5 · אנליזה מתמטית

מיקוד HL נתמך. הערכה ראשונה 2021; נוכחית דרך 2028. קורס הערכה-2029 ראשונה הוא נפרד.. המדריך, ההערכה והדרישות המעשיות הנותרות שומרות על החזקותיהן המוקלטות.

תנאי הכנה: קרא את הכמויות והיחידות הנ stated, השתמש באריתמטיקה ובתנאי המודל למטה. כל שיעור מפתח את השיטה שלו לפני העברה עצמאית.

אלו הם דוגמאות הוראה מקוריות או בדיוניות במפורש, לא מדידות אמיתיות או בדיקות למידה שנבדקו והושלמו.

מה השיפוע בנקודה אחת?

• כביש מעוגל יש לו שיפועים שונים במיקומים שונים. מדרגה ממוצעת לא יכולה לתאר כל נקודה.
• שיעור זה לומד נגזרת: קצב שינוי מיידי, גם כן שיפוע של משיק.

בחר את המבנה המתמטי

• עבור y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1). נקודה עצירה מקיימת dy/dx=0. בדוק את שינוי הסימן של הנגזרת, או את הנגזרת השנייה כאשר היא אינה אפס, כדי למיין אותה.
• ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

• בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

עבור y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. ב-x=1, השיפוע הוא 0 ו-y=-2. הנגזרת השנייה היא 6x, חיובית ב-x=1, ולכן זוהי מינימום מקומי. ב-x=-1, y=2 והנגזרת השנייה שלילית, מה שמעניק מקסימום מקומי.

בדוק קיצור מפתה

• נגזרת אפס לא תמיד מציינת מקסימום מינימום: y=x³ נמצאת בנקודה יציבה ב-0 אך ממשיכה לעלות. קצה תחום יכול גם כן ליצור ערך קיצוני בתחום מוגבל.
• כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

כל נקודה עם נגזרת שווה לאפס היא מקסימום או מינימום מקומי. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

• ברמת GCSE/IGCSE השתמש רק בטווח הפולינומים המותר לפי הרמה; אל תוסיף כלל שרשרת, מכפלה או מנה. ברמה המתקדמת, חבר בין הנגזרת לשיעורי זמן ולאופטימיזציה עם תחום תקף.
• פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

• הערכה ראשונה נוכחית-2021 יישומים ופרשנות HL. זהו תמיכה בתפיסה מאת המחבר; נדרש מדריך מלא לאישור כל מטרה.
• תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

שיעור הזמן המיידי, או במילים אחרות, שיפוע המשיק. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ומתח את התוצאה.

כמה אמין הוא הקירוב?

• למשוואה לא-ליניארית אין פתרון מדויק נוח. קירוב עדיין זקוק להוכחה שהוא אמין.
• שיעור זה לומד איטרציה: עדכון חוזר שבו כל קירוב חדש מחושב מהקירוב הקודם.

בחר את המבנה המתמטי

• פונקציה רציפה עם סימנים הפוכים בשני הקצוות יש לה שורש ביניהם. שיטת ניוטון משתמשת ב-x הבא=x-f(x)/f prime(x), עם נגזרה שאינה אפס. כלל הטרפז קירוב אינטגרל מוגדר באמצעות גבהי הקצוות.
• ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

• בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

עבור f(x)=x²-2 ו-x₀=1.5, ניוטון נותן x₁=1.5-(2.25-2)/3=1.4166667. עם y=x² על [0,2] ושני פסים שווים, h=1 ושטח הטרפז=(1/2)(0+2×1+4)=3; השטח המדויק הוא 8/3.

בדוק קיצור מפתה

• שינוי סימן ברוחב אי-רציפות אינו מוכיח קיום שורש. איטרציה עשויה להתפוצץ או ליצור מחזוריות. הערכת יתר או חסר של כלל הטרפז תלויה בעקומת הפונקציה, ולא רק בהגדלה שלה.
• כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

כל שינוי סימן מוכיח קיום שורש, כולל אחד שמעבר לקטיעות. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

• ספק קריטריון עצירה ודווח דיוק סביר. ודא את השורש המוערך על ידי טווח סימנים סביב התשובה המעוגלת; הסבר כל כשל באיטרציה שנבחרה.
• פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

• הערכה ראשונה נוכחית-2021 יישומים ופרשנות HL. זהו תמיכה בתפיסה מאת המחבר; נדרש מדריך מלא לאישור כל מטרה.
• תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

עדכון חוזר שבו כל קירוב חדש מחושב מהקירוב הקודם. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.

האם הביטוי הפנימי משתנה גם הוא?

• עוף העלות הוא חזקה של ביטוי משתנה. גזירת החזקה החיצונית לבדה מחמיצה את השיעור של הקלט שלה.
• שיעור זה לומד כלל שרשרת: הכלל שמכפיל את הנגזרת החיצונית בנגזרת הפנימית לפונקציה מורכבת.

