TS.5 · Quantum occupations and limits of equipartition

רמת אנרגיה פרמיונית יכולה להכיל מספר חלקיקים כאשר יש בה מספר מצבים נפרדים; חוק הריחוק חל על כל מצב שלם בנפרד.

תנאי קדם: 20, 35, 38.

• לחשב את התפוסה הממוצעת לכל מצב קוונטי שלם עבור פרמיונים ובזונים
• לספור את התפוסות האפשריות לחלקיקים זהים ולזהות את הגבול הקלאסי הדליל
• להשוות בין קיבול החום של מצב ריבועי קלאסי לתגובה של אוסילטור קוונטי

עבור חלקיקים לא-מתאימים במאוזן תרמי והחלפת חלקיקים, משתמשים בפוטנציאל הכימי μ וב-x=(ε−μ)/(kBT). התפוסה הממוצעת של מצב שלם אחת היא n_F=1/(e^x+1) עבור פרמיונים ו-n_B=1/(e^x−1) עבור בזונים. התפוסה הפרמיונית של המצב היא אפס או אחד, והממוצע שלה נע בין שניהם. התפוסה הבזונית יכולה לעלות על אחד. רמה עם דגנרציה g כוללת בסך הכל mמוצע של g כפול התפוסה של מצב יחיד כאשר המצבים שלה מחולקים אותה אנרגיה. ספינה נחשבת כחלק ממצב שלם. המכנה הבזוני דורש ε>μ כדי לקבל ביטוי סופי רגיל, כאשר גבול המצב היסודי מטופל בנפרד. עבור פוטונים במאזן, μ=0 מכיוון שמספר הפוטונים אינו שימורי; אין להגדיר μ=0 עבור כל גז חלקיקים חומריים.

ספורו דפוסי תפיסה במקום סימון חלקיקים זהים. לשני פרמיונים זהים המפוזרים בארבע מצבי שלמות נפרדים ישנם 4,2=6 דפוסי תפיסה אפשריים. לשני בוזונים זהים באותם מצבים ישנם 4+2−1,2=10 דפוסי תפיסה, משום שהשניים יכולים לשתף מצב אחד. לשני חלקיקים מסומנים וניתנים להבחנה היו 4²=16 השמות. אלו מודלי ספירה שונים, ולא שלושה מענה חלופיים לאותה מפרט. אם שאלה מספקת עיוות ספין, יש לקבוע תחילה האם המספר הנזכר סופר מצבי שלמות או רק רמות אורביטליות. איסור פאולי על שני מצבי שלמות זהים אינו אוסר פרמיונים בעלי ספין הפוך באותו אורביטל מרחבי.

כאשר x גדול וחובב, התפוסה קטנה ושני המכנים נשלטים על ידי e^x: n_F≈n_B≈e^(−x), שהוא גבול דליל מקסוול-בולצמן. ב-x=ln4 הממוצעים הם 1/5 עבור פרמיונים, 1/3 עבור בזונים ו1/4 בקירוב הקלאסי; ההבדל עדיין משמעותי. מספר חלקיקים כולל גדול לבדו אינו מצדיק סטטיסטיקה קלאסית: צפיפות, טמפרטורה ומצבים נגישים מבקרים את התפוסה. עבור פרמיונים בטמפרטורה נמוכה, מצבים מתחת ל-μ נמלאים כמעט לחלוטין ואילו אלו מעליו נרוקנים כמעט לחלוטין. ב-ε=μ למצב פרמיוני יש ממוצע של חצי; הצבת ערך זה בנוסחה הרגילה לבזונים תוביל במקום זאת למכנה הולך וגובר ודורש טיפול בגבול שונה.

חלוקה שווה קלאסית מייחסת kBT/2 של אנרגיה ממוצעת לכל איבר ריבועי עצמאי בהמילטוניאן מאוזן. גז אידיאלי חד-אטומי יש לו שלושה איברים תנועתיים, מה שנותן U=3NkBT/2 ו-C_V=3NkB/2. אוסילטור הרמוני קלאסי חד-ממדי אחד יש לו איברי תנועה ופוטנציאל, מה שנותן ממוצע של kBT ו-C=kB. עבור אוסילטור קוונטי עם מרווח קבוע ε=$\hbar$ω, האנרגיה התרמית מעל הנקודה האפסית התלויה בטמפרטורה היא ε/(e^x−1), כאשר כעת x=ε/(kBT), ו-C/kB=x²e^x/(e^x−1)². בטמפרטורות גבוהות הוא שואף לערך הקלאסי; בטמפרטורות נמוכות הגירוי קופא ו-C→0. אנרגיית נקודה אפסית של ε/2 מזיזה את U אך לא את C. תרומות סיבוביות/רטטיות מולקולריות גם כן צריכות לבדוק את קפיאות האנרגיה שלהן לפני שיחוס איברים ריבועיים קלאסיים.

מספר התפוסה מתייחס למצב חד-חלקיקי שלם אחד. עבור $x=(\epsilon-\mu)/(k_BT)=\ln4$,

הקירוב הדליל הקלאסי נותן $e^{-x}=1/4$; הוא אינו מדויק כאן. רמה עם דגנרציה g יש לה תפוסה כוללת ממוצעת של $g\bar n$, כך שרמת פרמיונים יכולה להכיל יותר מספר חלקיקים אחד

השלילו שני פרמיונים ממצב מלא אחד, ולא מרמת אנרגיה מדגרת כולה. ציינו איזה x משמש; תפוסות פוטנציאל כימי ותפוסות מתנד מוגדרות הן מודלים שונים.

התגלמות ממוצעת: ערך תופתי (אנסמבל) של מספר החלקיקים במצב קוונטי מלא או בקבוצת מצבים מצוינת.

שוויון באנרגיה: כלל איזון קלאסי המקצה kBT/2 לכל איבר הימילטוני ריבועי עצמאי.