1 · מספרים ואלגברה

IB Diploma Programme · IB Diploma · Mathematics: Applications and Interpretation · HL · נושא 1

1.1

היקף ותנאי מקדימים

מיקוד HL נתמך. הערכה ראשונה 2021; נוכחית דרך 2028. קורס הערכה-2029 ראשונה הוא נפרד.. המדריך, ההערכה והדרישות המעשיות הנותרות שומרות על החזקותיהן המוקלטות.

תנאי הכנה: קרא את הכמויות והיחידות הנ stated, השתמש באריתמטיקה ובתנאי המודל למטה. כל שיעור מפתח את השיטה שלו לפני העברה עצמאית.

אלו הם דוגמאות הוראה מקוריות או בדיוניות במפורש, לא מדידות אמיתיות או בדיקות למידה שנבדקו והושלמו.

מילון מונחים אימון

English	עברית
prime factor/praɪm ˈfæktə/	גורם ראשוני
multiplier/ˌmʌltɪˈplaɪə/	כופל
common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/	יחס דומה
residual/rɪˈsɪdʒuːəl/	שארית
determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/	דטרמיננטה
complex conjugate/ˈkɒmpleks ˈkɒndʒuːɡeɪt/	מרוכב מרוכב

1.2

חישוב מדויק והערכה

האם ניתן לארגן ללא שאריות?

ספק ארוז 72 עיפרונות ו-90 עטים תוך תיקי מתנה זהים. כיצד ניתן להימנע מפניות?
LESSON: שיעור זה לומד גורם ראשוני: מספר ראשוני שמחלק את המספר המלא בדיוק.

בחר את המבנה המתמטי

גורמים ראשוניים חושפים מבנה משותף. השתמש בחזקות הראשוניות המשותפות הקטנות ביותר עבור המק
ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

$$a=\prod p_i^{\alpha_i},\quad b=\prod p_i^{\beta_i},\quad \operatorname{HCF}(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$$

בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

72=2^3×3^2 ו-90=2×3^2×5. גורם המשותף הגדול ביותר שלהם הוא 2×9=18. יש לעטוף 18 שקיות עם 4 עפרונות ו-5 עטים בכל אחת. המכפלה המשותפת הקטנה ביותר שלהם היא 2^3×3^2×5=360.

בדוק קיצור מפתה

המקנה המשותפת הגדולה מחלקת שני המספרים; המקנה המשותפת הקטנה היא כפולה של שניהם. הם עונים על שאלות שונות. הערכה עשרונית אינה שבר מדויק.
כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

המקנה המשותפת הגדולה של שני מספרים שלמים חיוביים תמיד גדולה מכל אחד מהם. טענה זו שגויה. הסביר האם ההגדרה או ההנחה שבה היא מפרה.

פרש מצב חדש

למבחן ללא מחשבון, שמור על שברים מדויקים והראה ביטול. למבחן עם מחשבון, הכנס את הביטוי המלא והשווה אותו להערכתך.
פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

הערכה ראשונה נוכחית-2021 יישומים ופרשנות HL. זהו תמיכה בתפיסה מאת המחבר; נדרש מדריך מלא לאישור כל מטרה.
תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

מספר ראשוני המחלק את המספר השלם בדיוק. בחר את הקשר, הראה את השיטה, בדוק את ההנחות ועשה פרשנות לתוצאה.

1.3

אחוזים, יחסים והסקה פרופורציונלית

האם ניתן לשחזר את המחיר המקורי?

מעיל מוזל ב-20% למחיר ¥240. ההנחה חלה על המחיר המקורי, ולא על מחיר המבצע.
שיעור זה עוסק במכפיל: גורם שמבצע שינוי אחוזי במכפלה אחת.

