RA.2 · Simultaneity, length measurement and velocity transformation

שני צופים יכולים להתחלף בדעתם מי מאירועים שניים קרה קודם, ושניהם יכולים להיות צודקים.

Prerequisites: 22.

• המרת הפרשי אירועים וזיהוי קריאות אורך נכון מול קריאות תואמים-זמן בקצוות
• יישום חיבור מהירויות יחסי ואישור אינווריאנט של וקטור ארבעי
• סיווג סימן הפסקה כדי לסדר את האירועים ולסגור אפשרות ליצירת קשר סיבתי

השתמש במרת לורנץ עם תנועת מסגרת מוגדרת: אם המסגרת S′ נעה במהירות +v לאורך ציר x ביחס ל-S, אזי x′=γ(x−vt) ו-t′=γ(t−vx/c²) כאשר γ=1/sqrt(1−v²/c²). יישם זאת להפרשי אירועים Δx ו-Δt, ולא רק לקואורדינטות בודדות. שני אירועים תואמי-זמן ב-S (Δt=0) במקומות שונים יהיו להם Δt′=−γvΔx/c²: האירוע הרחוק יותר בכיוון ה-x החיובי מתרחש מוקדם יותר ב-S′. תואמות-זמן תלויה במסגרת, ולא טעות חשבון.

אורך מוט הנע חייב להיקרא ממיקומי הקצוות בזמן מעבדה זהה (Δt=0). אזי Δx′=γΔx נותן L=L0/γ כאשר L0 הוא האורך הנכון (במסגרת השקט). קריאת הקצוות בתואמות-זמן במסגרת המוט עצמו אינה מניבה את אורך המעבדה; שתי תנאי הקריאה עונים על שאלות שונות. ציין את המסגרת ותנאי הקריאה לפני הצטטות כלשהו על אורך.

הפסקה s²=c²Δt²−Δx² (סימן מינוס-רוב, מוגדר פעם אחת) היא אינווריאנטית. s²>0 היא זמן-דומיננטית: קיימת מסגרת בה האירועים מתרחשים באותו מקום, ו-Δτ=s/c הוא הזמן הנכון ביניהם. s²<0 is spacelike: a frame exists with the events simultaneous, and sqrt(−s²) is the proper distance. s²=0 is lightlike. Timelike order is the same in every frame; spacelike order can swap, and no signal can join the events because |Δx/Δt|>c.

מהירויות קוליניאריות מתחברות כ-u=(u′+v)/(1+u′v/c²); המכנה שומר על u<c לכל u′,v<c, וה-u′=c נותן בדיוק u=c. אנרגיה ותנע יוצרים וקטור ארבעי עם אינווריאנט E²−p²c²=m²c⁴: חשב אותו בכל מסגרת נוחה. בדוק כל תוצאה בגבול הלא-יחסי, שבו כלל החיבור מצטמצם ל-u=u′+v והאינווריאנט מצטמצם לאנרגיית השקט.

שני אירועי מעבדה יש להם Delta x = 900 m ו-Delta t = 2 מיקרושניות. הפסקת המרחב-זמן שלהם היא מרחק-דומיננטית כי c Delta t = 600 m קטן מ-Delta x. מסגרת הופכת אותם לתואמי-זמן מקיימת

הפרשם במסגרת זו הוא $\sqrt{\Delta x^2-c^2\Delta t^2}=670.8$ m. אין מסגרת שיכולה למקם אירועים אלו במרחב-זמן באותו מיקום.

ציטוט L=L0/γ ללא תנאי הקצה הסימולטני, או הוספת מהירויות לפי u=u′+v במהירויות יחסותיות. הפרש סימולטניות הוא פיזיקלי, ולא טעות.

פסקת מרחב-זמן: השילוב האינווריאנטי c²Δt²−Δx² תחת סמני המינוס המוגדרים, שסימנו מסווג הפרש אירועים.

אורך נכון: הפרש הקצוות שנמדד במסגרת השקט של הגוף; בכל מסגרת אחרת יש לקרוא את שני הקצוות בו-זמנית לפי הזמן שלה.