שיטות אנרגטיות מקשרות בין מתנד קפיץ למסלול, אך הקואורדינטות וההנחות הפיזיקליות שונות ביניהם.
תנאי מקדימים: 26, 41.
- בנה מילטוניאנית פשוטה
- השתמש במשוואות קנוניות
- יישם סקאלה כבידתית וקרנית
AH · Hamiltonian mechanics and astrophysical scaling
GRE · GRE Subject Test · GRE Physics · נושא 9
9.1
מכניקת המילטוניאנית וסקאלה אסטרונומית
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| canonical momentum/kəˈnɒnɪkl məʊˈmentəm/ | תנע קנוני |
| luminosity/ˌluːmɪˈnɒsɪti/ | בהירות |
9.2
בחר את המערכת ואת הדגם
התנע הקנוני הוא p=∂L/∂qdot. המרת לוג'נדר H=p qdot−L נותנת מילטוניאנית כאשר מהירויות ניתנות לבטא באמצעות קואורדינטות ותנעים.
9.3
השתמש בקשר השולט
משוואות המילטון הן qdot=∂H/∂p ו-pdot=−∂H/∂q. עבור מתנד רגיל H=p²/(2m)+kq²/2, משוואות אלו מחזירות את משוואת ניוטון.
9.4
יישם את התנאים
עבור מסלול כבידתי מעגלי v²=GM/r והתקופה²=4π²r³/(GM). ההנחות כוללות מסה מרכזית דומיננטית ומקריבת מסלול מעגלי; למסלולים אלפסויים משתמשים במחצית הציר הראשי בחוק קפלר. עבור לוויין בעל מסה m, הגודל של התנע הזוויתי הוא mrv=m sqrt(GMr), ולכן לוויינים זהים יש להם L פרופורציונלי ל-sqrt(r). יחס רדיוס 9 לכן נותן יחס תנע זוויתי 3, בעוד שיחס התקופה הוא 27. הבחנה זו נובעת מאותה משוואת כוח צנטריפטלי; אין להשתמש בסקאלת תקופה עבור תנע זוויתי.
9.5
בדוק את המסקנה
בהירות וזרם מקבלים עומדים F=L/(4πd²) לקרינה איזטרופית. גוף שחור יש לו L=4πR²σT⁴; שיא הספקטרול שלו זז הפוך לטמפרטורה. מבדילו בין בהירות פנימית לבין ברק נצפה.
9.6
שיטה מפורטת
עבור לוגריתמיאנית רגילה $L=m\dot q^2/2-kq^2/2$, התנע הקנוני הוא
$$p=\partial L/\partial\dot q=m\dot q,\qquad \dot q=p/m.$$
הצב את המהירות בטרנספורמציה של לורנץ:
$$H=p\dot q-L=p^2/(2m)+kq^2/2.$$
$$\dot q=\partial H/\partial p=p/m,\qquad\dot p=-\partial H/\partial q=-kq.$$
שילוב אלו נותן $\ddot q=-(k/m)q$. הפיכת התנע למהירות
נדרשת; אין להניח זאת לכל לאגרנג'יאני מוגבל או סינגולרי.
9.7
בדוק תנאים ומילוגיה
המילטוניאן שווה לאנרגיה מכנית כוללת רק תחת ההנחות הרלוונטיות לערכת המערכת; אל תסיקו זאת אוניברסלית משימה שלו.
תנע קנוני: הנגזרת של הלאגרנג'יאן ביחס למהירות כללית.
בהירות: הסך הכללי של כוח הקרינה, שונה מהזרם (פוקס) בעינית הצופה.
שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.