בחר את המבנה המתמטי

עלייה ב-p% יש לה מכפיל 1+p/100; ירידה יש לה מכפיל 1-p/100. הפוך אחוז על ידי חלוקה במכפיל. ביחס, תחילה מצאים את הסך הכל של החלקים.
ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

$$P_{\mathrm{new}}=P_{\mathrm{old}}\left(1+\frac{r}{100}\right)$$

בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

נניח שהמחיר המקורי הוא P. המודל הוא מחיר מכירה=0.8P. ולכן P=240/0.8=300. עלייה מאוחרת ב-20% נותנת 240×1.2=288, ולכן השינויים לא מבטלים זה את זה.

אחוזים, יחס והסקה פרופורציונלית — תרשים לימודי מקורי

בדוק קיצור מפתה

אחוז משתמש בבסיס מצוין. חיסור של אחוזים מאבד את הבסיס הזה. עבור שינוי מורכב, כופלים את המכפילים; אין להוסיף את האחוזים.
כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

ירידה ב-20% שאחריה עלייה ב-20% משחזרת את המחיר ההתחלתי. טענה זו שגויה. הסבר באיזה הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

עבור פרופורציה ישירה השתמש ב-y=kx; עבור פרופורציה הפוכה השתמש ב-y=k/x. חשב את k ממערך נתון לפני השימוש בערך חדש. ציין מה שמרת קבוע.
פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

הערכה ראשונה נוכחית-2021 יישומים ופרשנות HL. זהו תמיכה בתפיסה מאת המחבר; נדרש מדריך מלא לאישור כל מטרה.
תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

גורם שמבצע שינוי אחוזי במכפלה אחת. בחר את הקשר, הראה את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.

1.4

סדרות, סכומים וחזרה

האם השינוי מחבר או מכפיל?

תוכנית חיסכון מוסיפה ¥30 נוספים כל שבוע; מודל אוכלוסייה גדל ב-5% כל שנה. הפרשים שווים ויחסים שווים דורשים דגמים שונים.
שיעור זה עוסק ביחס משותף: המכפלה הקבועה בין איברים עוקבים בסדרה גיאומטרית.

בחר את המבנה המתמטי

לסדרה חשבוןית, u_n=a+(n-1)d ו-S_n=n(2a+(n-1)d)/2. לסדרה גיאומטרית, u_n=ar^(n-1) ו-S_n=a(1-r^n)/(1-r). סכום גיאומטרי אינסופי קיים רק אם |r|<1.
ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

$$u_n=a+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$$

בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

עבור a=5,d=3,n=8, u_8=5+7×3=26 ו-S_8=8(10+21)/2=124. עבור a=12,r=1/2, סכום אינסופי=12/(1-1/2)=24. עבור u_(n+1)=2u_n+1 עם u_1=1, האיברים הבאים הם 3,7,15.

סדרות, סכומים וחזרה — תרשים הוראתי מקורי

בדוק קיצור מפתה

האיבר הראשון הוא בעל אינדקס 1, ולכן החזקה היא n-1. סדרה היא רשימה; סכום הוא סכום. סדרה גיאומטרית יכולה לחלופין סימן ועדיין להתכנס.
כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

לכל סכום גיאומטרי יש סכום סופי אינסופי. טענה זו שגויה. הסבר איזו הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

הסבר האם ההקשר מצדיק שינוי אדיטיבי או כפולי. בפיננס, הבדלו בין הפקדה אחת לבין זרם של הפקדות לפני בחירת נוסחת הסכום.
פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

הערכה ראשונה נוכחית-2021 יישומים ופרשנות HL. זהו תמיכה בתפיסה מאת המחבר; נדרש מדריך מלא לאישור כל מטרה.
תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

המכפיל הקבוע בין איברים עוקבים בסדרה גיאומטרית. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.

1.5

רגרסיה, דגמים פיננסיים ומשאר

האם התחזית נתמכת על ידי הנתונים?

קו חוזה זמן נסיעה באוטובוס לפי מרחק. שגיאת חישוב קטנה פחות חשובה מאשר שימוש במודל מחוץ להוכחתו.
שיעור זה לומד שארית: הערך הנצפה מינוס הערך שנחזה על ידי מודל מותאם.

