1 · מספרים ואלגברה

IB Diploma Programme · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · HL · נושא 1

הצגת שקפים אימון

1.1

היקף ותנאי מקדימים

מסמך זה מכסה נושאי HL נבחרים לקורס שהוערך לראשונה ב-2021; הוא אינו כולל את כל המסלול.

תנאי מקדימים: לקרוא את הכמויות והיחידות המצוינות, ולהשתמש באריתמטיקה ובתנאי המודל למטה.

הדוגמאות הן מקוריות ודמיוניות: הן אינן מדידות אמיתיות או חקירות תלמיד אמיתיות.

מילון מונחים אימון

English	עברית
prime factor/praɪm ˈfæktə/	מרכיב ראשוני
index/ˈɪndeks/	מדד
common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/	יחס משותף
multiplier/ˌmʌltɪˈplaɪə/	מכפיל
complex conjugate/ˈkɒmpleks ˈkɒndʒuːɡeɪt/	זוגי מרוכב
binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/	מקדם בינומי
Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	פולינום טיילור

1.2

חישוב מדויק והערכה

האם ניתן לארגן ללא שאריות?

ספק ארוז 72 עיפרונות ו-90 עטים תוך תיקי מתנה זהים. כיצד ניתן להימנע מפניות?
LESSON: שיעור זה לומד גורם ראשוני: מספר ראשוני שמחלק את המספר המלא בדיוק.

השיטה

גורמים ראשוניים חושפים מבנה משותף.
השתמשו בחזקות הראשוניות המשותפות הקטנות ביותר עבור המכנה המשותף הגדול (HCF) והגדולות ביותר עבור המכפלה המשותפת הקטנה (LCM).
העריכו לפני החישוב; השתמשו בסוגריים כדי לשמור על סדר הפעולות.

מקרה מפורט

$$a=\prod p_i^{\alpha_i},\quad b=\prod p_i^{\beta_i},\quad \operatorname{HCF}(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$$

דוגמה:

72=2^3×3^2 ו-90=2×3^2×5. גורם המשותף הגדול ביותר שלהם הוא 2×9=18. יש לעטוף 18 שקיות עם 4 עפרונות ו-5 עטים בכל אחת. המכפלה המשותפת הקטנה ביותר שלהם היא 2^3×3^2×5=360.

עצי גורמים: 72 מתפצל ל-2, 2, 2, 3, 3 ו-90 לתוך 2, 3, 3, 5; הגורמים המשותפים נותנים GCD 18 — עצי גורמים: 72 = 2³ × 3² ו90 = 2 × 3² × 5, לכן GCD = 2 × 3² = 18

היכן הדבר עשוי להתהפך

המכנה המשותף הגדול מחלק את שני המספרים; המכפלה המשותפת הקטנה היא כפולה של שניהם.
הם עונים על שאלות שונות.
הערכה עשרונית אינה שבר מדויק.

לא נכון: ה-GCD של שני מספרים שלמים חיוביים הוא תמיד גדול מכל אחד מהם. ה-GCD מחלק את שתי המספרים, ולכן לעולם לא יכול להיות גדול מהקטן ביותר: ה-GCD של 72 ו-90 הוא 18.

יישום הדבר

במבחן ללא מחשבון, שמרו על שברים מדויקים והראו ביטול.
במבחן עם מחשבון, הכניסו את הביטוי המלא והשוו אותו להערכתכם.

בקורס שלך

ניתוח וגישות HL, הקורס שנבחן לראשונה ב2021.

מפת מושגים:

גורש ראשוני: מספר ראשוני שמחלק את המספר השלם במדויק.
גורמים ראשוניים חושפים מבנה משותף.
שימו לב: המכנה המשותף הגדול מחלק את שני המספרים; המכפלה המשותפת הקטנה היא כפולה של שניהם.

כתיבה מה-GCD של 6

מצאו את הגורם המשותף הגדול (GCD) והמכפלה המשותפת הקטנה (LCM) של 18 ו30.
ה-GCD הוא קטן משני המספרים השלמים.

