1 · מספרים ואלגברה

IB Diploma Programme · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · SL · נושא 1

הצגת שקפים אימון

1.1

היקף ותנאי מקדימים

מסמך זה מכסה נושאי SL נבחרים לקורס שהוערך לראשונה ב-2021; הוא אינו כולל את כל תוכנית הלימודים.

תנאי מקדימים: לקרוא את הכמויות והיחידות המצוינות, ולהשתמש באריתמטיקה ובתנאי המודל למטה.

הדוגמאות הן מקוריות ודמיוניות: הן אינן מדידות אמיתיות או חקירות תלמיד אמיתיות.

מילון מונחים אימון

English	עברית
prime factor/praɪm ˈfæktə/	מכפלת ראשונית
index/ˈɪndeks/	מעריך
common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/	יחס משותף
multiplier/ˌmʌltɪˈplaɪə/	מכפיל

1.2

חישוב מדויק והערכה

האם ניתן לארגן ללא שאריות?

ספק ארוז 72 עיפרונות ו-90 עטים תוך תיקי מתנה זהים. כיצד ניתן להימנע מפניות?
LESSON: שיעור זה לומד גורם ראשוני: מספר ראשוני שמחלק את המספר המלא בדיוק.

השיטה

גורמים ראשוניים חושפים מבנה משותף.
השתמשו בחזקות הראשוניות המשותפות הקטנות ביותר עבור המכנה המשותף הגדול (HCF) והגדולות ביותר עבור המכפלה המשותפת הקטנה (LCM).
העריכו לפני החישוב; השתמשו בסוגריים כדי לשמור על סדר הפעולות.

מקרה מפורט

$$a=\prod p_i^{\alpha_i},\quad b=\prod p_i^{\beta_i},\quad \operatorname{HCF}(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$$

דוגמה:

72=2^3×3^2 ו-90=2×3^2×5. גורם המשותף הגדול ביותר שלהם הוא 2×9=18. יש לעטוף 18 שקיות עם 4 עפרונות ו-5 עטים בכל אחת. המכפלה המשותפת הקטנה ביותר שלהם היא 2^3×3^2×5=360.

עצי גורמים: 72 מתפצל ל-2, 2, 2, 3, 3 ו-90 לתוך 2, 3, 3, 5; הגורמים המשותפים נותנים GCD 18 — עצי גורמים: 72 = 2³ × 3² ו90 = 2 × 3² × 5, לכן GCD = 2 × 3² = 18

היכן הדבר עשוי להתהפך

המכנה המשותף הגדול מחלק את שני המספרים; המכפלה המשותפת הקטנה היא כפולה של שניהם.
הם עונים על שאלות שונות.
הערכה עשרונית אינה שבר מדויק.

לא נכון: ה-GCD של שני מספרים שלמים חיוביים הוא תמיד גדול מכל אחד מהם. ה-GCD מחלק את שתי המספרים, ולכן לעולם לא יכול להיות גדול מהקטן ביותר: ה-GCD של 72 ו-90 הוא 18.

יישום הדבר

במבחן ללא מחשבון, שמרו על שברים מדויקים והראו ביטול.
במבחן עם מחשבון, הכניסו את הביטוי המלא והשוו אותו להערכתכם.

בקורס שלך

ניתוח ומגישות SL, הקורס שהוערך לראשונה ב-2021.

מפת מושגים:

גורש ראשוני: מספר ראשוני שמחלק את המספר השלם במדויק.
גורמים ראשוניים חושפים מבנה משותף.
שימו לב: המכנה המשותף הגדול מחלק את שני המספרים; המכפלה המשותפת הקטנה היא כפולה של שניהם.

כתוב מתוך ג.מ.מ של 15

מצאו את ה-HCF וה-LCM של 45 ו-75.
ה-GCD הוא קטן משני המספרים השלמים.

חקור

חישוב מדויק והערכה

גורמים ראשוניים חושפים מבנה משותף

שלבו את המעריכים המשותפים 2 ו-9 כדי להצדיק 18 שקיות זהות.

1.3

מעריכים, שורשים וצורה תקנית

כמה קטן הוא אורך מיקרוסקופי?

המיקרוסקופ מקליט אורך של 0.000072 מטרים. נציוג צפוף חייב לשמור על הגודל שלו נכון.
שיעור זה לומד מעריכים: החזקה למעלה של בסיס.

השיטה

עבור אותה בסיס חיובי, כפל מוסיף מעריכים וחילוק מחסיר אותם.
מעריך שלילי פירונו הפוך; מעריך שבור מייצג שורש.
הצורה הסטנדרטית היא 1≤a<10.