בחר את המבנה המתמטי

• עבור y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x). עבור uv, גזור ל-u prime v+uv prime. עבור u/v, השתמש ב-(u prime v-uv prime)/v², כאשר v≠0.
• ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

• בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

עבור y=(3x+1)^4, y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. ב-x=0, השיפוע הוא 12. עבור x²+y²=25, גזור באופן סתום: 2x+2y y prime=0, ולכן y prime=-x/y כאשר y≠0.

בדוק קיצור מפתה

• נגזרת של מכפלה אינה מכפלת הנגזרות. בגזירה סתומה, כל פונקציה של y שהוגזרה מביאה גורם dy/dx. מכנה של מנה מושאר בריבוע.
• כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

הנגזרת של u(x)v(x) היא תמיד u prime כפול v prime. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

• בחר צורה מתאימה לפני הגזירה: פתיחת פולינום קצר עשויה להיות פשוטה יותר. עבור שיעורי זמן קשורים, כתוב את הקשר בסמלים, גזור לפי זמן, ולאחר מכן הצב ערכים שנמדדו.
• פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

• הערכה ראשונה נוכחית-2021 יישומים ופרשנות HL. זהו תמיכה בתפיסה מאת המחבר; נדרש מדריך מלא לאישור כל מטרה.
• תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

הכלל שמכפיל את הנגזרת החיצונית בנגזרת הפנימית לפונקציה מורכבת. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ומתח את התוצאה.

האם ניתן לאסוף את שני הגורמים בנפרד?

• מכפלה פשוטה נראית כמו xe^x לא ניתנת לאינטגרציה על ידי ביצוע אינטגרציה נפרדת לכל גורם.
• שיעור זה עוסק ב-אינטגרציה בחלקים: שיטת אינטגרציה המבוססת על הנגזרת של מכפלה.

בחר את המבנה המתמטי

• השתמש בהצבה כאשר נגזרת פנימית מופיעה כגורם. בחלקים, אינטגרל u v prime =uv-אינטגרל u prime v. עבור פונקציה רציונלית, חלק תחילה אם נדרש, ואז פצל לשברים חלקיים.
• ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

• בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

עבור אינטגרל xe^x dx, בחר u=x ו-v prime=e^x. אז האינטגרל הוא xe^x-e^x+C. עבור אינטגרל 2x/(x²+1) dx, בצע הצבה w=x²+1, dw=2x dx; התשובה היא ln(x²+1)+C.

בדוק קיצור מפתה

• בחירה טובה של u ו-v prime חשובה: האינטגרל הנותר צריך להפוך לפשוט יותר. בהצבה מוגדרת, יש לשנות את הגבולות או לחזור ל-x לפני יישום הגבולות המקוריים.
• כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

האינטגרל של מכפלה שווה למכפלת האינטגרלים הנפרדים שלה. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

• בדוק על ידי גזירה. עבור נפחי סיבוב סביב ציר ה-x השתמש ב-V=π∫y²dx; אל תבלבל בין ריבוע פונקציה לבין אינטגרל הפונקציה.
• פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

• הערכה ראשונה נוכחית-2021 יישומים ופרשנות HL. זהו תמיכה בתפיסה מאת המחבר; נדרש מדריך מלא לאישור כל מטרה.
• תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

שיטת אינטגרציה המבוססת על הנגזרת של מכפלה. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.

מה קובעת הערך ההתחלתי?

• קצב צמיחה של אוכלוסייה פרופורציונלי לגודלה הנוכחי. משוואת הקצב מתארת משפחה שלמה עד שמסופקת אוכלוסייה התחלתית.
• שיעור זה לומד תנאי התחלה: ערך ספציפי בוחר פתרון מסוים מתוך משפחה.

בחר את המבנה המתמטי

• עבור dy/dx=ky, הפרד משתנים: dy/y=k dx, וקבל y=Ae^(kx). השתמש בתנאי התחלה כדי למצוא A. שיטת אואייר לוקחת y הבא=y+h f(x,y), עם צעד h שנבחר.
• ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

• בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

עם dy/dx=0.5y ו-y(0)=2, י Obtained y=2e^(0.5x). אולר עם h=0.2 נותן y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 ו-y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. הערך המדויק השני הוא כ-2.4428.

בדוק קיצור מפתה

• תנאי התחלה קובע את קבוע האינטגרציה; הוא אינו מחליף את האינטגרציה. חלוקה ב-y עלולה לפסול פתרון איזון y=0. דיוק אילר תלוי בגודל השלב ובמשוואה.
• כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

כל גודל צעד נותן בדיוק אותו קירוב אואייר. טענה זו שגויה. הסבר באיזה הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

• למשוואות ליניאריות מסדר שני, יש לשלב את הפונקציה המשלימה עם אינטגרל פרטי מתאים, ולאחר מכן להחיל את תנאי ההתחלה הנדרשים. נושא זה נכלל בתוכנית Further Pure; יש לבדוק את היחידה המסומנת.
• פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

• הערכה ראשונה נוכחית-2021 יישומים ופרשנות HL. זהו תמיכה בתפיסה מאת המחבר; נדרש מדריך מלא לאישור כל מטרה.
• תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

ערך ספציפי בוחר פתרון מסוים מתוך משפחה. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.