חקור

חישוב מדויק והערכה

גורמים ראשוניים חושפים מבנה משותף

שלבו את המעריכים המשותפים 2 ו-9 כדי להצדיק 18 שקיות זהות.

1.3

מעריכים, שורשים וצורה תקנית

כמה קטן הוא אורך מיקרוסקופי?

המיקרוסקופ מקליט אורך של 0.000072 מטרים. נציוג צפוף חייב לשמור על הגודל שלו נכון.
שיעור זה לומד מעריכים: החזקה למעלה של בסיס.

השיטה

עבור אותה בסיס חיובי, כפל מוסיף מעריכים וחילוק מחסיר אותם.
מעריך שלילי פירונו הפוך; מעריך שבור מייצג שורש.
הצורה הסטנדרטית היא 1≤a<10.

מקרה מפורט

$$a^m a^n=a^{m+n},\quad a^{-n}=\frac1{a^n},\quad a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

דוגמה:

0.000072=7.2×10^(-5). כמו כן 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. פשוט √72=6√2, ואז רציונליזציה $1/\sqrt{2}$=√2/2.

הדיגיטים של 0.000072 עם חמישה חצים המראים את נקודת העשרון קופצת ימינה כדי לתת 7.2, כך שמספר זה הוא 7.2 × 10⁻⁵ — הזזת הנקודה 5 מקומות לימין נותנת 7.2, לכן 0.000072 = 7.2 × 10⁻⁵

היכן הדבר עשוי להתהפך

חוקי המעריכים אינם הופכים סכום לריבוע יחיד: 2^3+2^4=24, לא 2^7.
אל תעגל שורש כשהתשובה המבוקשת היא מדויקת.

לא נכון: לכל a חיובי, a^2+a^3 שווה ל-a^5. חוקי המעריכים מוסיפים מעריכים רק כאשר האיברים מוכפלים: 2²+2³=12, אך 2⁵=32.

יישום הדבר

בדוק מערכות עשרון מול הכמות המקורית.
השתמש בשורשים לגיאומטריה מדויקת, ועגל רק את האורך הסופי כאשר השאלה מבקשת ערך עשרוני.

בקורס שלך

ניתוח וגישות HL, הקורס שנבחן לראשונה ב2021.
מבחן 1 ללא מחשבון: שמרו על שברים, שורשים ו-pi כמדויקים והראו כל צעד. במבחנים עם מחשבון, עדיין כתבו את הביטוי לפני הערך שלו.

מפת מושגים:

מעריך: החזקה שבה בסיס מועלה לחזקה.
עבור אותה בסיס חיובי, כפל מוסיף מעריכים וחילוק מחסיר אותם.
שימו לב: חוקי המעריכים אינם הופכים סכום לריבוע יחיד: 2^3+2^4=24, לא 2^7.

כתיבה מ-8 לחזקה 2/3

חשב 8 מעוצה 2/3.
אגרוף פלוס קובי הוא לא חמישי.

חקור

מערכים, שורשים וצורה סטנדרטית

למערכת בסיס חיובית זהה, כפל מחבר את המעריכים וחילוק מוחרג אותם.

השוו בין הדגם לבין המקרה המוצר והסבר שינוי אחד.

1.4

סדרות, סכומים וחזרה

האם השינוי מחבר או מכפיל?

תוכנית חיסכון מוסיפה ¥30 נוספים כל שבוע; מודל אוכלוסייה גדל ב-5% כל שנה. הפרשים שווים ויחסים שווים דורשים דגמים שונים.
שיעור זה עוסק ביחס משותף: המכפלה הקבועה בין איברים עוקבים בסדרה גיאומטרית.

השיטה

לסדרה חישוקית, u_n=a+(n-1)d ו-S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
לסדרה גיאומטרית, u_n=ar^(n-1) ו-S_n=a(1-r^n)/(1-r).
סכום אינסופי גיאומטרי קיים רק אם |r|<1.

