4 · סטטיסטיקה והסתברות

IB Diploma Programme · IB Diploma · Mathematics: Applications and Interpretation · SL · נושא 4

4.1

היקף ותנאי מקדימים

התמקדות SL נתמכת. הבחינה הראשונה 2021; נוכחת עד 2028. קורס הבחינה הראשונה-2029 נפרד.. הדרישות הנותרות להמדריך, לבחינה ולמעשייה שומרות על התקפותיהן המוקלטות.

תנאי הכנה: קרא את הכמויות והיחידות הנ stated, השתמש באריתמטיקה ובתנאי המודל למטה. כל שיעור מפתח את השיטה שלו לפני העברה עצמאית.

אלו הם דוגמאות הוראה מקוריות או בדיוניות במפורש, לא מדידות אמיתיות או בדיקות למידה שנבדקו והושלמו.

מילון מונחים אימון

English	עברית
frequency density/ˈfriːkwənsi ˈdensɪti/	צפיפות תדירות
conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/	הסתברות תנודית
expected value/ekˈspektɪd ˈvæljuː/	ערך צפוי
significance level/sɪɡˈnɪfɪkəns ˈlevl/	רמת מובהקות

4.2

סיכום נתונים, היסטוגרמות ופרשנות

האם ממוצע אחד מספק את כל התמונה?

לשתי קבוצות אותו ממוצע חצאי אך התפזרות שונה. סיכום אחד אינו יכול לתאר גם מיקום וגם עקביות.
שיעור זה לומד צפיפות תדירות: תדירות מחולפת בעובי מחלקה, המשמשת כגובה היסטוגרמה.

בחר את המבנה המתמטי

השווה ממוצע והתפזרות מתאימים בהקשר. להיסטוגרמה יש משתמש בשטח עבור תדירות, ולכן גובה=תדירות/עובי מחלקה. הערכות למיון מניחות ערכים ייצוגיים בתוך המרווחים.
ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

$$\overline x=\frac{\sum x_i}{n},\qquad \mathrm{density}=\frac{\mathrm{frequency}}{\mathrm{class\ width}}$$

בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

מחלקה מ10 עד 20 עם תדירות 30 יש צפיפות 30/10=3. מחלקה מ20 עד 40 עם תדירות 20 יש צפיפות 20/20=1. הפסל הרחב יותר לא צריך להתבלבל עם צפיפות גדולה יותר. עבור ערכים 2,4,4,6,9, הממוצע החצאי הוא 4 והממוצע הוא 5.

סיכומי נתונים, היסטוגרמות ופרשנות — תרשים הוראתי מקורי

בדוק קיצור מפתה

הפסל הגבוה ביותר בהיסטוגרמה אינו חייב להכיל את הכי הרבה תצפיות. ממוצע למיון הוא הערכה. קורלציה אינה מוכיחה זאוריות, ואקסטרפולציה מרחיבה מעבר לטווח הנצפה.
כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

גובה פסל בהיסטוגרמה שווה תמיד לתדירות שלו, גם עם עובי מחלקות לא שווה. טענה זו שגויה. הסבר אילו הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

בחר תצוגה המתאימה לסוג הנתונים. ספק גם השוואה מספרית ומה sheo על האוכלוסייה; אל תסיק דיוק רב יותר מהדוגמה תומכת.
פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

הערכה ראשונה נוכחית-2021 יישומים ופרשנות SL. זהו תמיכה בתפיסה מאת המחבר; נדרש מדריך מלא לאישור כל מטרה.
תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

תדירות מחולפת בעובי מחלקה, המשמשת כגובה היסטוגרמה. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.

4.3

הסתברות, עצים והסקה תנאיית

מה משתנה לאחר המשיכה הראשונה?

שקית מכילה 3 חלקיקים אדומים ו2 חלקיקים כחולים. הוצאת שניים ללא החזרה משנה את הסיכוי לצבע השני.
שיעור זה עוסק בהסתברות מותנית: ההסתברות לאירוע לאחר צמצום מרחב הדגימה לתנאי מצוין.

בחר את המבנה המתמטי

כפל לאורך ветвь עץ וחיבור ветвь בלתי תלויות. עם החזרה, הרכב נשאר קבוע. הסתברות מותנית היא P(A בתנאי B)=P(A∩B)/P(B), עבור P(B)>0.
ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$

בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

ללא החזרה, P(שני אדומים)=3/5×2/4=3/10. P(אחד מכל) =3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. אם P(A∩B)=0.12 ו-P(B)=0.3, אז P(A בתנאי B)=0.4.

הסתברות, עצים והסקה מותנית — תרשים הוראתי מקורי

בדוק קיצור מפתה

בלתי תואמים פירושו אין חפיפה; בלתי תלויים פירושו שהידע באירוע אחד אינו משנה את ההסתברות של האחר. שני אירועים בלתי תואמים עם הסתברות חיובית אינם בלתי תלויים.
כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

אירועים בלתי תואמים עם הסתברויות חיוביות חייבים להיות בלתי תלויים. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

טבלה דו-כיוונית הופכת את המכנה המוגבל לנראה לעין. לפני שימוש במוצר P(A)P(B), יש להצדיק בלתי תלות מההקשר או מהמידע הספוק.
פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

הערכה ראשונה נוכחית-2021 יישומים ופרשנות SL. זהו תמיכה בתפיסה מאת המחבר; נדרש מדריך מלא לאישור כל מטרה.
תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

ההסתברות לאירוע לאחר צמצום מרחב הדגימה לתנאי מצוין. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.

4.4

דגמים ביונמיאלי, נורמלי ופואסון

מה גורם לספירה להיות חזוי?

