IB Diploma Programme · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · HL

Supported HL focus. First assessment 2021; current through 2028. First-assessment-2029 course is separate.. Remaining guide, assessment and practical requirements retain their recorded holds.

Prerequisites: read the stated quantities and units, use arithmetic and the model conditions below. Each lesson develops its own method before independent transfer.

These are original or explicitly fictional teaching examples, not actual measurements or completed assessed learner investigations.

Can we pack without leftovers?

• A supplier packs 72 pencils and 90 pens into identical gift bags. How can we avoid leftovers?
• This lesson studies prime factor 质因数: A prime number that divides the integer exactly.

Choose the mathematical structure

• Prime factors reveal shared structure. Use the smallest common prime powers for the HCF and the largest for the LCM. Estimate before calculating; use brackets to preserve the order of operations.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

72=2^3×3^2 and 90=2×3^2×5. Their HCF is 2×9=18. Make 18 bags with 4 pencils and 5 pens each. Their LCM is 2^3×3^2×5=360.

Test a tempting shortcut

• The HCF divides both numbers; the LCM is a multiple of both. They answer different questions. A decimal estimate is not an exact fraction.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

The HCF of two positive integers is always larger than either integer. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• For a non-calculator paper, keep fractions exact and show cancellation. For a calculator paper, enter the full expression and compare with your estimate.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

A prime number that divides the integer exactly. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

How small is a microscopic length?

• A microscope records a length of 0.000072 metres. A compact representation must keep its size correct.
• This lesson studies index 指数: The power to which a base is raised.

Choose the mathematical structure

• For the same positive base, multiplication adds indices and division subtracts them. A negative index means reciprocal; a fractional index represents a root. Standard form has 1≤a<10.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

0.000072=7.2×10^(-5). Also 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. Simplify √72=6√2, then rationalise $1/\sqrt{2}$=√2/2.

Test a tempting shortcut

• Index laws do not turn a sum into a single power: 2^3+2^4=24, not 2^7. Do not round a surd when an exact answer is requested.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

For every positive a, a^2+a^3 equals a^5. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Check powers of ten against the original quantity. Use surds for exact geometry, and round only the final length when the question asks for a decimal.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The power to which a base is raised. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

Does the change add or multiply?

• A saving plan adds ¥30 more each week; a population model grows by 5% each year. Equal differences and equal ratios need different models.
• This lesson studies common ratio 公比: The constant multiplier 乘数 between consecutive terms of a geometric sequence.

Choose the mathematical structure

• For an arithmetic progression, u_n=a+(n-1)d and S_n=n(2a+(n-1)d)/2. For a geometric progression, u_n=ar^(n-1) and S_n=a(1-r^n)/(1-r). An infinite geometric sum exists only if |r|<1.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

For a=5,d=3,n=8, u_8=5+7×3=26 and S_8=8(10+21)/2=124. For a=12,r=1/2, S infinity=12/(1-1/2)=24. For u_(n+1)=2u_n+1 with u_1=1, the next terms are 3,7,15.

Test a tempting shortcut

• The first term has index 1, so the exponent is n-1. A sequence is a list; a series is a sum. A geometric sequence can alternate in sign and still converge.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

Every geometric series has a finite sum to infinity. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Explain whether the context justifies additive or multiplicative change. In finance, distinguish a single deposit from a stream of deposits before choosing a sum formula.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The constant multiplier between consecutive terms of a geometric sequence. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

Can we recover the original price?

• A coat is reduced by 20% to ¥240. The discount applies to the original price, not to the sale price.
• This lesson studies multiplier: A factor that performs a percentage change in one multiplication.

Choose the mathematical structure

• A p% increase has multiplier 1+p/100; a decrease has multiplier 1-p/100. Reverse a percentage by dividing by the multiplier. In a ratio, first find the total number of parts.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

Let the original price be P. The model is sale price=0.8P. Hence P=240/0.8=300. A later 20% increase gives 240×1.2=288, so the two changes do not cancel.

Test a tempting shortcut

• A percentage uses a stated base. Subtracting the percentages loses that base. For compound change, multiply the multipliers; do not add the percentages.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

A 20% decrease followed by a 20% increase restores the starting price. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• For direct proportion use y=kx; for inverse proportion use y=k/x. Calculate k from a known pair before using a new value. State what you held constant.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

A factor that performs a percentage change in one multiplication. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

What if the root is not real?

• The equation x²+1=0 has no real roots. Extending the number system lets us represent and calculate with both roots.
• This lesson studies complex conjugate 共轭复数: The number obtained by reversing the sign of the imaginary part.

Choose the mathematical structure

• Write z=a+bi with i²=-1. The conjugate is a-bi and z times its conjugate=a²+b². The modulus is √(a²+b²); the argument needs the correct quadrant. Conjugate roots occur for polynomials with real coefficients.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

For z=3+4i, |z|=5 and z conjugate=3-4i. The reciprocal is (3-4i)/25. For x²-6x+13=0, the roots are 3±2i. Multiplying by the conjugate makes a complex denominator real.