מקרה מפורט

$$u_n=a+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$$

דוגמה:

עבור a=5,d=3,n=8, u_8=5+7×3=26 ו-S_8=8(10+21)/2=124. עבור a=12,r=1/2, סכום אינסופי=12/(1-1/2)=24. עבור u_(n+1)=2u_n+1 עם u_1=1, האיברים הבאים הם 3,7,15.

נקודות לסדרה חשבון 5, 8, 11 וכך הלאה, עולה ב3 עבור כל איבר עד האיבר השמיני, 26 — uₙ = 5 + 3(n − 1): צעדים שווים של 3 מניחים את האיברים על קו ישר

היכן הדבר עשוי להתהפך

האיבר הראשון הוא בעל אינדקס 1, ולכן החזקה היא n-1.
סדרה היא רשימה; סכום היא חיבור.
סדרה גיאומטרית יכולה להחליף סימנים ועדיין להתכנס.

לא נכון: לכל סכום גיאומטרי יש סכום סופי לאינסוף. סכום לאינסוף קיים רק כאשר −1<r<1; עבור r=2 האיברים גדלים ללא גבול.

יישום הדבר

הסבר האם ההקשר מצדיק שינוי אדדיטיבי או כפולי.
בפיננס, הבדל בין פקידה אחת לזרם של פקידות לפני בחירת נוסחת סכום.

בקורס שלך

ניתוח וגישות HL, הקורס שנבחן לראשונה ב2021.
מבחן 1 ללא מחשבון: שמרו על שברים, שורשים ו-pi כמדויקים והראו כל צעד. במבחנים עם מחשבון, עדיין כתבו את הביטוי לפני הערך שלו.

מפת מושגים:

יחס גיאומטרי: הכפלה הקבועה בין איברים עוקבים בסדרה גיאומטרית.
לסדרה חישוקית, u_n=a+(n-1)d ו-S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
שימו לב: האיבר הראשון הוא בעל אינדקס 1, ולכן החזקה היא n-1.

כתיבה מהאיבר ה-4 17

סדרה חשוקה יש לה איבר ראשון 8 והפרש משותף 3.
מצאו את האיבר ה-4. סדרה גיאומטרית אינסופית דורשת יחס משותף עם גודל קטן מ1.

חקור

סדרות, סכומים וביטוי חוזר

עבור התקדמות אריפטמטית, u_n=a+(n-1)d ו-S_n=n(2a+(n-1)d)/2

השוו בין הדגם לבין המקרה המוצר והסבר שינוי אחד.

1.5

אחוזים, יחסים והסקה פרופורציונלית

האם ניתן לשחזר את המחיר המקורי?

מעיל מוזל ב-20% למחיר ¥240. ההנחה חלה על המחיר המקורי, ולא על מחיר המבצע.
שיעור זה עוסק במכפיל: גורם שמבצע שינוי אחוזי במכפלה אחת.

השיטה

עלייה ב-%p כוללת מכפיל 1+p/100; ירידה כוללת מכפיל 1-p/100.
הפוך אחוז על ידי חלוקה במכפיל.
ביחס, מצא תחילה את המספר הכולל של חלקים.

מקרה מפורט

$$P_{\mathrm{new}}=P_{\mathrm{old}}\left(1+\frac{r}{100}\right)$$

דוגמה:

נניח שהמחיר המקורי הוא P. המודל הוא מחיר מכירה=0.8P. ולכן P=240/0.8=300. עלייה מאוחרת ב-20% נותנת 240×1.2=288, ולכן השינויים לא מבטלים זה את זה.

גרף עמודות: מחיר מקורי 300 יואן, 240 לאחר הנחה של 20%, 288 לאחר עלייה נוספת של 20% — 300 → 240 → 288 יואן: הנחה של 20% ולאחר מכן עלייה של 20% אינה מחזירה ל-300, כי העלייה השנייה של 20% היא על 240

היכן הדבר עשוי להתהפך

אחוז משתמש בבסיס מצויין.
חיסור אחוזים מאבד בסיס זה.
עבור שינוי מורכב, הכפל את המכפילים; אל תסכום את האחוזים.

