3 · גיאומטריה וטריגונומטריה

IB Diploma Programme · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · HL · נושא 3

3.1

היקף ותנאי מקדימים

מיקוד HL נתמך. הערכה ראשונה 2021; נוכחית דרך 2028. קורס הערכה-2029 ראשונה הוא נפרד.. המדריך, ההערכה והדרישות המעשיות הנותרות שומרות על החזקותיהן המוקלטות.

תנאי הכנה: קרא את הכמויות והיחידות הנ stated, השתמש באריתמטיקה ובתנאי המודל למטה. כל שיעור מפתח את השיטה שלו לפני העברה עצמאית.

אלו הם דוגמאות הוראה מקוריות או בדיוניות במפורש, לא מדידות אמיתיות או בדיקות למידה שנבדקו והושלמו.

מילון מונחים אימון

English	עברית
scale factor/skeɪl ˈfæktə/	גורם קנה מידה
hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːs/	יתר
radian/ˈreɪdɪən/	רדיאן
resultant/rɪˈzʌltənt/	וקטור תוצאתי

3.2

הוכחת זוויות, חפיפה ומדידות

האם נפח משתנה ביחס לאורך?

לדגם יש אורכים בשליש מאורך האובייקט האמיתי. כמה קטנים יותר שטחו ונפחו?
שיעור זה לומד גורם קנה מידה: המכפיל המקשר בין אורכים תואמים בצורות דומות.

בחר את המבנה המתמטי

עבור צורות דומות עם גורם קנה מידה ליניארי k, השטחים מתייחסים ב-k² והנפחים ב-k³. ציין נימוקי זוויות במפורש. משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת המגע.
ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

$$\frac{A_2}{A_1}=k^2,\qquad \frac{V_2}{V_1}=k^3$$

בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

אם גורם ההאמה בין דגם למציאות הוא 3, שטח דגם של 12 ס"מ² נותן 12×3²=108 ס"מ², ונפח דגם של 8 ס"מ³ נותן 8×3³=216 ס"מ³. צילינדר עם r=3, h=5 נפחו הוא πr²h=45π.

הסקת זוויות, דמיון ומדידה — תרשים הוראה מקורי

בדוק קיצור מפתה

זוויות שוות לבדן מקבעות דמיון, לא גודל שווה. השתמש באורכים תואמים באותו סדר. המר את היחידות הליניאריות לפני חישוב שטח או נפח, או רבע/קוב את גורם ההמרה נכון.
כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

הכפלת כל אורך של גוף מוצק כופלת את נפחו. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

הוכחה גיאומטרית צריכה לציין את המשפט הרלוונטי, לזהות את הזווית השווה או היחס, ולגזור את המסקנה. שרטוט בקנה מידה הוא עדות רק כאשר המשימה מאפשרת מדידה.
פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

הערכה ראשונה נוכחית-2021 ניתוח וגישות HL. זהו תמיכה במושג כתיבה; יש צורך במדריך המלא לאישור כל מטרה.
תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

המכפיל המקשר בין אורכים תואמים בצורות דומות. בחר את הקשר, הראה את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.

3.3

משולשים ישרי זווית ואי-ישרי זווית

איזה צד נדרש לסולם?

מדרגה מגיעה לגובה של 4 מטר, בעוד שרגליה נמצאות 3 מטר מהקיר. אילו צדדים נתונים, ואיזה זווית אנו זקוקים?
שיעור זה עוסק ביתר: הצד הנגד לזווית הישר במثلث ישר-זווית.

בחר את המבנה המתמטי

במثلث ישר-זווית a²+b²=c²; sinθ=ניצב/יתר, cosθ=מלווה/יתר ו-tanθ=ניצב/מלווה. למثلשים אחרים, השתמשו בחוק הסינוסים או קוסינוסים, או שטח=ab sin C/2.
ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

$$a^2+b^2=c^2,\qquad \tan\theta=\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}}$$

בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

אורך המדרגה הוא c=√(3²+4²)=5 מטר. הזווית שלו לקרקע מקיימת tanθ=4/3, ולכן θ≈53.1°. עם שני צדדים 6 ו8 החוצים זווית של 60°, c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52.

מثلשים ישרי-זווית ומثلשים שאינם ישרי-זווית — תרשים הוראתי מקורי

בדוק קיצור מפתה

סמנו צדדים ביחס לזווית שנבחרה. פיתגורס דורש זווית ישרה. טעות במצב זוויות במכונת מחשבית עלולה להוביל לתוצאה שהיא סבירה אך שגויה. שמרו על ערכים לא מעוגלים לשלבים הבאים.
כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

פיתגורס חל על כל משולש, כולל משולשים ללא זווית ישרה. טענה זו שגויה. הסבירו איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

השתמשו בתוכנית או מבט עליון לבעיה תלת-ממדית לפני שימוש בחוק משולש. הסבירו מדוע המשולש שנבחר מכיל את האורך או הזווית הנדרשים.
פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

הערכה ראשונה נוכחית-2021 ניתוח וגישות HL. זהו תמיכה במושג כתיבה; יש צורך במדריך המלא לאישור כל מטרה.
תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

הצד הנגד לזווית הישר במثلث ישר-זווית. בחרו בקשר, הפעילו שיטה, בדקו את ההנחות והעריכו את התוצאה.

3.4

רדיאנים, זהויות ומשוואות טריגונומטריות

כמה עובר הקוטר?