Test a tempting shortcut

• The square root of a sum is not the sum of the square roots. An inverse tangent alone may return the wrong quadrant. Do not confuse modulus with squared modulus.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

For a+bi, its modulus is always a+b. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Draw the real axis horizontally and imaginary axis vertically. For products, moduli multiply and arguments add; powers extend this geometric pattern through de Moivre's theorem.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The number obtained by reversing the sign of the imaginary part. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

How does a small change affect a power?

• A small measurement change affects a power of a quantity. An expansion can show the size of first and second effects.
• This lesson studies binomial coefficient 二项式系数: The number of ways to choose a specified number of objects from a set.

Choose the mathematical structure

• For positive integer n, (a+b)^n is a finite binomial expansion. For noninteger n, expand (1+x)^n as 1+nx+n(n-1)x²/2+... with |x|<1. Factor out constants before using this form.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵. For (1+x)^(-1), the first three terms are 1-x+x²; at x=0.1 this gives 0.91 versus the exact 1/1.1≈0.909091.

Test a tempting shortcut

• An expansion in 2x requires |2x|<1 for the infinite series, not merely |x|<1. Positive-integer expansions are finite and do not have that convergence restriction.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

Every binomial expansion is a finite polynomial, including powers that are not positive integers. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• State the range of validity alongside an approximation. Retain enough terms to support the requested accuracy, and distinguish a coefficient from the whole term containing x.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The number of ways to choose a specified number of objects from a set. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

Can a polynomial replace an exponential nearby?

• Near a known point, a complicated function can be replaced by a polynomial approximation. The approximation needs a centre and a valid scale.
• This lesson studies Taylor polynomial 泰勒多项式: A polynomial formed from a function's derivatives at a chosen centre.

Choose the mathematical structure

• About x=a, f(x)=f(a)+f prime(a)(x-a)+f double prime(a)(x-a)²/2!+... when the expansion is valid. At a=0 it is a Maclaurin expansion. Finite sums may also simplify by cancellation or standard sum formulae.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

The first three terms of e^x are 1+x+x²/2. At x=0.1 this gives 1.105, close to e^0.1≈1.105170. For the sum of k² from k=1 to 5, n(n+1)(2n+1)/6 gives 5×6×11/6=55.

Test a tempting shortcut

• The factorial belongs in the denominator of every Taylor coefficient. The expansion centre is not always zero. An approximation close to its centre can be poor far away.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

A Taylor polynomial is always exact for the original function at every input. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• For a telescoping series, write several terms and identify both surviving ends. For a Taylor approximation, state its order and compare with a known value or a remainder estimate where required.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

A polynomial formed from a function's derivatives at a chosen centre. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

מיקוד HL נתמך. הערכה ראשונה 2021; נוכחית דרך 2028. קורס הערכה-2029 ראשונה הוא נפרד.. המדריך, ההערכה והדרישות המעשיות הנותרות שומרות על החזקותיהן המוקלטות.

תנאי הכנה: קרא את הכמויות והיחידות הנ stated, השתמש באריתמטיקה ובתנאי המודל למטה. כל שיעור מפתח את השיטה שלו לפני העברה עצמאית.

אלו הם דוגמאות הוראה מקוריות או בדיוניות במפורש, לא מדידות אמיתיות או בדיקות למידה שנבדקו והושלמו.

אילו קלטות מותרות?

• מודל שורש ריבועי מחזיר תוצאה אמיתית רק עבור קלטות מסוימות. הנוסחה שלו לבדה אינה מגדירה פונקציה מלאה.
• שיעור זה עוסק ב-תחום הגדרה: קבוצת הקלטות המותרות לפונקציה.

בחר את המבנה המתמטי

• צין את תחום ההגדרה ואת תחום הערכים. עבור פונקציה הפוכה, ודא תחילה שהפונקציה היא חד-חד-ערכית על תחום ההגדרה שלה. הרכבה fg פירושה להפעיל את g ראשון, ואז את f; התוצאה הביניים חייבת להיות קלט מותר ל-f.
• ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

• בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

עבור f(x)=√(x-2), x≥2 והטווח הוא y≥0. מ-y=√(x-2), x=y²+2. לכן f הפוכה(x)=x²+2 עם x≥0. עבור g(x)=x+3, fg(1)=f(4)=√2.

בדוק קיצור מפתה

• הריבוע עלול להכניס פתרונות חיצוניים. הגבלת התחום של פרבולה היא הכרחית לפני טענה לקיום פונקציה הפוכה. העבר אופקית בתוך f יש סימן הפוך לתנועת הגרף.
• כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

לכל פונקציה ריבועית בכל המספרים הממשיים קיימת פונקציה הפוכה. טענה זו שגויה. הסבר איזו הגדרה או הנחה היא מפסולת.

פרש מצב חדש

• בדוק את f(f הפוכה(x))=x בתחום ההפוך. השתמש בשרטוט כדי לבדוק האם קו אופקי חותך את הגרף המקורי יותר מפעם אחת.
• פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

• הערכה ראשונה נוכחית-2021 ניתוח וגישות HL. זהו תמיכה במושג כתיבה; יש צורך במדריך המלא לאישור כל מטרה.
• תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

קבוצת הקלטות המותרות לפונקציה. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.