לא נכון: ירידה ב-20% ולאחר מכן עלייה ב-20% מחזירות את המחיר ההתחלתי. העלייה ב-20% נלקחת מסכמה קטנה יותר: 100×0.8×1.2=96, ולא 100.

יישום הדבר

עבור פרופורציונליות ישירה השתמש ב-y=kx; עבור פרופורציונליות הפוכה השתמש ב-y=k/x.
חשב את k ממערכת ידועה לפני השימוש בערך חדש.
ציין מה שמרת קבוע.

בקורס שלך

ניתוח וגישות HL, הקורס שנבחן לראשונה ב2021.
מבחן 1 ללא מחשבון: שמרו על שברים, שורשים ו-pi כמדויקים והראו כל צעד. במבחנים עם מחשבון, עדיין כתבו את הביטוי לפני הערך שלו.

מפת מושגים:

מכפיל: גורם המבצע שינוי אחוזי בכפל אחד.
עלייה ב-%p כוללת מכפיל 1+p/100; ירידה כוללת מכפיל 1-p/100.
שים לב: אחוז משתמש בבסיס מצויין.

כתיבה ממחיר סופי של 240

מחיר של 250 יורד ב-20 אחוזים ולאחר מכן עולה ב-20 אחוזים.
מצאו את המחיר הסופי. שני השינויים אינם מתבטלים זה עם זה.

חקור

אחוזים, יחס והסקת פרופורציה

עלייה של p% יש לה מקדם 1+p/100; נרד יש לו מקדם 1-p/100

הסבר מדוע ירידה ב-20% שאחריה עלייה ב-20% מובילה לתוצאה של 288 ולא ל-300.

1.6

מספרים מרוכבים ושורשים

מה אם השורש אינו ממשי?

למשוואה x²+1=0 אין שורשים ממשיים. הרחבת מערכת המספרים מאפשרת לנו לייצג ולחשב עם שני השורשים.
שיעור זה עוסק במכפיל דמיוני: המספר שמתקבל על ידי הפיכת סימן החלק הדמיוני.

השיטה

כתוב z=a+bi כאשר i²=-1.
המרוכב המשלים הוא a-bi ומכפלת z במרוכב המשלים שלה היא a²+b².
המודולוס הוא √(a²+b²); הארגומנט דורש את הרביע הנכון.
שורשים מרוכבים משלימים מופיעים בפולינומים עם מקדמים ממשיים.

מקרה מפורט

$$z=a+bi,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad z\overline z=a^2+b^2$$

דוגמה:

עבור z=3+4i, |z|=5 והמכפיל של z=3-4i. ההופכי הוא (3-4i)/25. עבור x²-6x+13=0, השורשים הם 3±2i. הכפלה במכפיל הופכת מכנה מורכב למכנה ממשי.

דיאגרמת ארגנד עם 3 + 4i מעל הציר הממשי והמרוכב שלו 3 − 4i משוקף מתחתיו — הקונזוגט 3 − 4i הוא ההשתקפות של 3 + 4i בציר הממשי; לשניה יש מודולוס 5

היכן הדבר עשוי להתהפך

השורש הרבועי של סכום אינו הסכום של השורשים הרבועיים.
נגד טנגנס בודד עשוי להחזיר רבעון שגוי.
אל תבלבל בין מודול לבין מודול מרובע.

לא נכון: עבור a+bi, המודולוס שלו הוא תמיד a+b. המודולוס הוא √(a²+b²): עבור 3+4i הוא 5, לא 7.

יישום הדבר

שרטטו את ציר הממשיים אופקית ואת ציר הממשיים האיומים אנכית.
למכפלות, המודולוסים מכפילים והארגומנטים מחברים; חזקות מרחבות דגם גיאומטרי זה באמצעות משפט דה מואבר.

בקורס שלך

ניתוח וגישות HL, הקורס שנבחן לראשונה ב2021.
מבחן 1 ללא מחשבון: שמרו על שברים, שורשים ו-pi כמדויקים והראו כל צעד. במבחנים עם מחשבון, עדיין כתבו את הביטוי לפני הערך שלו.

