GRE · GRE Subject Test · GRE Physics · נושא 37
שינוי אנרגיה מהסדר הראשון אפס יכול להתקיים במקביל למצב משתנה ושינוי מהסדר הגבוה יותר שאינו אפס.
דרישות מקדימות: 5, 24.
| English | עברית |
|---|---|
| first-order energy shift/fɜːst ˈɔːdə ˈenədʒi ʃɪft/ | שינוי אנרגיה מסדר ראשון |
| degenerate perturbation theory/dɪˈdʒenəreɪt pətəˈbeɪʃn ˈθɪəri/ | תיאוריית הפרעות דה-גנרייטיבית |
| degenerate subspace | תת-מרחב דגנרטיבי |
תנו H=H₀+λW, כאשר λ הוא פרמטר ממדי קטן והמצבים העצמיים של H₀ ידועים ומנורמלים. עבור רמה לא-מדורגת n, התיקון האנרגטי מהסדר הראשון הוא λ⟨n|W|n⟩. במרחב המיקום זהו λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx עבור פוטנציאל מכפילי, עם אינטגרציה על התחום המותר. ערך פוטנציאל בנקודה אחת אינו ערך ציפייה; צפיפות probability של המצב משקלת את כל התחום. עבור באר אינסופית ⟨0<x<L, ψ_n=√(2/L)sin(nπx/L). סימטריה ביחס למרכז גורמת לכך ש-⟨x⟩=L/2, ולכן פוטנציאל תוספת חלש γx גורם לשינוי γL/2 לכל רמת באר לא-מדורגת מהסדר הראשון. ל-γ יש יחידות של אנרגיה ליחידת אורך.
עבור פערטורבציה אי-זוגית ביחס למרכז, כמו γ(x−L/2), צפיפות ה-probability של מצב עצמי של באר לא-מודעה היא זוגית, ולכן ערכה הצלועי מתאפס. פערטורבציה ריבועית ממוקדת η(x−L/2)² מעניקה במקום זאת שינוי ηL²[1/12−1/(2π²n²)], שהוא חיובי עבור η>0 ותלוי ב-n. הפריות גורמת לאינטגרל מהסדר הראשון להתאפס רק עבור המצב והסימטריה של האופרטור הספציפיים. אלמנטים של מטריצה לא-צלועיים עדיין יכולים לשנות את פונקציית הגל. אל תמירו ביטול סימטריה בטענה שכל תיקון אנרגטי מתאפס או שהמצ המקורי נשאר מדויק.
עבור מצב לא-מדורג, ההתמזגות הדומיננטית של מצב לא-מודעה אחר m פרופורציונלית ל-λW_mn/(E_n⁰−E_m⁰). לכן תנאי הקטנות המשמעותי משווה אלמנטים של מטריצת הזיום עם הפרשי הרמות הרלוונטיים, ולא רק עם אפס אנרגיה מוחלט ארביטרי. מהסדר השני, התיקון האנרגטי מכיל Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰−E_m⁰). עבור המצב הלא-מדורג הנמוך ביותר, כל המכנים שלפני הם שליליים, ולכן התיקון מהסדר השני הוא לא-חיובי בדגם זה. סמוך לדירוג, מכנה קטן מבטל את פיתוח הלא-מדורג; השתמשו בתת-חלל מצומד במקום לחלק באפס.
אם רמה של H₀ מדורגת בדיוק, בחרו בסיס אורתוגונלי מנורמל בתוך תת-החלל הזה ויצרו את המטריצה ההרמיטית של הפערטורבציה שם. הערכים העצמיים שלה הם שינויי האנרגיה מהסדר הראשון, והווקטורים העצמיים שלה מגדירים את השילובים שמדיאגונליזרים את הפיצול המוביל. עבור תת-חלל דו-מצבי עם פערטורבציה ε[[2,1],[1,2]], השילובים הסימטריים והאנטי-סימטריים המנורמלים יש שינויים 3ε ו-ε. קריאה רק בשני האיברים הדיאגונליים תגרום לחזות שגויה של שני שינויים בגודל 2ε. מכפלה סקלרית שגויה של המזהה מזיזה את שני המצבים באותו שיעור ואינה מפיכה את הדירוג שלהם; זיומים מחוץ לתת-החלל יכולים להיות רלוונטיים מהסדר הגבוה יותר.
תת-חלל מדורג דורש דיאגונליזציה של מטריצה לפני חישוב שינויי האנרגיה מהסדר הראשון. הנח כי ההפרעה המוגבלת לשני מצבים היא $\epsilon\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$.
השתמשו במשקלי מצבים מנורמלים, שמרו על יחידות ההפרעה, ודיאגנליזציינו בלוק דגנרטי. ביטול מסדר ראשון ואינвариנטיות מדויקת הן טענות שונות.
שינוי אנרגיה מסדר ראשון: תיקון מוביל בהפרעה חלשה הנתון על ידי ערך הצפוי של המצב ללא הפרעה.
תיאוריית ההפרעה הדאגנרטית: שיטה שמדיagonalize (מאלכסנית) תחילה את ההפרעה בתוך תת-חלל דאגנרטי ללא הפרעה.
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.
טוען נושאים…