מדוע דגם דעיכה נשאר חיובי?

• ריכוז תרופה יורד באותה אחוז בכל שעה. חיסום קבוע יחזוה בסוף כמות שלילית.
• שיעור זה לומד חיי מחצית: הזמן שבו כמות דועכת יורדת לחצית מערכה ההתחלתי.

בחר את המבנה המתמטי

• עבור y=Ae^(kt), k הוא קצב פרופורציונלי. לקיחת לוגaritms נותנת ln y=ln A+kt. לוגaritms דורשים ארגומנטים חיוביים, ולוגaritms (x+y) אינו שווה לוגaritms x+לוגaritms y.
• ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

• בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

אם y=80e^(-0.2t), y=40 נותן e^(-0.2t)=1/2. מכאן t=ln2/0.2≈3.466. עבור 3^x=20, x=ln20/ln3. ציור של ln y מול t ממיר את מודל האקספוננציאל הזה לליניארי.

בדוק קיצור מפתה

• אקספוננציאל שנמצא הוא מודל, לא הבטחה. ציין את יחידות הזמן והטווח לשימוש. k שלילי מתאר דעיכה; סכום התחלתי שלילי סותר בדרך כלל את ההקשר.
• כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

עבור x ו-y חיוביים, ln(x+y)=ln x+ln y. הטענה הזו שגויה. הסבר באיזו הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

• השווה תצפיות בפועל עם המודל. שינויים שיטתיים עשויים להעיד על תנאים משתנים. בדוח, הסבר מה המשמעות של הקצב והערך ההתחלתי, במקום לתת משוואה חשוכה.
• פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

• הערכה ראשונה נוכחית-2021 ניתוח וגישות HL. זהו תמיכה במושג כתיבה; יש צורך במדריך המלא לאישור כל מטרה.
• תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

הזמן שבו כמות דועכת יורדת לחצית מערכה ההתחלתי. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.

מיקוד HL נתמך. הערכה ראשונה 2021; נוכחית דרך 2028. קורס הערכה-2029 ראשונה הוא נפרד.. המדריך, ההערכה והדרישות המעשיות הנותרות שומרות על החזקותיהן המוקלטות.

תנאי הכנה: קרא את הכמויות והיחידות הנ stated, השתמש באריתמטיקה ובתנאי המודל למטה. כל שיעור מפתח את השיטה שלו לפני העברה עצמאית.

אלו הם דוגמאות הוראה מקוריות או בדיוניות במפורש, לא מדידות אמיתיות או בדיקות למידה שנבדקו והושלמו.

האם נפח משתנה ביחס לאורך?

• לדגם יש אורכים בשליש מאורך האובייקט האמיתי. כמה קטנים יותר שטחו ונפחו?
• שיעור זה לומד גורם קנה מידה: המכפיל המקשר בין אורכים תואמים בצורות דומות.

בחר את המבנה המתמטי

• עבור צורות דומות עם גורם קנה מידה ליניארי k, השטחים מתייחסים ב-k² והנפחים ב-k³. ציין נימוקי זוויות במפורש. משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת המגע.
• ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

• בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

אם גורם ההאמה בין דגם למציאות הוא 3, שטח דגם של 12 ס"מ² נותן 12×3²=108 ס"מ², ונפח דגם של 8 ס"מ³ נותן 8×3³=216 ס"מ³. צילינדר עם r=3, h=5 נפחו הוא πr²h=45π.

בדוק קיצור מפתה

• זוויות שוות לבדן מקבעות דמיון, לא גודל שווה. השתמש באורכים תואמים באותו סדר. המר את היחידות הליניאריות לפני חישוב שטח או נפח, או רבע/קוב את גורם ההמרה נכון.
• כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

הכפלת כל אורך של גוף מוצק כופלת את נפחו. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

• הוכחה גיאומטרית צריכה לציין את המשפט הרלוונטי, לזהות את הזווית השווה או היחס, ולגזור את המסקנה. שרטוט בקנה מידה הוא עדות רק כאשר המשימה מאפשרת מדידה.
• פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

• הערכה ראשונה נוכחית-2021 ניתוח וגישות HL. זהו תמיכה במושג כתיבה; יש צורך במדריך המלא לאישור כל מטרה.
• תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

המכפיל המקשר בין אורכים תואמים בצורות דומות. בחר את הקשר, הראה את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.

איזה צד נדרש לסולם?

• מדרגה מגיעה לגובה של 4 מטר, בעוד שרגליה נמצאות 3 מטר מהקיר. אילו צדדים נתונים, ואיזה זווית אנו זקוקים?
• שיעור זה עוסק ביתר: הצד הנגד לזווית הישר במثلث ישר-זווית.