מפת מושגים:

מס מרוכב ממוכר: המס המתקבל בהפיכת סימן החלק המדומה.
כתוב z=a+bi כאשר i²=-1.
שימו לב: השורש הרבועי של סכום אינו הסכום של השורשים הרבועיים.

כתוב מהערך המוחלט של 13

מצאו את המודולוס של 5 פלוס 12 i.
המודולוס אינו סכום של שני החלקים.

חקור

מספרים מרוכבים ושורשים

כתוב z=a+bi כאשר i²=-1

השוו בין הדגם לבין המקרה המוצר והסבר שינוי אחד.

1.7

פיתוח דו-איברי וקירובים תקפים

כיצד שינוי קטן משפיע על חזקה?

שינוי במדידה קטן משפיע על חזקה של כמות. פתיחה יכולה להראות את גודל ההשפעות הראשונית והשניונית.
שיעור זה עוסק ב-מקדם בינומי: מספר הדרכים לבחור מספר ספציפי של עצמים מתוך קבוצה.

השיטה

עבור מספר טבעי חיובי n, (a+b)^n הוא פיתוח דו-איברי סופי.
עבור n שאינו שלם, פתח את (1+x)^n כ1+nx+n(n-1)x²/2+... כאשר |x|<1.
הוצא קבועים מחוץ לפונקציה לפני השימוש בצורה זו.

מקרה מפורט

$$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\cdots$$

דוגמה:

(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵. עבור (1+x)^(-1), שלושת האיברים הראשונים הם 1-x+x²; ב-x=0.1 זה נותן 0.91 לעומת הערך המדויק 1/1.1≈0.909091.

טבלה עבור (1 + 2x)⁵: שורת פסוקל 1, 5, 10, 10, 5, 1 כפול חזקות של 2 נותנת מקדמים 1, 10, 40, 80, 80, 32 ל-1 עד x⁵ — כל מקדם של (1 + 2x)⁵ הוא מספר פסל כפול 2ᵏ: 1, 10, 40, 80, 80, 32

היכן הדבר עשוי להתהפך

פיתוח ב-2x דורש |2x|<1 לסדרה האינסופית, ולא רק |x|<1.
פיתוחים עם מעריכים שלמים חיוביים הם סופיים ואינם כפופים למגבלת התכנסות זו.

אינו נכון: כל פיתוח בינומי הוא פולינום סופי, כולל חזקות שאינן שלמים חיוביים. עבור חזקה שלילית או שברית, הפיתוח הוא סדרה אינסופית, תקפה רק עבור |x|<1.

יישום הדבר

ציין את תחום התקף לצד הקירוב.
שמור מספיק איברים כדי לתמוך בדיוק המבוקש, והבדל בין מקדם לבין האיבר השלם המכיל x.

בקורס שלך

ניתוח וגישות HL, הקורס שנבחן לראשונה ב2021.
מבחן 1 ללא מחשבון: שמרו על שברים, שורשים ו-pi כמדויקים והראו כל צעד. במבחנים עם מחשבון, עדיין כתבו את הביטוי לפני הערך שלו.

מפת מושגים:

מקדם בינומי: מספר הדרך לבחור מספר ספציפי של אובייקטים ממאגר נתונים.
עבור מספר טבעי חיובי n, (a+b)^n הוא פיתוח דו-איברי סופי.
שימו לב: פיתוח ב-2x דורש |2x|<1 לסדרה האינסופית, לא רק |x|<1.

כתוב מהמקדם של 54

מצאו את המקדם של x בריבוע בביטוי (1 פלוס 3x) בחזקת 4.
פיתוח דו-איברי הוא סופי רק עבור חזקה של מספר שלם לא שלילי.

חקור

פתיחת בינום ואימושים תקפים

עבור מספר שלם חיובי n, (a+b)^n היא פתיחת בינום סופית

השוו בין הדגם לבין המקרה המוצר והסבר שינוי אחד.

1.8

סדרות, הבדלים סופיים והרחבות טיילור

האם פולינום יכול להחליף פונקציה אקספוננציאלית בקרבת?