מקרה מפורט

$$a^m a^n=a^{m+n},\quad a^{-n}=\frac1{a^n},\quad a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

דוגמה:

0.000072=7.2×10^(-5). כמו כן 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. פשוט √72=6√2, ואז רציונליזציה $1/\sqrt{2}$=√2/2.

הדיגיטים של 0.000072 עם חמישה חצים המראים את נקודת העשרון קופצת ימינה כדי לתת 7.2, כך שמספר זה הוא 7.2 × 10⁻⁵ — הזזת הנקודה 5 מקומות לימין נותנת 7.2, לכן 0.000072 = 7.2 × 10⁻⁵

היכן הדבר עשוי להתהפך

חוקי המעריכים אינם הופכים סכום לריבוע יחיד: 2^3+2^4=24, לא 2^7.
אל תעגל שורש כשהתשובה המבוקשת היא מדויקת.

לא נכון: לכל a חיובי, a^2+a^3 שווה ל-a^5. חוקי המעריכים מוסיפים מעריכים רק כאשר האיברים מוכפלים: 2²+2³=12, אך 2⁵=32.

יישום הדבר

בדוק מערכות עשרון מול הכמות המקורית.
השתמש בשורשים לגיאומטריה מדויקת, ועגל רק את האורך הסופי כאשר השאלה מבקשת ערך עשרוני.

בקורס שלך

ניתוח ומגישות SL, הקורס שהוערך לראשונה ב-2021.
מבחן 1 ללא מחשבון: שמרו על שברים, שורשים ו-pi כמדויקים והראו כל צעד. במבחנים עם מחשבון, עדיין כתבו את הביטוי לפני הערך שלו.

מפת מושגים:

מעריך: החזקה שבה בסיס מועלה לחזקה.
עבור אותה בסיס חיובי, כפל מוסיף מעריכים וחילוק מחסיר אותם.
שימו לב: חוקי המעריכים אינם הופכים סכום לריבוע יחיד: 2^3+2^4=24, לא 2^7.

כתוב מ-27 בחזקה 2/3

חשב את ערך ה-27 בדרגת ⟨2/3⟩.
למספר חיובי, a רבוע פלוס a מעוקב הוא לא a חמישי.

חקור

מערכים, שורשים וצורה סטנדרטית

למערכת בסיס חיובית זהה, כפל מחבר את המעריכים וחילוק מוחרג אותם.

השוו בין הדגם לבין המקרה המוצר והסבר שינוי אחד.

1.4

סדרות, סכומים וחזרה

האם השינוי מחבר או מכפיל?

תוכנית חיסכון מוסיפה ¥30 נוספים כל שבוע; מודל אוכלוסייה גדל ב-5% כל שנה. הפרשים שווים ויחסים שווים דורשים דגמים שונים.
שיעור זה עוסק ביחס משותף: המכפלה הקבועה בין איברים עוקבים בסדרה גיאומטרית.

השיטה

לסדרה חישוקית, u_n=a+(n-1)d ו-S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
לסדרה גיאומטרית, u_n=ar^(n-1) ו-S_n=a(1-r^n)/(1-r).
סכום אינסופי גיאומטרי קיים רק אם |r|<1.

מקרה מפורט

$$u_n=a+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$$

דוגמה:

עבור a=5,d=3,n=8, u_8=5+7×3=26 ו-S_8=8(10+21)/2=124. עבור a=12,r=1/2, סכום אינסופי=12/(1-1/2)=24. עבור u_(n+1)=2u_n+1 עם u_1=1, האיברים הבאים הם 3,7,15.

נקודות לסדרה חשבון 5, 8, 11 וכך הלאה, עולה ב3 עבור כל איבר עד האיבר השמיני, 26 — uₙ = 5 + 3(n − 1): צעדים שווים של 3 מניחים את האיברים על קו ישר

היכן הדבר עשוי להתהפך

האיבר הראשון הוא בעל אינדקס 1, ולכן החזקה היא n-1.
סדרה היא רשימה; סכום היא חיבור.
סדרה גיאומטרית יכולה להחליף סימנים ועדיין להתכנס.

לא נכון: לכל סכום גיאומטרי יש סכום סופי לאינסוף. סכום לאינסוף קיים רק כאשר −1<r<1; עבור r=2 האיברים גדלים ללא גבול.

יישום הדבר

הסבר האם ההקשר מצדיק שינוי אדדיטיבי או כפולי.
בפיננס, הבדל בין פקידה אחת לזרם של פקידות לפני בחירת נוסחת סכום.