בחר את המבנה המתמטי

• במثلث ישר-זווית a²+b²=c²; sinθ=ניצב/יתר, cosθ=מלווה/יתר ו-tanθ=ניצב/מלווה. למثلשים אחרים, השתמשו בחוק הסינוסים או קוסינוסים, או שטח=ab sin C/2.
• ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

• בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

אורך המדרגה הוא c=√(3²+4²)=5 מטר. הזווית שלו לקרקע מקיימת tanθ=4/3, ולכן θ≈53.1°. עם שני צדדים 6 ו8 החוצים זווית של 60°, c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52.

בדוק קיצור מפתה

• סמנו צדדים ביחס לזווית שנבחרה. פיתגורס דורש זווית ישרה. טעות במצב זוויות במכונת מחשבית עלולה להוביל לתוצאה שהיא סבירה אך שגויה. שמרו על ערכים לא מעוגלים לשלבים הבאים.
• כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

פיתגורס חל על כל משולש, כולל משולשים ללא זווית ישרה. טענה זו שגויה. הסבירו איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

• השתמשו בתוכנית או מבט עליון לבעיה תלת-ממדית לפני שימוש בחוק משולש. הסבירו מדוע המשולש שנבחר מכיל את האורך או הזווית הנדרשים.
• פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

• הערכה ראשונה נוכחית-2021 ניתוח וגישות HL. זהו תמיכה במושג כתיבה; יש צורך במדריך המלא לאישור כל מטרה.
• תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

הצד הנגד לזווית הישר במثلث ישר-זווית. בחרו בקשר, הפעילו שיטה, בדקו את ההנחות והעריכו את התוצאה.

כמה עובר הקוטר?

• גלגל מסתובב סורק קשת. רדיאנים מאפשרים לזווית שלו להתחבר ישירות למרחק שעבר לאורך השפה.
• שיעור זה עוסק ברדיאן: הזווית הנשענת על קשת שאורכה שווה לרדיוס.

בחר את המבנה המתמטי

• עבור θ ברדיאנים, אורך קשת s=rθ ושטח עיגול A=r²θ/2. השתמשו ב-sin²θ+cos²θ=1 ובזהויות זוויות לפישוט או לפתרון. רשמו כל פתרון בתחום הנ stated.
• ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

• בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

עבור r=4 ו-θ=π/3, מתקבל s=4π/3 ו-A=8π/3. פתרון המשוואה sin x=1/2 בתחום 0≤x<2π נותן x=π/6 ו-5π/6. עבור sin2x=1/2, יש לפתול תחילה בתחום 0≤2x<4π ולאחר מכן לחלק ב-2.

בדוק קיצור מפתה

• פונקציית הסינוס ההפוכה במחשבון נותנת ערך ראשי אחד בלבד. היא אינה נותנת את כל הפתרונות. חלוקה ב-sin x עלולה להשמיד פתרונות שבהם sin x=0; יש לבדוק מקרה זה קודם.
• כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

הערך הראשי של הסינוס ההפוך הוא תמיד הפתרון היחיד במהלך סיבוב מלא. הטענה זו שגויה. הסבר באיזה הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

• בחר זהות שמפגישה את המשוואה לפונקציה טריגונומטרית אחת. שמור על זוויות מדויקות ומוכרות ככל האפשר, ובדוק כל פתרון מול המשוואה המקורית.
• פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

• הערכה ראשונה נוכחית-2021 ניתוח וגישות HL. זהו תמיכה במושג כתיבה; יש צורך במדריך המלא לאישור כל מטרה.
• תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

הזווית שנקשרת בקשת שאורכה שווה למשפט הרדיוס. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.

מדוע ההזזה קצרה מההליכה?

• הליכה 4 מטר מזרחית ו3 מטר צפונית נותנת הזזה של 5 מטר, למרות שהמרחק שנסע הוא 7 מטר.
• שיעור זה לומד תוצרת: סכום וקטורים המייצג הזזה משולבת או כוח משולב.

בחר את המבנה המתמטי

• הוסף רכיבי וקטור מתאימים. הזזה מ-A ל-B היא OB-OA. וקטורים מקבילים הם כפילות סקלרית. לוקטור יש גודל וכיוון; מרחק הוא סקלר.
• ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

• בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

עם a=(4,1) ו-b=(1,3), a+b=(5,4). מכפלת הנקודות שלהם היא a·b=4×1+1×3=7. הגודל של a הוא √17. עבור A=(1,2), B=(5,5), AB=(4,3) ו-|AB|=5.

בדוק קיצור מפתה

• סדר החיסור חשוב: BA=-AB. הוכחת מקבילות דורשת קשר מכפלת סקלרית; סקיצה לבדה אינה מספקת. הגדלה שלילית הופכת מיקום ביחס למרכז.
• כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

ל-AB ול-BA יש תמיד אותם רכיבים. טענה זו שגויה. הסבר אילו הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

• לעבורה, כל נקודה משתמשת באותה הזזה. לבעיות קו מתקדמות, הבדל בין וקטור מיקום לבין וקטור כיוון ופתור משוואות פרמטריות באופן עקבי.
• פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

• הערכה ראשונה נוכחית-2021 ניתוח וגישות HL. זהו תמיכה במושג כתיבה; יש צורך במדריך המלא לאישור כל מטרה.
• תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

סכום וקטורים המייצג הזזה משולבת או כוח משולב. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.

