4 · סטטיסטיקה והסתברות

IB Diploma Programme · IB Diploma · Mathematics: Applications and Interpretation · HL · נושא 4

הצגת שקפים אימון

4.1

היקף ותנאי מקדימים

מסמך זה מכסה נושאי HL נבחרים לקורס שהוערך לראשונה ב-2021; הוא אינו כולל את כל המסלול.

תנאי מקדימים: לקרוא את הכמויות והיחידות המצוינות, ולהשתמש באריתמטיקה ובתנאי המודל למטה.

הדוגמאות הן מקוריות ודמיוניות: הן אינן מדידות אמיתיות או חקירות תלמיד אמיתיות.

מילון מונחים אימון

English	עברית
frequency density/ˈfriːkwənsi ˈdensɪti/	צפיפות תדירות
conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/	הסתברות תנודית
expected value/ekˈspektɪd ˈvæljuː/	ערך צפוי
significance level/sɪɡˈnɪfɪkəns ˈlevl/	רמת מובהקות
confidence interval/ˈkɒnfɪdəns ˈɪntəvl/	מרווח ביטחון

4.2

סיכום נתונים, היסטוגרמות ופרשנות

האם ממוצע אחד מספק את כל התמונה?

לשתי קבוצות אותו ממוצע חצאי אך התפזרות שונה. סיכום אחד אינו יכול לתאר גם מיקום וגם עקביות.
שיעור זה לומד צפיפות תדירות: תדירות מחולפת בעובי מחלקה, המשמשת כגובה היסטוגרמה.

השיטה

השוואת ממוצע מתאים ופיזור בהקשר.
היסטוגרמה משתמשת בשטח לתדירות, ולכן גובה=תדירות/רוחב מחלקה.
הערכות מקובצות מניחות ערכים נציגים בתוך התחומים.

מקרה מפורט

$$\overline x=\frac{\sum x_i}{n},\qquad \mathrm{density}=\frac{\mathrm{frequency}}{\mathrm{class\ width}}$$

דוגמה:

מחלקה מ10 עד 20 עם תדירות 30 יש צפיפות 30/10=3. מחלקה מ20 עד 40 עם תדירות 20 יש צפיפות 20/20=1. הפסל הרחב יותר לא צריך להתבלבל עם צפיפות גדולה יותר. עבור ערכים 2,4,4,6,9, הממוצע החצאי הוא 4 והממוצע הוא 5.

גרף עמודות של הערכים 2, 4, 4, 6, 9: תדירות 1, 2, 1, 1 — עבור 2, 4, 4, 6, 9: ממוצע = 25 ÷ 5 = 5, ממוצע = 4

היכן הדבר עשוי להתהפך

העמודה הגבוהה ביותר בהיסטוגרמה אינה חייבת להכיל את מספר התצפיות הגדול ביותר.
ממוצע מקובץ הוא הערכה.
קורלציה אינה מוכיחה סיבה ותוצאה, והתארגנות חיצונית מרחיבה מעבר לטווח הנצפה.

לא נכון: גובה עמודת היסטוגרמה שווה תמיד לתדירות, גם עם רוחבי מחלקות לא שווים. ברוחבים לא שווים הגובה הוא צפיפות תדירות; התדירות היא השטח של העמודה.

יישום הדבר

בחר תצוגה המתאימה לסוג הנתונים.
ספק השוואה מספרית וגם פירוש לגבי האוכלוסייה; אל תגזור דיוק גדול מזה שתומך הדגימה.

בקורס שלך

יישומים ופרשנות ברמה גבוהה, הקורס שנבחר לראשונה ב2021.
לכל דף אפשרי מחשבון, אך סימנים עבור שיטה עדיין דורשים את הביטוי או המשוואה הכתובים לפני הערך שלהם.

מפת מושגים:

צפיפות תדירות: תדירות מחולפת לרוחב הקבוצה, משמשת כגובה ההיסטוגרמה.
השוואת ממוצע מתאים ופיזור בהקשר.
שימו לב: העמודה הגבוהה ביותר בהיסטוגרמה אינה חייבת להכיל את מספר הצפיות הגדול ביותר.

כתוב מהמוצע של 9

כיתה עם רוחב 2 יש לה תדירות 22.
הערכים 5, 8, 8, 11 ו13 הם בעלי ממוצע ומחצית. גובה העמודה אינו תמיד שווה לתדירות.

חקור

סיכומי נתונים, היסטוגרמים ופרשנות

השווה ממוצע ופיזור מתאימים בהקשר

בחר מדד מרכז ומדד פיזור עבור הנתונים המופיעים בתרגול הפתור.

