QM.4 · Finite-well bound states and hydrogenic quantum numbers

פונקציית גל קשורה יכולה להשתרע מחוץ לבאר סופית גם אם אנרגיית החלקיק נמוכה מפוטנציאל החוץ.

דרישות מוקדמות: 5, 24, 37.

• התאם מצבי באר סופית דועכות וגזור תנאי כמותי תלויי פרטיטה
• פרש שורשים ממדי-בלתי-תלויים של מצבי קשירה והבחן בין הכלאה לפיזור
• השתמש במספרי הקוונטיים ההידרוגניים, בתנע זוויתי ובמידות הסתברות רדיואליות

הגדירו חור סימטרי V=−V₀ עבור |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 ואותה מסה בכל מקום. אנרגיה קשורה נמצאת בין −V₀ לבין אפס. בתוך החור, k=√[2m(E+V₀)]/$\hbar$ נותן פתרונות תנודתיים; מחוץ לחור, κ=√(−2mE)/$\hbar$ נותן זנבות מדעכים. דחו אקספוננטים גדלים כדי לקבל מצב נורמליזביל. סימטריית השקפה מאפשרת מצבים קוס(') סימטריים בפנים או סי(') אנטי-סימטריים. בגבולות סופיים ללא אינטראקציות דלטה, גם ψ וגם ψ′ רציפים. התאמה סימטרית נותנת k tan(ka)=κ; התאמה אנטי-סימטרית נותנת −k cot(ka)=κ. חור סופי אינו דורש שהψ יתאפס בקצוותיו כמו שקיר אינסופי עושה.

Introduce z=ka and ρ=a√(2mV₀)/$\hbar$. Then κa=√(ρ²−z²) and 0<z<ρ. Solve z tan z=√(ρ²−z²) for an even state, or −z cot z=√(ρ²−z²) for an odd one, on intervals with the appropriate sign and away from tangent poles. Energy follows as E/V₀=z²/ρ²−1. For ρ=1, the ground root lies in 0<z<1 and the even equation is equivalent there to z=cos z. Bisection or a converged root finder gives z≈0.739085 and E/V₀≈−0.453753. Since ρ<π/2, no odd bound-state branch fits. In one dimension an attractive square well has an even bound ground state however shallow it is; an E=0 threshold tail is not square integrable.

עבור מצב קשור זוגי כתוב ψ=A cos(kx) בפנים ו-ψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] בחוץ. רציפות קובעת את המשרעת היחסית של הזנב; אינטגרל את |ψ|² על כל הפנים ועל הזנבות כדי לקבוע את A. הסתברות מחוץ לבאר היא אי-אפס ותלויה בעומקה, רוחבה ובמצב שנבחר. מצבים קשורים הם בעלי אנרגיות דיסקרטיות ואסימפטות דעכות המניירמות. מצב פיזור עם E>0 הוא בעל גלים חיצוניים פרופגטיים ומניירם או מפורש לפי מוסכמת הרצף/רצף. זנב דועך אינו הוכחה שהמצב מפר את שימור האנרגיה, ומשרעת זנב גסה אינה ההסתברות מחוץ לבאר עד שתבוצע לה אינטגרציה ונירמול.

עבור יון קולון חדש-אלקטרוני עם מטען גרעיני Ze, השתמשו במודל הפוטנציאל המרכזי הלא-יחסותי ובקירוב גרעין כבד אלא אם כן מסת מופחתת נקבעה. E_n≈−13.6 Z²/n² eV; מספרי האורביטל האפשריים הם n≥1, l=0,…,n−1 ו-m_l=−l,…,l. L² יש ערך עצמי l(l+1)$\hbar$² ו-L_z=m_l$\hbar$; האורביטל היסודי 1s הוא ל-l=0, למרות כלל מסלול עגול בוהר ההיסטורי. עיוות מרחבי ברמה קבועה n הוא Σ_l(2l+1)=n² לפני תיקוני ספין ומבנה עדין. אם ψ=R_nl(r)Y_lm עם חלק זוויתי נורמליזציה, ההסתברות הרדיאלית ב-dr היא r²|R|²dr, לא רק |R|²dr. עבור מימן 1s, הצפיפות הרדיאלית היא 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³: היא מגיעה לשיא ב-r=a₀ ולממוצע 3a₀/2, בעוד שהצפיפות הנקודתית התלת-ממדית הגדולה ביותר היא בראשית. מבדילו בין מידות אלו לפני מיקום רדיוס הסביר ביותר.

באר סופית יש V = -V0 עבור $|x|<a$ ואפס בחוץ. אנרגיה קשורה נמצאת בקפידה בין -V0 לאפס. הגדר

זוגיות זוגית נותנת קוסינוס בפנים וזנבות דועכים. התאמת ערך ונגזרת ב-a נותנת זוגיות אי-זוגית נותנת במקום זאת $-k\cot(ka)=\kappa$. פתור רק בתוך קטרי זוגיות תקפים; שורש בקוטב טנגנס אינו מצב קשור.

השתמשו באפס הפוטנציאל המוגדר, התאמו גם את ψ′ וגם את ψ, והכלילו את ממדד המעטפת הרדיאלית. זנב קשור ומסלול נסע ברצף הם במגדולי אנרגיה שונים.

מצב קשור: מצב עמיד מניירם עם הסתברות מוגבלת ואנרגיה דיסקרטית בדגם המצויין.

צפיפות ההסתברות הרדיאלית: הסתברות לכל מרחק רדיאלי, כולל מדד הכדור השקוף לאחר אינטגרציה זוויתית.