SN.2 · Bragg diffraction and electron-gas heat capacity

GRE Subject Test · GRE Physics · נושא 45

45.1

פיזור בראג וקיבוע חום של גז אלקטרונים

סיבוב גביש בקרן X-רינטו מתאר את הרשתות האטומיות שלו, מכיוון שהחזרה הבונה מתרחשת רק בזוויות בדידות.

דרישות מקדימות: 8, 36.

יישום תנאי בראג כדי למצוא רווחים בין רשתות או זוויות פיזור
הערכת אנרגיית פרמי ואטמוספרת פרמי של אלקטרונים חופשיים
הבחנה בין תרומות קיבוע חום אלקטרוניות ולטבעת

מילון מונחים אימון

English	עברית
Bragg condition/bræɡ kənˈdɪʃn/	תנאי בראג
Fermi energy/ˈfɜːmi ˈenədʒi/	אנרגיית פרמי
Bragg diffraction/bræɡ dɪˈfrækʃn/	פיזור בראג

45.2

יישום תנאי בראג

החזרת בראג מרשתות מקבילות במרווח d מתעצמת בצורה בונה כאשר 2d sinθ=nλ, כאשר θ נמדד מהמשטח (הזווית הנשענת), ולא מהניצב. סדר ראשון n=1 נותן את הזווית הקטנה ביותר. עבור λ=0.154 nm ושיא ב-θ=20°, מתקבל d=0.154/(2 sin20°)≈0.225 nm. אם 2d<λ אין סדר; הסינוס חייב להישאר באפס או מעליו, אך לא מעל 1.

45.3

קריאת קבוע הרשת

בגביש קובייתי, רווח הרשת (hkl) הוא d=a/sqrt(h²+k²+l²) עם קבוע רשת a; הרשתות (110) נותנות a/√2. לכן, זווית בראג שנמדדת היא מדד לקבוע הרשת. היעדרות מערכות מהבסיס (למשל, ברשתות מרכז-גוף חסרות h+k+l אי-זוגי) מספקות מידע מבני מעבר לנוסחת הרווח.

45.4

מילוי ים האלקטרונים

במודל האלקטרונים החופשיים, N אלקטרוני הולכה ארוזים במצבים עד לגל-ווקטור פרמי k_F=(3π²n)^(1/3) לצפיפות מספרית n, מה שנותן E_F=$\hbar$²k_F²/(2m). עבור n=8.5×10²⁸ /m³, מתקבל k_F≈1.36×10¹⁰ /m, E_F≈7.05 eV ו-T_F=E_F/k_B≈8.2×10⁴ K. מכיוון ש-T_F גבוה משמעותית מטמפרטורת החדר, רק חלקיקה בסדר גודל T/T_F של האלקטרונים מעוררים תרמית.

45.5

הפרדת קיבועי החום

לכן למתכות יש שני איברים לקיבול חום בטמפרטורות נמוכות: איבר אלקטרוני γT ליניארי ב-T ואיבר רשת (דבה) βT³. גרף של C/T כנגד T² נותן חיתוך γ ומשיפ β. בקרבת טמפרטורת החדר החלק הרשתי מקרב לערך דלונג-פיטי ושולט; בטמפרטורות נמוכות האיבר האלקטרוני γT גובר על איבר הרשת הצומח βT³.

45.6

שיטה מפורטת

פיזור בראג משתמש בזווית theta מהרשת הגבישית, ולא מהניצב שלה.

$$2d\sin\theta=n\lambda,\qquad d=\lambda/(2\sin\theta)=(0.154\,\mathrm{nm})/[2\sin(20^\circ)]=0.225\,\mathrm{nm}.$$

קיבוע חום של מתכת בטמפרטורות נמוכות כולל איברים אלקטרוניים וטבעתיים נפרדים:

$$C=\gamma T+\beta T^3,\qquad C/T=\gamma+\beta T^2.$$

גרף של C/T כנגד T רבוע נותן חיתוך גמה ומשיפ בטה. קו ישר מזדהה את המודל הזה במשטחו.

Left: Bragg peaks for λ = 0.154 nm and d = 0.225 nm at 2θ = 40.0° (n = 1) and 86.4° (n = 2). Right: C/T against T² for a metal — Bragg's law 2d sin θ = nλ; C/T = γ + βT² separates electrons from lattice

45.7

בדוק תנאים ומילוגיה

מדידת θ מהנורמל למישור במקום מהמישור עצמו, או ייחוס כל תכולת החום הנמוכה לאלקטרונים. התנאי הסינוסי והפירוק לשני איברים הם המקומות בהם חישובים אלו נכשלים.

תנאי ברג: החזרה בונה מהשטחים רשת כאשר 2d sinθ=nλ, כאשר θ נמדד מהשטח.

אנרגיית פרמי: האנרגיה הגבוהה ביותר שתופסת אלקטרון בטמפרטורת אפס במודל האלקטרונים החופשיים.