גלגל מסתובב סורק קשת. רדיאנים מאפשרים לזווית שלו להתחבר ישירות למרחק שעבר לאורך השפה.
שיעור זה עוסק ברדיאן: הזווית הנשענת על קשת שאורכה שווה לרדיוס.

בחר את המבנה המתמטי

עבור θ ברדיאנים, אורך קשת s=rθ ושטח עיגול A=r²θ/2. השתמשו ב-sin²θ+cos²θ=1 ובזהויות זוויות לפישוט או לפתרון. רשמו כל פתרון בתחום הנ stated.
ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

$$s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta,\qquad \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$

בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

עבור r=4 ו-θ=π/3, מתקבל s=4π/3 ו-A=8π/3. פתרון המשוואה sin x=1/2 בתחום 0≤x<2π נותן x=π/6 ו-5π/6. עבור sin2x=1/2, יש לפתול תחילה בתחום 0≤2x<4π ולאחר מכן לחלק ב-2.

רדיאנים, זהויות ומשוואות טריגונומטריות — תרשים לימודי מקורי

בדוק קיצור מפתה

פונקציית הסינוס ההפוכה במחשבון נותנת ערך ראשי אחד בלבד. היא אינה נותנת את כל הפתרונות. חלוקה ב-sin x עלולה להשמיד פתרונות שבהם sin x=0; יש לבדוק מקרה זה קודם.
כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

הערך הראשי של הסינוס ההפוך הוא תמיד הפתרון היחיד במהלך סיבוב מלא. הטענה זו שגויה. הסבר באיזה הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

בחר זהות שמפגישה את המשוואה לפונקציה טריגונומטרית אחת. שמור על זוויות מדויקות ומוכרות ככל האפשר, ובדוק כל פתרון מול המשוואה המקורית.
פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

הערכה ראשונה נוכחית-2021 ניתוח וגישות HL. זהו תמיכה במושג כתיבה; יש צורך במדריך המלא לאישור כל מטרה.
תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

הזווית שנקשרת בקשת שאורכה שווה למשפט הרדיוס. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.

3.5

וקטורים וגיאומטריה של שינויים

מדוע ההזזה קצרה מההליכה?

הליכה 4 מטר מזרחית ו3 מטר צפונית נותנת הזזה של 5 מטר, למרות שהמרחק שנסע הוא 7 מטר.
שיעור זה לומד תוצרת: סכום וקטורים המייצג הזזה משולבת או כוח משולב.

בחר את המבנה המתמטי

הוסף רכיבי וקטור מתאימים. הזזה מ-A ל-B היא OB-OA. וקטורים מקבילים הם כפילות סקלרית. לוקטור יש גודל וכיוון; מרחק הוא סקלר.
ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

$$\overrightarrow{AB}=\mathbf b-\mathbf a,\qquad |\mathbf v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$$

בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

עם a=(4,1) ו-b=(1,3), a+b=(5,4). מכפלת הנקודות שלהם היא a·b=4×1+1×3=7. הגודל של a הוא √17. עבור A=(1,2), B=(5,5), AB=(4,3) ו-|AB|=5.

וקטורים וגיאומטריה טרנספורמציונית — תרשים הוראה מקורי

בדוק קיצור מפתה

סדר החיסור חשוב: BA=-AB. הוכחת מקבילות דורשת קשר מכפלת סקלרית; סקיצה לבדה אינה מספקת. הגדלה שלילית הופכת מיקום ביחס למרכז.
כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

ל-AB ול-BA יש תמיד אותם רכיבים. טענה זו שגויה. הסבר אילו הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

לעבורה, כל נקודה משתמשת באותה הזזה. לבעיות קו מתקדמות, הבדל בין וקטור מיקום לבין וקטור כיוון ופתור משוואות פרמטריות באופן עקבי.
פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

הערכה ראשונה נוכחית-2021 ניתוח וגישות HL. זהו תמיכה במושג כתיבה; יש צורך במדריך המלא לאישור כל מטרה.
תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

סכום וקטורים המייצג הזזה משולבת או כוח משולב. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.

שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה

לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.

3 · גיאומטריה וטריגונומטריה

היקף ותנאי מקדימים

הוכחת זוויות, חפיפה ומדידות

האם נפח משתנה ביחס לאורך?

בחר את המבנה המתמטי

עבר על מקרה מאומת

בדוק קיצור מפתה

פרש מצב חדש

השתמש בכך בקורס שלך

משולשים ישרי זווית ואי-ישרי זווית

איזה צד נדרש לסולם?

בחר את המבנה המתמטי

עבר על מקרה מאומת

בדוק קיצור מפתה

פרש מצב חדש

השתמש בכך בקורס שלך

רדיאנים, זהויות ומשוואות טריגונומטריות

כמה עובר הקוטר?

בחר את המבנה המתמטי

עבר על מקרה מאומת

בדוק קיצור מפתה

פרש מצב חדש

השתמש בכך בקורס שלך

וקטורים וגיאומטריה של שינויים

מדוע ההזזה קצרה מההליכה?

בחר את המבנה המתמטי

עבר על מקרה מאומת

בדוק קיצור מפתה

פרש מצב חדש

השתמש בכך בקורס שלך

שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה

נושאים נוספים בIB Diploma Programme · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · HL

היכנס או צור חשבון

הנושא שלך

כל הסעיפים

משוב וסיוע