלוש משוואות האיזון מסתיימים את העבודה.

טעויות נפוצות. מיקום התוצרת המשולשית באמצע הגיאומטרי — היא נמצאת תמיד במרחק $L/3$ מקצה הפסגה. חלוקת טרפז בקצוות הפסגה השגויים. התייחסות להחלפה כקרוב: היא מדויקת.

סיכום: כל צורה הופכת לסך הכול שלה במרכז הכובד שלה — $wL$ ב$L/2$, $w_0L/2$ ב$L/3$ מהפסגה — ולאחר מכן יחידת 1.5 מסתיימת, בדיוק.