מיקוד HL נתמך. הערכה ראשונה 2021; נוכחית דרך 2028. קורס הערכה-2029 ראשונה הוא נפרד.. המדריך, ההערכה והדרישות המעשיות הנותרות שומרות על החזקותיהן המוקלטות.

תנאי הכנה: קרא את הכמויות והיחידות הנ stated, השתמש באריתמטיקה ובתנאי המודל למטה. כל שיעור מפתח את השיטה שלו לפני העברה עצמאית.

אלו הם דוגמאות הוראה מקוריות או בדיוניות במפורש, לא מדידות אמיתיות או בדיקות למידה שנבדקו והושלמו.

האם ממוצע אחד מספק את כל התמונה?

• לשתי קבוצות אותו ממוצע חצאי אך התפזרות שונה. סיכום אחד אינו יכול לתאר גם מיקום וגם עקביות.
• שיעור זה לומד צפיפות תדירות: תדירות מחולפת בעובי מחלקה, המשמשת כגובה היסטוגרמה.

בחר את המבנה המתמטי

• השווה ממוצע והתפזרות מתאימים בהקשר. להיסטוגרמה יש משתמש בשטח עבור תדירות, ולכן גובה=תדירות/עובי מחלקה. הערכות למיון מניחות ערכים ייצוגיים בתוך המרווחים.
• ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

• בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

מחלקה מ10 עד 20 עם תדירות 30 יש צפיפות 30/10=3. מחלקה מ20 עד 40 עם תדירות 20 יש צפיפות 20/20=1. הפסל הרחב יותר לא צריך להתבלבל עם צפיפות גדולה יותר. עבור ערכים 2,4,4,6,9, הממוצע החצאי הוא 4 והממוצע הוא 5.

בדוק קיצור מפתה

• הפסל הגבוה ביותר בהיסטוגרמה אינו חייב להכיל את הכי הרבה תצפיות. ממוצע למיון הוא הערכה. קורלציה אינה מוכיחה זאוריות, ואקסטרפולציה מרחיבה מעבר לטווח הנצפה.
• כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

גובה פסל בהיסטוגרמה שווה תמיד לתדירות שלו, גם עם עובי מחלקות לא שווה. טענה זו שגויה. הסבר אילו הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

• בחר תצוגה המתאימה לסוג הנתונים. ספק גם השוואה מספרית ומה sheo על האוכלוסייה; אל תסיק דיוק רב יותר מהדוגמה תומכת.
• פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

• הערכה ראשונה נוכחית-2021 ניתוח וגישות HL. זהו תמיכה במושג כתיבה; יש צורך במדריך המלא לאישור כל מטרה.
• תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

תדירות מחולפת בעובי מחלקה, המשמשת כגובה היסטוגרמה. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.

מה משתנה לאחר המשיכה הראשונה?

• שקית מכילה 3 חלקיקים אדומים ו2 חלקיקים כחולים. הוצאת שניים ללא החזרה משנה את הסיכוי לצבע השני.
• שיעור זה עוסק בהסתברות מותנית: ההסתברות לאירוע לאחר צמצום מרחב הדגימה לתנאי מצוין.

בחר את המבנה המתמטי

• כפל לאורך ветвь עץ וחיבור ветвь בלתי תלויות. עם החזרה, הרכב נשאר קבוע. הסתברות מותנית היא P(A בתנאי B)=P(A∩B)/P(B), עבור P(B)>0.
• ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

• בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

ללא החזרה, P(שני אדומים)=3/5×2/4=3/10. P(אחד מכל) =3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. אם P(A∩B)=0.12 ו-P(B)=0.3, אז P(A בתנאי B)=0.4.

בדוק קיצור מפתה

• בלתי תואמים פירושו אין חפיפה; בלתי תלויים פירושו שהידע באירוע אחד אינו משנה את ההסתברות של האחר. שני אירועים בלתי תואמים עם הסתברות חיובית אינם בלתי תלויים.
• כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

אירועים בלתי תואמים עם הסתברויות חיוביות חייבים להיות בלתי תלויים. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

• טבלה דו-כיוונית הופכת את המכנה המוגבל לנראה לעין. לפני שימוש במוצר P(A)P(B), יש להצדיק בלתי תלות מההקשר או מהמידע הספוק.
• פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

• הערכה ראשונה נוכחית-2021 ניתוח וגישות HL. זהו תמיכה במושג כתיבה; יש צורך במדריך המלא לאישור כל מטרה.
• תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

ההסתברות לאירוע לאחר צמצום מרחב הדגימה לתנאי מצוין. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.

מה גורם לספירה להיות חזוי?

• בוחן איכות סופר מספר פריטים פגומים. המספר הוא אקראי, אך דגם יכול לתאר את הטווח הסביר שלו.
• שיעור זה עוסק בערך צפוי: הממוצע המשוקלל בהסתברות של משתנה אקראי.