4.3

הסתברות, עצים והסקה תנאיית

מה משתנה לאחר המשיכה הראשונה?

שקית מכילה 3 חלקיקים אדומים ו2 חלקיקים כחולים. הוצאת שניים ללא החזרה משנה את הסיכוי לצבע השני.
שיעור זה עוסק בהסתברות מותנית: ההסתברות לאירוע לאחר צמצום מרחב הדגימה לתנאי מצוין.

השיטה

הכפל לאורך ענף העץ והוסף ענפים בלתי תלויים.
עם החזרה, הרכב האוכלוסייה נשאר קבוע.
הסתברות מותנעת היא P(A בתנאי B)=P(A∩B)/P(B), עבור P(B)>0.

מקרה מפורט

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$

דוגמה:

ללא החזרה, P(שני אדומים)=3/5×2/4=3/10. P(אחד מכל) =3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. אם P(A∩B)=0.12 ו-P(B)=0.3, אז P(A בתנאי B)=0.4.

גרף עמודות של שתי גרירות ללא החזרה מ3 אדום ו2 כחול: RR 0.3, RB 0.3, BR 0.3, BB 0.1 — ללא החזרה: P(RR) = 3/5 × 2/4 = 0.3 ו-P(BB) = 2/5 × 1/4 = 0.1

היכן הדבר עשוי להתהפך

אירועים שאינם תלויים זה בזה פירושה שאין להם חפיפה; אירועים עצמאיים פירושה שהידע באחד מהם אינו משנה את הסיכוי של השני.
שני אירועים בלתי תואמים עם סיכוי חיובי אינם עצמאיים.

לא נכון: אירועים בלתי תואמים עם סיכויים חיוביים חייבים להיות עצמאיים. אירועים בלתי תואמים עם סיכויים חיוביים הם תלויים: אם אחד מתרחש, השני לא יכול להתרחש, ולכן P(A and B)=0≠P(A)P(B).

יישום הדבר

טבלה דו-צדדית מראה בבירור את המכנה המוגבל.
לפני שימוש במוצר P(A)P(B), יש להצדיק עצמאות על בסיס ההקשר או המידע הספוק.

בקורס שלך

יישומים ופרשנות ברמה גבוהה, הקורס שנבחר לראשונה ב2021.
לכל דף אפשרי מחשבון, אך סימנים עבור שיטה עדיין דורשים את הביטוי או המשוואה הכתובים לפני הערך שלהם.

מפת מושגים:

הסתברות תנאיית: ההסתברות לאירוע לאחר הגבלת מרחב הדגימה לתנאי מצוין.
הכפל לאורך ענף העץ והוסף ענפים בלתי תלויים.
לשמור לבן: אירועים בלתי תואמים פירושה שאין להם חפיפה; אירועים עצמאיים פירושה שהידע באחד מהם אינו משנה את הסיכוי של השני.

כתוב מההסתברות מותנית של 0.72

P(A and B) היא 0.36 ו-P(B) היא 0.50.
מצאו את P(A בתנאי B). אירועים בלתי תואמים שיכולים להתרחש אינם בלתי תלויים.

חקור

הסתברות, עצים והסקה תנאים

כפול לאורך ענף בעץ והוסף ענפים נפרדים

השוו בין הדגם לבין המקרה המוצר והסבר שינוי אחד.

4.4

דגמים ביונמיאלי, נורמלי ופואסון

מה גורם לספירה להיות חזוי?

בוחן איכות סופר מספר פריטים פגומים. המספר הוא אקראי, אך דגם יכול לתאר את הטווח הסביר שלו.
שיעור זה עוסק בערך צפוי: הממוצע המשוקלל בהסתברות של משתנה אקראי.

השיטה

מודל בינומי דורש n קבוע, ניסויים עצמאיים, שני תוצאות ו-p קבוע.
E(X)=np והVar(X)=np(1-p).
עבור מודל נורמלי השתמש ב-z=(x-μ)/σ.
מודל פואסון מתאר ספירות בקצב קבוע ובתנאי עצמאות מתאימים.

מקרה מפורט

$$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad X\sim B(n,p)$$

דוגמה:

עבור X בינומית(5,0.2), P(X=0)=0.8^5=0.32768, E(X)=1 ו-Variance(X)=0.8. עבור משתנה נורמלי עם μ=100, σ=15, הערך 130 יש לו z=2. ממוצע של Poisson של 3 לשעה נותן ממוצע 6 לאורך שעתיים.