בקורס שלך

ניתוח ומגישות SL, הקורס שהוערך לראשונה ב-2021.
מבחן 1 ללא מחשבון: שמרו על שברים, שורשים ו-pi כמדויקים והראו כל צעד. במבחנים עם מחשבון, עדיין כתבו את הביטוי לפני הערך שלו.

מפת מושגים:

יחס גיאומטרי: הכפלה הקבועה בין איברים עוקבים בסדרה גיאומטרית.
לסדרה חישוקית, u_n=a+(n-1)d ו-S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
שימו לב: האיבר הראשון הוא בעל אינדקס 1, ולכן החזקה היא n-1.

כתוב מהאיבר ה-6 29

לסדרה חשנית איבר ראשון 4 והפרש משותף 5.
מצאו את האיבר ה-6. סדרה גיאומטרית אינסופית דורשת יחס משותף בעל ערך מוחלט נמוך מ-1.

חקור

סדרות, סכומים וביטוי חוזר

עבור התקדמות אריפטמטית, u_n=a+(n-1)d ו-S_n=n(2a+(n-1)d)/2

השוו בין הדגם לבין המקרה המוצר והסבר שינוי אחד.

1.5

אחוזים, יחסים והסקה פרופורציונלית

האם ניתן לשחזר את המחיר המקורי?

מעיל מוזל ב-20% למחיר ¥240. ההנחה חלה על המחיר המקורי, ולא על מחיר המבצע.
שיעור זה עוסק במכפיל: גורם שמבצע שינוי אחוזי במכפלה אחת.

השיטה

עלייה ב-%p כוללת מכפיל 1+p/100; ירידה כוללת מכפיל 1-p/100.
הפוך אחוז על ידי חלוקה במכפיל.
ביחס, מצא תחילה את המספר הכולל של חלקים.

מקרה מפורט

$$P_{\mathrm{new}}=P_{\mathrm{old}}\left(1+\frac{r}{100}\right)$$

דוגמה:

נניח שהמחיר המקורי הוא P. המודל הוא מחיר מכירה=0.8P. ולכן P=240/0.8=300. עלייה מאוחרת ב-20% נותנת 240×1.2=288, ולכן השינויים לא מבטלים זה את זה.

גרף עמודות: מחיר מקורי 300 יואן, 240 לאחר הנחה של 20%, 288 לאחר עלייה נוספת של 20% — 300 → 240 → 288 יואן: הנחה של 20% ולאחר מכן עלייה של 20% אינה מחזירה ל-300, כי העלייה השנייה של 20% היא על 240

היכן הדבר עשוי להתהפך

אחוז משתמש בבסיס מצויין.
חיסור אחוזים מאבד בסיס זה.
עבור שינוי מורכב, הכפל את המכפילים; אל תסכום את האחוזים.

לא נכון: ירידה ב-20% ולאחר מכן עלייה ב-20% מחזירות את המחיר ההתחלתי. העלייה ב-20% נלקחת מסכמה קטנה יותר: 100×0.8×1.2=96, ולא 100.

יישום הדבר

עבור פרופורציונליות ישירה השתמש ב-y=kx; עבור פרופורציונליות הפוכה השתמש ב-y=k/x.
חשב את k ממערכת ידועה לפני השימוש בערך חדש.
ציין מה שמרת קבוע.

בקורס שלך

ניתוח ומגישות SL, הקורס שהוערך לראשונה ב-2021.
מבחן 1 ללא מחשבון: שמרו על שברים, שורשים ו-pi כמדויקים והראו כל צעד. במבחנים עם מחשבון, עדיין כתבו את הביטוי לפני הערך שלו.

מפת מושגים:

מכפיל: גורם המבצע שינוי אחוזי בכפל אחד.
עלייה ב-%p כוללת מכפיל 1+p/100; ירידה כוללת מכפיל 1-p/100.
שים לב: אחוז משתמש בבסיס מצויין.

כתוב מתוך מחיר סופי של 192

מחיר של 200 יורד ב-20 אחוזים ואז עולה ב-20 אחוזים.
מצאו את המחיר הסופי. שני השינויים אינם מתבטלים זה עם זה.

חקור

אחוזים, יחס והסקת פרופורציה

עלייה של p% יש לה מקדם 1+p/100; נרד יש לו מקדם 1-p/100

הסבר מדוע ירידה ב-20% שאחריה עלייה ב-20% מובילה לתוצאה של 288 ולא ל-300.

שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה

לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.

נושאים נוספים בIB Diploma Programme · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · SL