בחר את המבנה המתמטי

מודל ליני y=a+bx יש חיתוך a ומשיק b עם יחידות הקשר. בדוק שאריות וטווח הנתונים. עבור שינוי אחוזי חוזר השתמש במודל גיאומטרי; עבור הלוואה הבדל בין סך המקור, קצב, תשלום ותקופה.
ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

$$\widehat t=8+2d,\qquad e=t-\widehat t$$

בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

הדגם המותאם t=8+2d חוזה 18 דקות ב-d=5 km. אם הזמן הנצפה הוא 21, המשיור הוא 3 דקות. פיקדון ¥1000 בריבית שנכתבת בשנה 5% הופך ל-1000×1.05³=1157.625 לאחר 3 שנים.

מודלים פיננסיים, רגרסיה ושאריות — תרשים לימוד מקורי

בדוק קיצור מפתה

התאמה טובה אינה מוכיחה מכניזם סיבתי. מקדם מתאם מודד קשר ליניארי, לא שיפוע. יש להמיר תוצאות מחשבון לדגם, לבדוק ולפרש אותן.
כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

מתאם גבוה מאפשר אקסטרפולציה אמינה לכל מרחק. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

ב-IB AI, רשמו את מקור הנתונים, התחום, ההנחות ושיטת המחשבון. השוו דגם חלופי והערכו תחזיות מול משיורים. תשובה פיננסית חייבת לציין מועד תשלום ועם ריבית שנכתבת.
פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

הערכה ראשונה נוכחית-2021 יישומים ופרשנות HL. זהו תמיכה בתפיסה מאת המחבר; נדרש מדריך מלא לאישור כל מטרה.
תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

ערך נצפה פחות הערך שחוזת עליו דגם מותאם. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.

1.6

טרנספורמציות מטריצות, הפוכים וערכים עצמיים

איפה הולכים וקטורי הבסיס?

מפה מתיחה כיוון אחד ומזיזה אחר. מטריסה מקלדת את ההמרה של כל וקטור בסיס.
שיעור זה עוסק ב-דטרמיננטה: מספר סקאלרי שמחליט אם מטריסה רב-ריבועית הפוכה, ובשני ממדים, גורם השטח עם סימן.

בחר את המבנה המתמטי

מטריסה 2×2 [[a,b],[c,d]] בעלת דטרמיננטה ad-bc והפוכה [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) אם הדטרמיננטה אינה אפס. מבצע המרה על וקטורי עמוד על ידי כפל משמאלי. המטריסה הימנית פועלת ראשונה במוכפלים.
ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

$$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$$

בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

עבור A=[[2,1],[0,3]], det A=6. A(1,2)=(4,6). ההופך שלה הוא [[1/2,-1/6],[0,1/3]]. המשוואה האופיינית היא (2-λ)(3-λ)=0, ולכן הערכים המיוחדים הם 2 ו3.

המרות מטריסות, הפוכים וערכים עצמיים — תרשים לימודי מקורי

בדוק קיצור מפתה

כפל מטריסות הוא בדרך כלל לא קומוטטיבי. דטרמיננטה של אפס מעניקה להמרה אובדן ממד ואין לה הפוכה. ערכים עצמיים ודיאגונליזציה הם נושא מתקדם, ולא חלק מהחומר הרגיל בגיאומטריה אנליטית GCSE.
כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

לכל מטריסה רב-ריבועית יש הפוכה. טענה זו שגויה. הסבר מהי ההגדרה או ההנחה שהיא פוגעת בה.

פרש מצב חדש

מצא וקטור עצמי על ידי פתרון (A-λI)v=0 עם v≠0. הסבר את המשמעות הגיאומטרית: וקטור זה שומר על כיוון הישר שלו תחת ההמרה.
פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

הערכה ראשונה נוכחית-2021 יישומים ופרשנות HL. זהו תמיכה בתפיסה מאת המחבר; נדרש מדריך מלא לאישור כל מטרה.
תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

מספר סקאלרי שמחליט אם מטריסה רב-ריבועית הפוכה, ובשני ממדים, גורם השטח עם סימן. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ומיין את התוצאה.

