QM · Quantum mechanics and atomic physics

חלקיק בקופסה אינו יכול להיות בעל אנרגיה קינטית מינימלית אפס. הכלא שלו משנה את המצבים האפשריים.

תנאי קדמה: 24, 37, 38, 39.

• להשתמש בפונקציות גל, מפעילים והסברות מדידה
• לפתור מודלים סטנדרטיים של מצבי קשירה וניתוח מעבר מחסום
• להחיל עקרונות של תנע זוויתי, ספין וספקטרום אטומי

פונקציית גל חייבת לעמוד בתנאי הגבול של המודל ולהיות בעלת הסתברות כוללת אחת: יש לבצע אינטגרציה של |ψ(x)|² על התחום המותר. עבור מצבים אוर्थו-נורמליים φ_j, לסופרפוזיציה ψ=Σc_jφ_j יש נורמה בריבוע Σ|c_j|² מכיוון שהאיברים המוצלבים מתאפסים באינטגרציה. לכן לסופרפוזיציה שווה של N מצבים אוρθוגונליים יש גודל מקדם 1/sqrt(N). ההסתברות למצוא אנרגיה רכיבית אחת היא |c_j|², ולא c_j. פאזלים יחסיים עשויים להשפיע על הסתברות מיקום גם כאשר הסתברות אנרגיה אינה משתנה.

גדל מדידה מיוצג על ידי אופרטור הירמיטי. הערכים המיוחדים שלו הם ממשיים, ומצב נורמלי נותן ערך צפוי ⟨A⟩=∫ψ* Aψ dx. הערך הצפוי הוא ממוצע על פני הכנות חוזרות, ולא בהכרח תוצאה של מדידה אחת. אם A מקיים זהות פולינומית, יש להחיל אותו על מצב מיוחד: עבור A⁴=I, ערך מיוחד ממשי חייב להיות +1 או −1. שורש רביעי מרוכב נשלל על ידי הירמטיות גם אם הוא פותר את הפולינום.

עבור באר אינסופית 0<x<L, תנאי השפה ψ(0)=ψ(L)=0 מאפשרים מודי סינוס sin(nπx/L), עם n=1,2,… . האנרגיות שלהן הן E_n=n²π²$\hbar$²/(2mL²), ולכן המצב היסודי אינו אפס והכפלת L מחלקת כל אנרגיה ב-4. הביטוי המקביל ל-h הוא n²h²/(8mL²); לעולם אין להחליף h ב-$\hbar$ ללא הגורם π2. בגדר סופי במקום זאת, מעבר קווי דו-מערי (exponential tails) מותר, וגל נוסע באזור מותר קלאסית בעל תלות מרחבית תנודתית ולא מדעכת מעריית.

פעולות חלופין כאשר [A,B]=AB−BA=0; תצפיות תואמות יכולות להיות להם בסיס מובן משותף. מכיוון שאנרגיה קינטית p²/(2m) היא פונקציה של p, היא חלופה עם p. פוטנציאל תלוי-מיקום בדרך כלל גורם לכך ש-H=p²/(2m)+V(x) לא יחלף עם p. רגעי זווית מקיימים [J_x,J_y]=i$\hbar$J_z והחלפת מחזוריות, בעוד J² מחליף עם כל רכיב. מעברי אטומיים מתחלפים באנרגיית פוטון חיובית השווה להפרש בין רמות; רגעי זווית וכללי בחירה ספציפיים למנגנון מגבילים אילו מעברים מתרחשים.

באר אינסופית נמתחת מ-0 ועד L. התאפפות פונקציית הגל בשתי הקצוות נותנת

הכנת $\psi=(\psi_1+i\psi_2)/\sqrt2$. האורתוגונליות גורמת לנורמה שלה להיות אחת. מדידות אנרגיה נותנות E1 או 4E1 בהסתברות שווה: ערך זה אינו תוצאת אנרגיה בודדת מותרת. הפאזל היחסי משתנה בזמן, ולכן סופרפוזיציה של אנרגיות שונות אינה מצב סטציונרי.

מצב עמיד יכול להיות בעל אנרגיה שאינה אפס גם אם צפיפות ההסתברות שלו אינה תלויה בזמן.

נורמליזציה: הופעת ההסתברות הכוללת לשווה לאחד.

אופרטור: פעולה מתמטית המייצגת גדל מדידה.