EM.5 · RC and RL transients, impedance and resonance

מתח על קבל וזרם על סלע לא יכולים להשתנות מיידית תחת דרישות מעגל רגילות סופיות, אך התנהגות המצב היציבה שלהם שונה.

דרישות מקדימות: 14.

• לפתור טעינה ופריקה של RC עם תנאי התחלה נאמרים
• לפתור תגובת זרם RL ולחשבון אנרגיה מאוגרת
• השתמש באימפדנס מורכבת, פאזה ותהודה במעגלי סינוסואידליים

לנגר R בסדרה עם קבל C ומקור מתח DC V_s, חוק המתח של קירכוף הוא R dq/dt+q/C=V_s. הגדר V_C=q/C ו-τ=RC. לאחר מעבר למקור קבוע, V_C(t)=V_s+(V_C(0)−V_s)exp(−t/τ). לכן לקבל שטעון בהתחלה יש V_C=V_s(1−exp(−t/τ)) וזרם טעינה I=(V_s/R)exp(−t/τ). עם הסרת המקור חיבור הנגר אליו, V_C=V_C(0)exp(−t/τ). מתח הקבל רציף על גבי המפסק אם אין זרם אימפולסי; זרם הנגר עשוי להשתנות מיד.

במעגל RL בסדרה, חוק קירכוף נותן L dI/dt+RI=V_s ו-τ=L/R. הזרם אחרי דחיפה קבועה הוא I(t)=V_s/R+(I(0)−V_s/R)exp(−t/τ). זרם השראה רציף למתח סופי; המתח שלו עשוי להשתנות בפתאומיות כאשר הפעלת מפסק משנה את dI/dt. בזמן מאוחר, שרדה אידיאלית במעגל DC פועלת כחיבור אפס-מתח, בעוד שקבל אידיאלי מייצג אפס-זרם DC. האנרגיות המאוגרות הן LI²/2 ו-CV_C²/2. במהלך דעיכה לנגר, האנרגיה המאוגרת בתחילה הופכת לחום בנגר ולא נעלמת כאשר המקור מנותק.

השתמש בקונבנציית הפזורים המוכרזת exp(iωt). לנגר יש אימפדנס R, לשרדה iωL ולקבל 1/(iωC)=−i/(ωC). מעגל RLC בסדרה לכן יש לו Z=R+iX כאשר X=ωL−1/(ωC). חלק את פזור המתח של המקור ב-Z כדי לקבל את הזרם. הגודל שלו הוא V_rms/sqrt(R²+X²) כאשר משתמשים בכמויות RMS. פאזת האימפדנס φ מקיימת tanφ=X/R; הזרם מאחור מהמתח עבור X>0 ומקדים אותו עבור X<0. חיבור הגדלים הסקלריים R, ωL ו-1/(ωC) מאבד את מידע הפאזה הווקטורי.

Series resonance occurs at ω₀=1/sqrt(LC) when X=0. Current is maximal for a fixed voltage in this ideal series model, and the voltage/current phase difference is zero. Mean real power is V_rms I_rms cosφ=I_rms²R; ideal L and C exchange energy but dissipate no average power. This differs from transient natural frequency: a damped series circuit can oscillate at sqrt(1/(LC)−(R/(2L))²) when underdamped. Large resistance removes such free oscillation but does not change the condition X=0 of the ideal driven series impedance. State whether a question asks for a step response, free decay or sinusoidal steady state.

מעגל RC עובר למתח מקור קבוע Vs. שימור מטען וחוק קירכוף נותנים

עבור R = 2 קילו-אוהם, C = 1 מילי-פארד, Vs = 12 V ומתח התחלתי אפס, קבוע הזמן שולט בהפרש שנותר ממצב הסיום.

ל-R-C יש τ=RC, ול-R-L יש τ=L/R. אל תבלבל בין משרעת הזרם לבין זרם RMS, או בין תהודה של התנגדות מודרת לתדירות תנודות חופשיות מובדדת.

קבוע זמן: קנה מידה לתגובה אקספוננציאלית, RC למעגל RC ו-L/R למעגל RL.

אימפדנס: היחס הפזורי המורכב בין מתח לזרם במצב יציב סינוסואידלי.