MM.1 · Coordinate operators, separated modes and stable updates

כתיבת הלפלסיאן של פונקציה רדיאלית כ-f″ מחיקה איבר; המפעיל שייך לקואורדינטות, לא לסמל.

תנאי קבלה: אלגברה, גזירה ורכיבי וקטור.

• השתמשו בדיברגנס והלפלסיאן במערכת הקואורדינטות שנבחרה לפי הסימטריה
• פתחו בעיית גבול פשוטה עם מוד מופרד
• בדקו התכנסות, יחידות ויציבות של עדכון נומרי מקורי

בחרו קואורדינטות לפי הסימטריה לפני כתיבת המפעילים. עבור פונקציה רדיאלית בקואורדינטות כדוריות, ∇²f=f″+(2/r)f′, ודיברגנס של שדה רדיאלי A=A_r r̂ הוא (1/r²)d(r²A_r)/dr. בדיקה: A=k r̂/r² יש דיברגנס (1/r²)dk/dr=0 הרחק מהמקור, ו-f=1/r מקיימת ∇²f=f″+2f′/r=2/r³−2/r³=0 הרחק מהמקור. צורות קרטזיות חלות רק על תלות קרטזית.

הפרדת משתנים הופכת בעיית גבול למודים רגילים. לעמוד קבוע בשני קצוות, כתבו u=X(x)T(t); משוואת הגל נותנת X″/X=(1/c²)T″/T=−k², הקצוות הקבועים מכפיצים X=sin(nπx/L), ותדרים האפשריים הם ω_n=nπc/L, f_n=nc/(2L). כל מוד חייב לעמוד בתנאי הגבול לפני סכום כלשהו על מודים.

An explicit Euler update for y′=−λy is y_{n+1}=(1−λh)y_n, bounded when |1−λh|≤1, i.e. 0<h≤2/λ for λ>0; asymptotic decay needs 0<h<2/λ. With λ=10 /s, h must not exceed 0.2 s; h=0.25 s multiplies by −1.5 each step and diverges with alternating sign. Stability is a property of the recurrence, not of the true solution.

בדוק תשובה מספרית בשלושה אורחים לפני שסומכים עליה: יחידות מידה של כל איבר (λh חייב להיות חסר ממדים), התכנסות תחת ריכוז (חלק את h למחצית והשוו; טעות אולר המפורשת היא מסדר ראשון), ונקודת גבול עם תשובה מדויקת ידועה. עבור y′=−4y עם y0=8 ו-h=0.2, חמישה צעדים נותנים 8×0.2⁵=0.00256 לעומת הערך המדויק 8e^(−4)≈0.1465: היציבות קיימת אך הדיוק נמוך, לכן יש לרכוז.

שדה רדיאלי כדורי בעל דיברגנציה

עבור $A_r=Cr$, הוא נותן 3C ולא C. קצה מיתר קבוע דורש $X(0)=X(L)=0$, ולכן $X_n=\sin(n\pi x/L)$ עם מספר שלם חיובי n. שיטת אולר עבור $\dot y=-\lambda y$ נותנת $y_{n+1}=(1-\lambda h)y_n$. עבור h חיובי, יציבות מוחלטת מוגבלת מאפשרת $h\leq2/\lambda$; דעיכה לאפס דורשת את האי-שוויון המחמיר $0<h<2/\lambda$. בקצה העליון הפתרון המספרי מתחלף ללא דעיכה. היציבות אינה מבטיחה דיוק.

החלת לפרסיאן קרטזי לפונקציה רדיאלית, סכום מודים που מפרים את תנאי הגבול, או כינוי ריצה שנראית מוגבלת להתכנסות ללא ריכוז הצעד. התאם מפעיל, גבולות ותנאי יציבות לבעיה בפועל.

הפרדת משתנים: פתרון משוואה פרטיאלית על ידי כתיבת הנעלם כמכפלה של גורלים תלויים במשתנה יחיד.

תנאי יציבות: הגבלת גודל השלב שמונעת מהחיזור המספרי להכפיל שגיאות.