GRE Subject Test · GRE Physics · נושא 38
שני אלקטרונים יכולים לשתף אורביטל מרחבי אחד אם המצב המרחבי-ספין המלא שלהם הוא נגד-סימטרי במידה הנדרשת.
דרישות קדם: 5, 36.
| English | עברית |
|---|---|
| spin singlet/spɪn ˈsɪŋɡlɪt/ | סינגלט ספין |
| Slater determinant/ˈsleɪtə dɪˈtɜːmɪnənt/ | קובעת סלייטר |
| antisymmetric/ˌæntɪsɪˈmetrɪk/ | אנטי-סימטרי |
עבור חלקיקים זהים, החלפת כל קואורדינטה וסימן ספין משנה פונקציית גל כוללת פרמיונית בסימן מינוס ומשאירה בוזונית ללא שינוי. חריגי מתמטיים 1 ו-2 מסמנים ארגומנטים, לא חלקיקים המבדילים באופן קבוע. עבור שני אורביטלים אורתוגונליים שונים a ו-b, השילובים המרחביים הם Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2. אורתוגונליות גורמת לשילובים אלו להיות מונורמלים ומעניקה ערכי איגזן לחלופין ±1. אם שני האורביטלים זהים, השילוב הנגד-סימטרי הוא אפס זהה והנוסחה הסימטרית המוצגת אינה מונורמלת נכון; מצב התפיסה הכפולה המרחבי הוא פשוט a(1)a(2). בדוק מנורמליזציה בכל פעם שהאורביטלים או ההשתקפויות שלהם משתנים.
שני חלקיקים בעלי ספין-1/2 ישנם ספטט יחיד (↑↓−↓↑)/√2 עם ספין כולל S=0; הוא נגד-סימטרי תחת חלופין. שלושת הטריפלט ↑↑, (↑↓+↓↑)/√2 ו-↓↓ הם S=1 וסימטריים. אלקטרונים דורשים מצב כולל נגד-סימטרי, ולכן מצב מרחבי סימטרי משווה לספטט, בעוד שמצב מרחבי נגד-סימטרי משווה לטריפלט. שני אלקטרונים באותו אורביטל מרחבי יכולים ליצור ספטט, אך לא יכולים ליצור טריפלט שם במצב שני האלקטרונים הפשוט הזה. איסור פאולי מונע תפיסה של אותו מצב חד-חלקיקי מלא, כולל ספין. אלקטרונים עם ספין הפוך באורביטל אחד הם שני מצבים מלאים שונים; תיאור האיסור כאלקטרון אחד לכל אורביטל מבטל הבחנה זו.
עבור שני אורביטלים מרחביים a,b ושני מצבי ספין לכל אחד, ישנם ארבעה מצבים חד-חלקיקיים מלאים. שני אלקטרונים זהים ישנם choose(4,2)=6 דפוסי תפיסה: שני ספטטים בתפיסה כפולה, ספטט אחד באורביטלים שונים, ושלושה טריפלט באורביטלים שונים. עבור שלושה אורביטלים מרחביים, ישנם שישה מצבים מלאים וchoose(6,2)=15 דפוסים. ספירת הקצאות מסודרות מעלה את הספירה לחלקיקים זהים. בוזונים ללא ספין בשני אורביטלים ישנם במקום זאת שלושה תפוסות: שניהם ב-a, אחד בכל אחד, שניהם ב-b. ספירות אלו מניחות אין מגבלת אנרגיה נוספת והמצבים החד-חלקיקיים הנגישים המצוינים; הגבלת אנרגיה כוללת או projecting ספין משנה את התת-קבוצה המותרת.
מצב מרחבי אנטי-סימטרי מקיים Ψ_−(x,x)=0, ולכן הצפיפות המשותפת במיקום מתאפסת על קו ההתאחדות. מצב מרחבי סימטרי אינו חייב להתאפס שם. ההבדל נובע מהתערבות בין משרעתים המוחלפים, גם עבור חלקיקים שאינם מופעלים; הוא אינו כוח דחייה קלאסי המטופל בנפרד. עבור חור באורך L, בחרו a(x)=√(2/L)sin(πx/L), b(x)=√(2/L)sin(2πx/L). ב-x₁=L/4 וב-x₂=3L/4, המשרעת המרחבי האנטי-סימטרי היא −2/L והצפיפות שלה היא 4/L²; המשרעת הסימטרית היא אפס. אלו צפיפויות הסתברות משותפות ליחידת אורך כפולה, ולא הסתברות למיקום בדיוק. התאמה פיזיקלית של ספין עדיין קובעת איזה מצב אלקטרוני כולל משתמש בכל שילוב מרחבי.
עבור אורביטליים שונים ואורתוגונליים a ו-b, המצבים המרחביים הסימטריים והאנטי-סימטריים הם
החלף את כל הטרמינים המרחביים והסpin. אל תבלבל בין מרחב אנטי-סימטרי למצב כולל אנטי-סימטרי, או השתמש בגורם √2 עבור אורביטלים שונים לשני אורביטלים זהים.
סינגלט ספין: מצב דו-ספין-1/2 אנטי-סימטרי עם ספין כולל S=0.
גורם סלייטר: בנייה אנטי-סימטרית פרמיונית ממצבי חד-חלקיקים שלמים; מצבים כפולים גורמים לה להתאפס.
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.
טוען נושאים…