1.7

מספרים מרוכבים ושורשים

מה אם השורש אינו ממשי?

למשוואה x²+1=0 אין שורשים ממשיים. הרחבת מערכת המספרים מאפשרת לנו לייצג ולחשב עם שני השורשים.
שיעור זה עוסק במכפיל דמיוני: המספר שמתקבל על ידי הפיכת סימן החלק הדמיוני.

בחר את המבנה המתמטי

כתבו z=a+bi כאשר i²=-1. המכפיל הוא a-bi ומכפלת z במכפילה שלו =a²+b². המודול הוא √(a²+b²); הארגומנט דורש זווית (רביע) נכון. שורשים מכפילים מופיעים בפולינומים עם מקדם ממשי.
ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

$$z=a+bi,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad z\overline z=a^2+b^2$$

בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

עבור z=3+4i, |z|=5 והמכפיל של z=3-4i. ההופכי הוא (3-4i)/25. עבור x²-6x+13=0, השורשים הם 3±2i. הכפלה במכפיל הופכת מכנה מורכב למכנה ממשי.

מספרים מורכבים ושורשים — תרשים הוראתי מקורי

בדוק קיצור מפתה

השורש של סכום אינו סכום השורשים. ארקטנגנס לבד עשוי להחזיר את הרביע הלא נכון. אל תבלבלו בין מודול למודול בריבוע.
כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

עבור a+bi, המודול שלו תמיד הוא a+b. טענה זו שגויה. הסבירו איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

שרטטו את הציר הממשי אופקית ואת הציר הדמיוני אנכית. עבור מכפלים, המודולים מכפילים והארגומנטים מתווכים; חזקות מרחיבות דפוס גיאומטרי זה באמצעות משפט דה מואבר.
פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

הערכה ראשונה נוכחית-2021 יישומים ופרשנות HL. זהו תמיכה בתפיסה מאת המחבר; נדרש מדריך מלא לאישור כל מטרה.
תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

המספר שמתקבל על ידי הפיכת סימן החלק הדמיוני. בחרו את הקשר, הראו את השיטה, בדקו את ההנחות ופרשמו את התוצאה.

שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה

לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.

היקף ותנאי מקדימים

חישוב מדויק והערכה

האם ניתן לארגן ללא שאריות?

בחר את המבנה המתמטי

עבר על מקרה מאומת

בדוק קיצור מפתה

פרש מצב חדש

השתמש בכך בקורס שלך

אחוזים, יחסים והסקה פרופורציונלית

האם ניתן לשחזר את המחיר המקורי?

בחר את המבנה המתמטי

עבר על מקרה מאומת

בדוק קיצור מפתה

פרש מצב חדש

השתמש בכך בקורס שלך

סדרות, סכומים וחזרה

האם השינוי מחבר או מכפיל?

בחר את המבנה המתמטי

עבר על מקרה מאומת

בדוק קיצור מפתה

פרש מצב חדש

השתמש בכך בקורס שלך

רגרסיה, דגמים פיננסיים ומשאר

האם התחזית נתמכת על ידי הנתונים?

בחר את המבנה המתמטי

עבר על מקרה מאומת

בדוק קיצור מפתה

פרש מצב חדש

השתמש בכך בקורס שלך

טרנספורמציות מטריצות, הפוכים וערכים עצמיים

איפה הולכים וקטורי הבסיס?

בחר את המבנה המתמטי

עבר על מקרה מאומת

בדוק קיצור מפתה

פרש מצב חדש

השתמש בכך בקורס שלך

מספרים מרוכבים ושורשים

מה אם השורש אינו ממשי?

בחר את המבנה המתמטי

עבר על מקרה מאומת

בדוק קיצור מפתה

פרש מצב חדש

השתמש בכך בקורס שלך

שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה

נושאים נוספים בIB Diploma Programme · IB Diploma · Mathematics: Applications and Interpretation · HL