גרף עמודות של ההתפלגות הבינומית עם n = 5 ו-p = 0.2: 1 הצלחות הם הסביר ביותר, כ-0.41 — X ~ B(5, 0.2): P(X = 1) ≈ 0.41 היא העמודה הגבוהה ביותר; P(X = 5) זניחה

היכן הדבר עשוי להתהפך

לא כל ספירה היא בינומית: שינוי ב-p או תלות יכולים לפסול אותה.
עבור משתנה רציף, ההסתברות לערך מדויק אחד היא אפס.
תיקון רציפות חשוב כאשר מעריכים התפלגות דיסקרטית באמצעות התפלגות נורמלית.

לא נכון: לכל ספירת הצלחות יש התפלגות בינומית ללא קשר לתלות. המודל הבינומי דורש ניסויים עצמאיים עם probability קבועה; ניסויים תלויים מבטלים אותו.

יישום הדבר

כתוב את האירוע כחוסר שוויון לפני שימוש בפונקציות התפלגות במחשבון.
הבדל בין P(X<k), P(X≤k) ומשלים של זנב.
ציין הנחות בהקשר.

בקורס שלך

יישומים ופרשנות ברמה גבוהה, הקורס שנבחר לראשונה ב2021.

מפת מושגים:

ערך צפוי: הממוצע המשוקלל של משתנה אקראי לפי ההסתברות.
מודל בינומי דורש n קבוע, ניסויים עצמאיים, שני תוצאות ו-p קבוע.
שימו לב: לא כל ספירה היא דו-אופציונלית; שינוי ב-p או תלות יכולים לבטל את התנאים.

כתוב מהציון z של 5

ערך 100 מגיע מתפלגות עם ממוצע 85 ושטיח תקני 3.
מצאו את ציון ה-z. ספירה בינומית דורשת ניסויים בלתי תלויים.

חקור

From a raw value to a normal-model area

$z=(x-\mu)/\sigma$

Connect the lesson’s raw values to standardised bounds and the correct shaded region. Changing a model does not show that real data follow it.

4.5

בדיקת השערות ומסקנות בהקשר

האם יכולה כמות ליישב את התוצאה?

מפעל טוען כי רק 10% מהפריטים הם פגומים. דוגמה מכילה יותר פגמים, אך chance לבדה עשויה להסביר חלק מההבדל.
שיעור זה לומד רמת מובהקות: סף ההסתברות הנבחר לדחיית השערת אפס.

השיטה

נסחו H₀ ו-H₁ בהפרמטרים האוכלוסייתי לפני בדיקת התוצאה.
חשבו את הסתברות הזנב המתאימה תחת H₀.
דחו H₀ כאשר העדויות עומדות בדרישות הרמת המשמעות הנקבעת; אחרת אמרו שאין מספיק עדות.

מקרה מפורט

$$H_0:p=p_0,\qquad H_1:p>p_0$$

דוגמה:

עבור H₀:p=0.1 ועבור H₁:p>0.1 עם n=10, ריכוז של לפחות 3 פגמים הוא הסתברות 1-(0.9^10+10×0.1×0.9^9+45×0.1²×0.9^8)≈0.070191. ב-5%, זהו אי-הספק של ראיות לכך שמנת הפגמים עולה על 10%.

גרף עמודים של ההתפלגות הבינומית עם n = 10 ו-p = 0.1, כאשר העמודים עבור 3 או יותר הצלחות צבועים כאזור ביקורת — תחת B(10, 0.1), P(X ≥ 3) ≈ 0.07: הזנב העליון הצבוע הוא אזור העדויות לבדיקה

היכן הדבר עשוי להתהפך

כשל במציאת H₀ אינו הוכחה ש-H₀ נכון.
בחרו את הזנב מהניחוח H₁, ולא מהזנב שמניב תוצאה קטנה יותר.
משמעות סטטיסטית אינה מודדת את גודל ההשפעה בפועל.

לא נכון: כשל במציאת היפוך הניחוח מאשר את נכונותו. אי דחיית היפוך הניחוח פירושה רק שאין מספיק עדות נגדו.

יישום הדבר

סיימו עם משפט על האוכלוסייה ועל הטענה המקורית.
נסחו את ההנחות של המודל ובחנו האם שיטת הדגימה תומכת בהן.

בקורס שלך

יישומים ופרשנות ברמה גבוהה, הקורס שנבחר לראשונה ב2021.
לכל דף אפשרי מחשבון, אך סימנים עבור שיטה עדיין דורשים את הביטוי או המשוואה הכתובים לפני הערך שלהם.