בחר את המבנה המתמטי

• מודל דו-מוני דורש n קבוע, ניסויים עצמאיים, שני תוצאות ו-p קבוע. E(X)=np ו-Var(X)=np(1-p). עבור מודל נורמלי השתמש ב-z=(x-μ)/σ. מודל פואסון מתאר ספירות בקצב קבוע ובתנאי עצמאות מתאימים.
• ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

• בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

עבור X בינומית(5,0.2), P(X=0)=0.8^5=0.32768, E(X)=1 ו-Variance(X)=0.8. עבור משתנה נורמלי עם μ=100, σ=15, הערך 130 יש לו z=2. ממוצע של Poisson של 3 לשעה נותן ממוצע 6 לאורך שעתיים.

בדוק קיצור מפתה

• לא כל ספירה היא בינומיאלית: שינוי ב-p או קיום תלות יכול לבטל אותה. עבור משתנה רציף, ההסתברות לערך מדויק יחיד היא אפס. תיקון רציפות חשוב כאשר מעריכים התפלגות דיסקרטית באמצעות התפלגות נורמלית.
• כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

כל ספירת הצלחות מתפלגת בינומיאלית ללא קשר לתלות. טענה זו שגויה. הסבר את ההגדרה או ההנחה שהיא מפרה.

פרש מצב חדש

• כתוב את האירוע כאי-שוויון לפני השימוש בפונקציות ההתפלגות במחשבון. הבדל בין P(X<k), P(X≤k) ובין זנב המשלים. ציין הנחות בהקשר.
• פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

• הערכה ראשונה נוכחית-2021 ניתוח וגישות HL. זהו תמיכה במושג כתיבה; יש צורך במדריך המלא לאישור כל מטרה.
• תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

הממוצע המשוקלל בהסתברות של משתנה אקראי. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.

מיקוד HL נתמך. הערכה ראשונה 2021; נוכחית דרך 2028. קורס הערכה-2029 ראשונה הוא נפרד.. המדריך, ההערכה והדרישות המעשיות הנותרות שומרות על החזקותיהן המוקלטות.

תנאי הכנה: קרא את הכמויות והיחידות הנ stated, השתמש באריתמטיקה ובתנאי המודל למטה. כל שיעור מפתח את השיטה שלו לפני העברה עצמאית.

אלו הם דוגמאות הוראה מקוריות או בדיוניות במפורש, לא מדידות אמיתיות או בדיקות למידה שנבדקו והושלמו.

מה השיפוע בנקודה אחת?

• כביש מעוגל יש לו שיפועים שונים במיקומים שונים. מדרגה ממוצעת לא יכולה לתאר כל נקודה.
• שיעור זה לומד נגזרת: קצב שינוי מיידי, גם כן שיפוע של משיק.

בחר את המבנה המתמטי

• עבור y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1). נקודה עצירה מקיימת dy/dx=0. בדוק את שינוי הסימן של הנגזרת, או את הנגזרת השנייה כאשר היא אינה אפס, כדי למיין אותה.
• ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

• בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

עבור y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. ב-x=1, השיפוע הוא 0 ו-y=-2. הנגזרת השנייה היא 6x, חיובית ב-x=1, ולכן זוהי מינימום מקומי. ב-x=-1, y=2 והנגזרת השנייה שלילית, מה שמעניק מקסימום מקומי.

בדוק קיצור מפתה

• נגזרת אפס לא תמיד מציינת מקסימום מינימום: y=x³ נמצאת בנקודה יציבה ב-0 אך ממשיכה לעלות. קצה תחום יכול גם כן ליצור ערך קיצוני בתחום מוגבל.
• כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

כל נקודה עם נגזרת שווה לאפס היא מקסימום או מינימום מקומי. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

• ברמת GCSE/IGCSE השתמש רק בטווח הפולינומים המותר לפי הרמה; אל תוסיף כלל שרשרת, מכפלה או מנה. ברמה המתקדמת, חבר בין הנגזרת לשיעורי זמן ולאופטימיזציה עם תחום תקף.
• פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

• הערכה ראשונה נוכחית-2021 ניתוח וגישות HL. זהו תמיכה במושג כתיבה; יש צורך במדריך המלא לאישור כל מטרה.
• תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

שיעור הזמן המיידי, או במילים אחרות, שיפוע המשיק. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ומתח את התוצאה.

כמה שינוי הצטבר?

• גרף מהירות מספר לנו על תנועה ברגע נתון. איך ניתן לשחזר את ההזזה המצטברת לאורך הזמן?
• שיעור זה עוסק ב-פונקציה קדומה: פונקציה שנגזרתה שווה למכפיל האינטגרל הנתון.

בחר את המבנה המתמטי

• עבור n≠-1, האינטגרל של ax^n הוא ax^(n+1)/(n+1)+C. אינטגרל מוגדר הוא הצטברות עם סימן. יש לחלק בנקודות שינוי סימן כאשר נדרש שטח כולל או מרחק.
• ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

• בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

עבור v(t)=3t²-3 בתחום 0≤t≤2, ההזזה=[t³-3t]_0^2=2. מכיוון שהמהירות משנה סימן ב-t=1, המרחק=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. הקבועים מתבטלים רק באינטגרל מוגדר.