בוחן איכות סופר מספר פריטים פגומים. המספר הוא אקראי, אך דגם יכול לתאר את הטווח הסביר שלו.
שיעור זה עוסק בערך צפוי: הממוצע המשוקלל בהסתברות של משתנה אקראי.

בחר את המבנה המתמטי

מודל דו-מוני דורש n קבוע, ניסויים עצמאיים, שני תוצאות ו-p קבוע. E(X)=np ו-Var(X)=np(1-p). עבור מודל נורמלי השתמש ב-z=(x-μ)/σ. מודל פואסון מתאר ספירות בקצב קבוע ובתנאי עצמאות מתאימים.
ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

$$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad X\sim B(n,p)$$

בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

עבור X בינומית(5,0.2), P(X=0)=0.8^5=0.32768, E(X)=1 ו-Variance(X)=0.8. עבור משתנה נורמלי עם μ=100, σ=15, הערך 130 יש לו z=2. ממוצע של Poisson של 3 לשעה נותן ממוצע 6 לאורך שעתיים.

מודלים בינומיאליים, נורמליים ופואסוני — תרשים הוראתי מקורי

בדוק קיצור מפתה

לא כל ספירה היא בינומיאלית: שינוי ב-p או קיום תלות יכול לבטל אותה. עבור משתנה רציף, ההסתברות לערך מדויק יחיד היא אפס. תיקון רציפות חשוב כאשר מעריכים התפלגות דיסקרטית באמצעות התפלגות נורמלית.
כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

כל ספירת הצלחות מתפלגת בינומיאלית ללא קשר לתלות. טענה זו שגויה. הסבר את ההגדרה או ההנחה שהיא מפרה.

פרש מצב חדש

כתוב את האירוע כאי-שוויון לפני השימוש בפונקציות ההתפלגות במחשבון. הבדל בין P(X<k), P(X≤k) ובין זנב המשלים. ציין הנחות בהקשר.
פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

הערכה ראשונה נוכחית-2021 יישומים ופרשנות SL. זהו תמיכה בתפיסה מאת המחבר; נדרש מדריך מלא לאישור כל מטרה.
תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

הממוצע המשוקלל בהסתברות של משתנה אקראי. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.

4.5

בדיקת השערות ומסקנות בהקשר

האם יכולה כמות ליישב את התוצאה?

מפעל טוען כי רק 10% מהפריטים הם פגומים. דוגמה מכילה יותר פגמים, אך chance לבדה עשויה להסביר חלק מההבדל.
שיעור זה לומד רמת מובהקות: סף ההסתברות הנבחר לדחיית השערת אפס.

בחר את המבנה המתמטי

נסח את H₀ ו-H₁ בפרמטרים של האוכלוסייה לפני בדיקת התוצאה. חשב את הסתברות הזנב המתאימה תחת H₀. דחית את H₀ כאשר הראיות עומדות בכלל המובהקות המפורט; אחרת אמור שאין מספיק ראיות.
ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

$$H_0:p=p_0,\qquad H_1:p>p_0$$

בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

עבור H₀:p=0.1 ועבור H₁:p>0.1 עם n=10, ריכוז של לפחות 3 פגמים הוא הסתברות 1-(0.9^10+10×0.1×0.9^9+45×0.1²×0.9^8)≈0.070191. ב-5%, זהו אי-הספק של ראיות לכך שמנת הפגמים עולה על 10%.

מבחן הייפוזות ומסקנות בהקשר — תרשים הוראתי מקורי

בדוק קיצור מפתה

אי-דחיית H₀ אינה הוכחה לכך ש-H₀ נכון. יש לבחור את הזנב מתוך H₁, ולא מהזנב שמספק תוצאה קטנה. מובהקות סטטיסטית אינה מדדת גודל מעשי של אפקט.
כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

כשל הדחיית השערת אפוס מוכיח שהיא נכונה. טענה זו שגויה. הסבר את ההגדרה או ההנחה שהיא מפרה.

פרש מצב חדש

סיים במשפט על האוכלוסייה ועל הטענה המקורית. ציין את ההנחות של המודל ובדוק האם הליך הדגימה תומך בהן.
פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

הערכה ראשונה נוכחית-2021 יישומים ופרשנות SL. זהו תמיכה בתפיסה מאת המחבר; נדרש מדריך מלא לאישור כל מטרה.
תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

סף ההסתברות הנבחר לדחיית השערת אפס. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.

שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה

לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.

4 · סטטיסטיקה והסתברות

היקף ותנאי מקדימים

סיכום נתונים, היסטוגרמות ופרשנות

האם ממוצע אחד מספק את כל התמונה?

בחר את המבנה המתמטי

עבר על מקרה מאומת

בדוק קיצור מפתה

פרש מצב חדש

השתמש בכך בקורס שלך

הסתברות, עצים והסקה תנאיית

מה משתנה לאחר המשיכה הראשונה?

בחר את המבנה המתמטי

עבר על מקרה מאומת

בדוק קיצור מפתה

פרש מצב חדש

השתמש בכך בקורס שלך

דגמים ביונמיאלי, נורמלי ופואסון

מה גורם לספירה להיות חזוי?

בחר את המבנה המתמטי

עבר על מקרה מאומת

בדוק קיצור מפתה

פרש מצב חדש

השתמש בכך בקורס שלך

בדיקת השערות ומסקנות בהקשר

האם יכולה כמות ליישב את התוצאה?

בחר את המבנה המתמטי

עבר על מקרה מאומת

בדוק קיצור מפתה

פרש מצב חדש

השתמש בכך בקורס שלך

שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה

נושאים נוספים בIB Diploma Programme · IB Diploma · Mathematics: Applications and Interpretation · SL

היכנס או צור חשבון

הנושא שלך

כל הסעיפים

משוב וסיוע