מפת מושגים:

רמת משמעות: סף ההסתברות הנבחר לדחיית היפוך הניחוח.
נסחו H₀ ו-H₁ בהפרמטרים האוכלוסייתי לפני בדיקת התוצאה.
שימו לב: כשל במציאת H₀ אינו הוכחה ש-H₀ נכון.

כתוב מהערך p של 0.12

ערך p חד-כיווני הוא 0.12 והרמת המשמעות היא 5 אחוזים.
החלט אם לדחות את ההנחה האפסית. אי דחייה אינה מוכיחה שהיא נכונה.

חקור

בדיקת הנחות ומסקנות בהקשר

גייסו את H₀ ואת H₁ בתנאי אוכלוסייה לפני בדיקת התוצאה

השוו בין הדגם לבין המקרה המוצר והסבר שינוי אחד.

4.6

רווחי ביטחון, קורא-ריבוע וחזרה

כמה לא ודאי הוא ממוצע הדגימה?

שתי דגימות נותנות ממוצעים שונים. אנו זקוקים לביטוי על אי-ודאות הדגימה, ולא להבטחה שמדגמה אחת שווה לאוכלוסייה.
שיעור זה לומד מרווח סמך: מרווח שנחשב על ידי שיטה המיועדת לכסות את פרמטר האוכלוסייה בקצב ארוך-טווח מסוים.

השיטה

עבור ממוצע נורמלי עם σ ידוע, מרווח 95% הוא ממוצע דגימה±1.96σ/√n.
עבור קרי-ריבוע, סכום (נצפה-מצופה)²/מצופה עם דרגות החופש הנכונות.
בחר מבחן המתאים לנתונים ולהנחותיו.

מקרה מפורט

$$\overline x\pm1.96\frac{\sigma}{\sqrt n},\qquad \chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}$$

דוגמה:

עם ממוצע=50, σ=10, n=100, סטיית תקן=1 ואתר ה-95% הוא [48.04,51.96]. עבור ספירות נצפות 30 ו-20 מול צפויות 25 ו-25, chi-square=25/25+25/25=2, לפני החלטת דרגות החופש וסף הדחייה.

רווח ביטחון ב-95% המוצג כפס מ-48.04 עד 51.96 סביב ממוצע הדוגמה של 50 — מרווח של 95%: 50 ± 1.96 × 1 = 48.04 עד 51.96

היכן הדבר עשוי להתהפך

הליך ביטחון של 95% אינו נותן הסתברות של 95% שממוצע אוכלוסייה קבוע ייכנס למרווח זה.
ספירות מצופות ופרמטרים משוערים משפיעים על תקפות ובחינות קרי-ריבוע ועל דרגות החופש שלהם.

לא נכון: קורלציה חזקה לבדה אינה מבססת קשר סיבתי. קורלציה מראה רק קשר; משתנה שלישי או מקרה עשויים להסביר אותו, ולכן קשר סיבתי דורש ניסוי או ראיות אחרות.

יישום הדבר

לדווח על אי-ודאות בהקשר.
במשיק רגרסיה, בדוק שאריות, הימנע מהתאמה יתר לא מוצדקת והבדל בין קשר מותאם לסברת סיבה.
S3 ו-IB AI HL דורשים גבולות תחום מאומתים שונים.

בקורס שלך

יישומים ופרשנות ברמה גבוהה, הקורס שנבחר לראשונה ב2021.
לכל דף אפשרי מחשבון, אך סימנים עבור שיטה עדיין דורשים את הביטוי או המשוואה הכתובים לפני הערך שלהם.

מפת מושגים:

רווח ביטחון: רווח שמחושב באמצעות הליך המיועד לכסות פרמטר אוכלוסייתי בקצב ארוך טווח מצוין.
עבור ממוצע נורמלי עם σ ידוע, מרווח 95% הוא ממוצע דגימה±1.96σ/√n.
שימו לב: הליך ביטחון ב-95% אינו מספק הסתברות של 95% שהממוצע האוכלוסייתי הקבוע ייפול בתוך רווח זה.

כתוב מהערך קורא-ריבוע של 6

ספירות נצפות הן 18 ו6. ספירות מצופות הן 12 ו12.
חשב את סטטיסטית הקרו-ריבוע. קורלציה חזקה אינה מוכיחה סיבה.

חקור

רווחי סמך, קרי-רבע וריגרסיה

עבור ממוצע חלוקה נורמלית עם σ ידוע, מרווח 95% הוא ממוצע הדוגמה ±1

השוו בין הדגם לבין המקרה המוצר והסבר שינוי אחד.

שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה

לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.

נושאים נוספים בIB Diploma Programme · IB Diploma · Mathematics: Applications and Interpretation · HL