בדוק קיצור מפתה

• האינטגרל של 1/x הוא ln|x|+C, ולא חוק החזקות עם n=-1. שטח עם סימן יכול להיות אפס גם כאשר השטח הכלוא הכולל חיובי.
• כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

אינטגרל מוגדר שווה תמיד לסך השטחים החיוביים, גם כאשר הגרף חוצה את ציר ה-x. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

• זיהוי המשמעות של האינטגרל והכללת היחידות הנכונות. קצב שנמדד ליחידת זמן (למשל לשנייה) מתאים לאינטגרציה לכמות הבסיס, ולא לקצב אחר. לגזור פונקציה קדומה כדי לוודא את התוצאה.
• פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

• הערכה ראשונה נוכחית-2021 ניתוח וגישות HL. זהו תמיכה במושג כתיבה; יש צורך במדריך המלא לאישור כל מטרה.
• תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

פונקציה שנגזרתה שווה למכפיל האינטגרל הנתון. בחר את הקשר, הראה את השיטה, בדוק את ההנחות ועשה פרשנות לתוצאה.

האם הביטוי הפנימי משתנה גם הוא?

• עוף העלות הוא חזקה של ביטוי משתנה. גזירת החזקה החיצונית לבדה מחמיצה את השיעור של הקלט שלה.
• שיעור זה לומד כלל שרשרת: הכלל שמכפיל את הנגזרת החיצונית בנגזרת הפנימית לפונקציה מורכבת.

בחר את המבנה המתמטי

• עבור y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x). עבור uv, גזור ל-u prime v+uv prime. עבור u/v, השתמש ב-(u prime v-uv prime)/v², כאשר v≠0.
• ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

• בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

עבור y=(3x+1)^4, y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. ב-x=0, השיפוע הוא 12. עבור x²+y²=25, גזור באופן סתום: 2x+2y y prime=0, ולכן y prime=-x/y כאשר y≠0.

בדוק קיצור מפתה

• נגזרת של מכפלה אינה מכפלת הנגזרות. בגזירה סתומה, כל פונקציה של y שהוגזרה מביאה גורם dy/dx. מכנה של מנה מושאר בריבוע.
• כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

הנגזרת של u(x)v(x) היא תמיד u prime כפול v prime. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

• בחר צורה מתאימה לפני הגזירה: פתיחת פולינום קצר עשויה להיות פשוטה יותר. עבור שיעורי זמן קשורים, כתוב את הקשר בסמלים, גזור לפי זמן, ולאחר מכן הצב ערכים שנמדדו.
• פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

• הערכה ראשונה נוכחית-2021 ניתוח וגישות HL. זהו תמיכה במושג כתיבה; יש צורך במדריך המלא לאישור כל מטרה.
• תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

הכלל שמכפיל את הנגזרת החיצונית בנגזרת הפנימית לפונקציה מורכבת. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ומתח את התוצאה.

האם ניתן לאסוף את שני הגורמים בנפרד?

• מכפלה פשוטה נראית כמו xe^x לא ניתנת לאינטגרציה על ידי ביצוע אינטגרציה נפרדת לכל גורם.
• שיעור זה עוסק ב-אינטגרציה בחלקים: שיטת אינטגרציה המבוססת על הנגזרת של מכפלה.

בחר את המבנה המתמטי

• השתמש בהצבה כאשר נגזרת פנימית מופיעה כגורם. בחלקים, אינטגרל u v prime =uv-אינטגרל u prime v. עבור פונקציה רציונלית, חלק תחילה אם נדרש, ואז פצל לשברים חלקיים.
• ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

• בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

עבור אינטגרל xe^x dx, בחר u=x ו-v prime=e^x. אז האינטגרל הוא xe^x-e^x+C. עבור אינטגרל 2x/(x²+1) dx, בצע הצבה w=x²+1, dw=2x dx; התשובה היא ln(x²+1)+C.

בדוק קיצור מפתה

• בחירה טובה של u ו-v prime חשובה: האינטגרל הנותר צריך להפוך לפשוט יותר. בהצבה מוגדרת, יש לשנות את הגבולות או לחזור ל-x לפני יישום הגבולות המקוריים.
• כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

האינטגרל של מכפלה שווה למכפלת האינטגרלים הנפרדים שלה. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

• בדוק על ידי גזירה. עבור נפחי סיבוב סביב ציר ה-x השתמש ב-V=π∫y²dx; אל תבלבל בין ריבוע פונקציה לבין אינטגרל הפונקציה.
• פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

• הערכה ראשונה נוכחית-2021 ניתוח וגישות HL. זהו תמיכה במושג כתיבה; יש צורך במדריך המלא לאישור כל מטרה.
• תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

שיטת אינטגרציה המבוססת על הנגזרת של מכפלה. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.