קרוב לנקודה ידועה, פונקציה מורכבת יכולה להיות מוחלפת על ידי קירוב פולינומי. הקירוב דורש מרכז ומידה תקינה.
שיעור זה עוסק בפולינום טיילור: פולינום הנוצר מהנגזרות של פונקציה במרכז שנבחר.

השיטה

סביב x=a, f(x)=f(a)+f prime(a)(x-a)+f double prime(a)(x-a)²/2!+... כאשר הפיתוח תקף.
כאשר a=0 זהו התפתחות מקלורן.
סכומים סופיים יכולים גם להתפשוט על ידי ביטול או נוסחות סכום סטנדרטיות.

מקרה מפורט

$$f(x)=f(0)+f^{\prime}(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots$$

דוגמה:

שלושת האיברים הראשונים של e^x הם 1+x+x²/2. ב-x=0.1 זה נותן 1.105, קרוב ל-e^0.1≈1.105170. עבור הסכום של k² מ-k=1 עד 5, n(n+1)(2n+1)/6 נותן 5×6×11/6=55.

עקומת y = eˣ והפולינום 1 + x + x²/2 מצוירים מ-x = −1 עד 1; הם מתכנסים מאוד קרוב ל-x = 0 ומתרחקים בקצוות — 1 + x + x²/2 תואם את eˣ היטב בקרבת x = 0 ופחות טוב בהמשך

היכן הדבר עשוי להתהפך

הפקטוריאל נמצא במכנה של כל מקדם טיילור.
מרכז ההתפשטות אינו תמיד אפס.
קירוב קרוב למרכזו עשוי להיות גרוע הרחק ממנו.

לא נכון: פולינום טיילור תמיד מדויק לגבי הפונקציה המקורית בכל ערך. פולינום טיילור הוא קירוב; הוא בדרך כלל מדויק רק בסמוך למרכז שלו.

יישום הדבר

לסדרה טלסקופית, כתבו כמה איברים וזהו את שתי הקצוות הנותרים.
לקירוב טיילור, ציינו את סדרו והשווה אותו לערך ידוע או להערכת שארית כאשר נדרש.

בקורס שלך

ניתוח וגישות HL, הקורס שנבחן לראשונה ב2021.
מבחן 1 ללא מחשבון: שמרו על שברים, שורשים ו-pi כמדויקים והראו כל צעד. במבחנים עם מחשבון, עדיין כתבו את הביטוי לפני הערך שלו.

מפת מושגים:

פולינום טיילור: פולינום הנבנה מהנגזרות של פונקציה במרכז נבחר.
סביב x=a, f(x)=f(a)+f prime(a)(x-a)+f double prime(a)(x-a)²/2!+... כאשר הפיתוח תקף.
שימו לב: הגורם המוחלט (פאקטוריאל) נמצא במכנה של כל מקדם טיילור.

כתוב ממכופל סכום של 30

מצאו את הסכום של k בריבוע החל מ-k = 1 ועד 4.
השתמשו בביטוי 1 פלוס x פלוס x בריבוע חלוקה ל-2 כדי להעריך את e בחזקת 0.2. פולינום טיילור אינו מדויק בכל נקודה.

כתוב מאוסף של 5050

מצא את הסכום של k מ-k = 1 עד 100.
זיווג גאוס: 1 + 100, 2 + 99, … נותן 50 זוגות של 101, ולכן 5 050.

כתוב מערכת הערכה מסדר שני של 1.22

השתמשו ב- 1 + x + x² מעל 2 ב-x = 0.2.
ההערכה היא 1.22 לערך אמיתי סמוך ל-1.2214 – החלק החסר x³/6 (בערך 0.0013) הוא גודל שגיאת החיתוך.

חקור

סדרות, הפרשים סופיים והתפתחויות טיילור

סביב x=a, f(x)=f(a)+f prime(a)(x-a)+f double prime(a)(x-a)²/2!+

השוו בין הדגם לבין המקרה המוצר והסבר שינוי אחד.

שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה

לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.

נושאים נוספים בIB Diploma Programme · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · HL