CM.4 · Constraints, variational equations and cyclic coordinates

GRE · GRE Subject Test · GRE Physics · נושא 26

26.1

מגבלות, משוואות וריציונליות וקואורדינטות מחזוריות

מתח טוח במדולה משתנה לאורך כל התנודה, אך ניתן להסיק את המשוואה הזוויתית שלו מבלי לפתור עבור המתח.

תנאי קבלה: 1, 47.

להסיק את תנועת אוילר-לאגראנג' לאחר imposed holonomic constraint
להשתמש בקואורדינטה מחזורית כדי לזהות תנע קנוני שמור
לליניארז איזון יציב ולבדוק את התדר resulting

מילון מונחים אימון

English	עברית
holonomic constraint/ˌhɒləˈnɒmɪk kənˈstreɪnt/	הגבלה הולונומית
cyclic coordinate/ˈsaɪklɪk kəʊˈɔːdɪnət/	קואורדינטה מעגלית
Euler-Lagrange equation	משוואת אוילר-לגרנג'

26.2

בחר קואורדינטות עצמאיות

מגבלה מסירה קואורדינטה עצמאית לפני שיוצרים את האנרגיה הקינטית. למדולה בעלת אורך קבוע בחר את θ מהאנך היורד: x=l sinθ ו-y=−l cosθ. גזירת שתי הקואורדינטות נותנת v²=l²θdot², ולא l² sin²θ θdot². מכאן T=ml²θdot²/2 ו-V=mgl(1−cosθ), עם פוטנציאל אפס בתחתית. האורך הקבוע הוא מגבלה holonomic: זוהי יחס בין קואורדינטות ואולי זמן. מגבלת מהירות גלילה דורשת ניתוח משלה; אל תטפל אוטומטית בכל מגבלה כהצבת קואורדינטות.

26.3

הסק את המשוואה

עבור מגבלות אידיאליות ומערכת שמרנית רגילה, משוואת הפעולה הרציפה היא d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0 עם L=T−V. השונות נעלמות בשתי קצוות הזמן. מדולה נותנת ∂L/∂θdot=ml²θdot ו-∂L/∂θ=−mgl sinθ, כך ml²θddot+mgl sinθ=0. הגזירה של התנע פועלת על כל גורם תלוי בזמן: עבור רדיוס משתנה, d(mr²θdot)/dt מכיל 2mr rdot θdot. השיטה הוירציונלית אינה אומרת שאנרגיה מכנית שמורה במערכת תלויה בזמן.

26.4

מצא תנע מחזורי

בתנועה מרכזית מישורית, L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). הזווית θ היא מחזורית כי L אינה תלויה במפורש ב-θ, גם אם L תלויה ב-θdot. התנע הקנוני pθ=mr²θdot הוא קבוע. המשוואה הרדיאלית היא m rddot=mrθdot²−dV/dr. האיבר הראשון הוא חלק מתאוצר הקואורדינטי, ולא כוח אמיתי חדש החוצה במסגרת אינרציונית. שימור pθ גורם לתדר הזוויתי לעלות כאשר r קטן; תדר זוויתי קבוע הוא מצב שונה, מוביל בחוץ.

26.5

ליניאריזציה עם תנאים

קרוב לאיזון יציב q0, פתח את V בסדרה עד סדר שני והשתמש במסה מקומית קבועה M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2. מכאן התדירות של תנועות זעירות היא sqrt(V″/M). לממחוק sinθ≈θ ברדיאנים, ולכן ω=sqrt(g/l); הקירוב דורש רוחב זעיר. V″ שלילי מעיד על אי-יציבות, ולא על תנודה בתדירות מדודת מוסיין. בדק תחילה את המשוואה הלא-ליניארית המלאה, ואז הצג את הקירוב והשווה יחידות: V″/M חייב להיות בעל יחידות של הפוך לזמן בריבוע.

26.6

שיטה מפורטת

לממחוק באורך קבוע l, השתמש בזווית theta מהאנך כלפי מטה: x = l sin theta, y = -l cos theta. שני מהירויות הקרטזיות נותנות $T=ml^2\dot\theta^2/2$ ו$V=mgl(1-\cos\theta)$. משוואת אוילר-לאגראנג'— היא

$$\frac d{dt}(ml^2\dot\theta)+mgl\sin\theta=0.$$

חלק ב-$ml^2$ לפני הליניאריזציה:

$$\ddot\theta+(g/l)\sin\theta=0,\qquad\omega=\sqrt{g/l}\quad(|\theta|\ll1).$$

הקירוב משתמש ברדיאנים. שינויים בקצוות מתאפסים בהסקת פעולה עומדת (stationary-action).