מה קובעת הערך ההתחלתי?

• קצב צמיחה של אוכלוסייה פרופורציונלי לגודלה הנוכחי. משוואת הקצב מתארת משפחה שלמה עד שמסופקת אוכלוסייה התחלתית.
• שיעור זה לומד תנאי התחלה: ערך ספציפי בוחר פתרון מסוים מתוך משפחה.

בחר את המבנה המתמטי

• עבור dy/dx=ky, הפרד משתנים: dy/y=k dx, וקבל y=Ae^(kx). השתמש בתנאי התחלה כדי למצוא A. שיטת אואייר לוקחת y הבא=y+h f(x,y), עם צעד h שנבחר.
• ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

• בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

עם dy/dx=0.5y ו-y(0)=2, י Obtained y=2e^(0.5x). אולר עם h=0.2 נותן y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 ו-y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. הערך המדויק השני הוא כ-2.4428.

בדוק קיצור מפתה

• תנאי התחלה קובע את קבוע האינטגרציה; הוא אינו מחליף את האינטגרציה. חלוקה ב-y עלולה לפסול פתרון איזון y=0. דיוק אילר תלוי בגודל השלב ובמשוואה.
• כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

כל גודל צעד נותן בדיוק אותו קירוב אואייר. טענה זו שגויה. הסבר באיזה הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

• למשוואות ליניאריות מסדר שני, יש לשלב את הפונקציה המשלימה עם אינטגרל פרטי מתאים, ולאחר מכן להחיל את תנאי ההתחלה הנדרשים. נושא זה נכלל בתוכנית Further Pure; יש לבדוק את היחידה המסומנת.
• פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

• הערכה ראשונה נוכחית-2021 ניתוח וגישות HL. זהו תמיכה במושג כתיבה; יש צורך במדריך המלא לאישור כל מטרה.
• תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

ערך ספציפי בוחר פתרון מסוים מתוך משפחה. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.

מיקוד HL נתמך. הערכה ראשונה 2021; נוכחית דרך 2028. קורס הערכה-2029 ראשונה הוא נפרד.. המדריך, ההערכה והדרישות המעשיות הנותרות שומרות על החזקותיהן המוקלטות.

תנאי הכנה: קרא את הכמויות והיחידות הנ stated, השתמש באריתמטיקה ובתנאי המודל למטה. כל שיעור מפתח את השיטה שלו לפני העברה עצמאית.

אלו הם דוגמאות הוראה מקוריות או בדיוניות במפורש, לא מדידות אמיתיות או בדיקות למידה שנבדקו והושלמו.

מה הופך מחקר לחקירה מתמטית?

• תלמיד רוצה לחזות זמן המתנה בתור בקantine בית הספר. חקירה שימונית דורשת שאלה, נתונים ומתמטיקה שהתלמיד יכול להסביר.
• שיעור זה לומד הנחה: תנאי שאומץ כדי לאפשר מודל מתמטי ושwhose השפעה צריכה להיות מוערכת.

בחר את המבנה המתמטי

• נסח שאלה ממוקדת עם משתנים ניתנים למדידה ומתודולוגיה מעשית. שמור על רישום תאריך של החלטות, מקורות והיבטים מתמטיים. השתמש בטכנולוגיה לתמיכה בניתוח, והסבר כל פלט חשוב במילים שלך.
• ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.

עבר על מקרה מאומת

• בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.

דוגמה:

מדריך מקליט משכי המתנה ממוצעים של 3,5,7 דקות כאשר 10,20,30 אנטים בפניו. מודל ראשון הוא t=1+0.2n. ב-n=25 הוא חוזה 6 דקות. המתנה בפועל של 8 נותנת שארית 2; בדוק שיעורי שירות משתנים במקום להסתיר את האי התאמה.

בדוק קיצור מפתה

• אל תעתיק חקירת דוגמה, אל תמציא נתונים או תייצר מעורבות אישית. חיזוי אינו עדות עד שהוא מושווה לצפיות. הסכמה ופרטיות חשובות בעת איסוף נתונים בבית ספר.
• כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.

אזהרה:

החקירה המתמטית המופקחת על ידי בית הספר יכולה להיות מוחלפת על ידי מבחן מוקדם כתוב בזמן. טענה זו שגויה. הסבר אילו הגדרה או הנחה היא מפרה.

פרש מצב חדש

• בית הספר מפקח על אישור נושא, ביקורת, אותנטיות והערכה. עבור הקורס 2021 הנוכחי השתמש במדריך ובקריטריונים של בית הספר הנוכחי; הקריטריונים לחקירה 2029 שייכים לגרסת הערכה שונה.
• פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.

השתמש בכך בקורס שלך

• הערכה ראשונה נוכחית-2021 ניתוח וגישות HL. זהו תמיכה במושג כתיבה; יש צורך במדריך המלא לאישור כל מטרה.
• תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.

מפת מושגים:

תנאי שהונח כדי לאפשר מודל מתמטי והשפעתו צריכה להיות מוערכת. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.