QM.1 · Scattering, degeneracy and Pauli operators

GRE Subject Test · GRE Physics · נושא 24

24.1

פיזור, דגנרציה ותפעולי פאולי

גל קוונטי יכול להשתקף מכיסוי פוטנציאל יורד גם אם חלקיק קלאסי אין לו נקודת הפניה שם.

תנאי קדם: 5.

התאמת גלים נעים וזרמים עבור שינוי פוטנציאל סופי
ספירת מצבי תנודת איז infinitesimale isotropic-oscillator
חישוב מכפלות פאולי והבחנה בין אנטי-חילוף לשוויון

מילון מונחים אימון

English	עברית
reflection coefficient/rɪˈflekʃn ˌkəʊɪˈfɪʃənt/	מקדם החזרה
degeneracy/dɪˈdʒenərəsi/	התדרגות
Transmission probability/trænˈsmɪʃn ˌprɒbəˈbɪlɪti/	הסתברות מעבר

24.2

בחר את המערכת ואת הדגם

עבור פוטנציאל קבוע V ואנרגיה E>V, הפתרונות המקומיים הם גורמי תנועה exp(±ikx), עם k=sqrt[2m(E−V)]/$\hbar$. במדרגות סופיות עם אותו מסת חלקיק, הפונקציה הגלית והנגזרת הראשונה שלה רציפות. בבעיית פיזור עם פגיעה משמאל וללא קרן פוגעת מימין, הפתרון הרחוק ביותר מימין מכיל רק את גורם התנועה הימינה Ae^(ikx). אם באר פוטנציאל סופית חוזרת לפוטנציאל החיצוני המקורי, מספר הגל החיצוני המעבר שווה למספר הגל הפוגע, גם אם מספר הגל הפנימי שונה. פתרונות המדעכים אקספוננציאלית מתארים אזורים E<V, ולא כל באר פוטנציאל.

24.3

השתמש בקשר השולט

עבור מדרגה מ-V1 ל-V2 עם שני האזורים מותרים קלאסית, כתוב את המשרעת הפוגעת-המוחזרת באזור 1 ואת המשרעת המעבר באזור 2. רציפות נותנת r=(k1−k2)/(k1+k2) ו-t=2k1/(k1+k2). סיכון ההחזרה הוא R=|r|²; העברת T=(k2/k1)|t|² כי זרם probability תלוי במספר הגל. כך R+T=1 עבור מדרגה ללא אובדן. אל תוסיף את המשרעת המעבר המרובעת הגסה ל-R ללא גורם הזרם שלה. עם k2=3k1, R=1/4 ו-T=3/4 למרות מדרגה יורדת.

24.4

יישם את התנאים

מתנד איזוטרופי תלת-ממדי מתפרק למצבי x,y,z עם שלמים לא שליליים n_x,n_y,n_z. האנרגיה שלו היא (N+3/2)$\hbar$ω, כאשר N=n_x+n_y+n_z. עבור חלקיק יחיד נבדל עם ספין אפס, הדגנרציה המרחבית היא מספר הטריבות הללו: (N+1)(N+2)/2. זה סופר הצבות שונות, לא רק חלוקות לא-סדורות שונות. עבור N=2, ששת המצבים הם תמורות של (2,0,0) ו-(1,1,0). עבור N=3, הדגנרציה היא 10. מגבלות ספין נוספות או חלקיקים זהים ישנו את בעיית הספירה.

24.5

בדוק את המסקנה

מטריצות פאולי הן σ_x=[[0,1],[1,0]], σ_y=[[0,−i],[i,0]], σ_z=[[1,0],[0,−1]]. כל אחת מהן מריעה לעלות. כפל ישיר נותן σ_xσ_y=iσ_z ו-σ_yσ_x=−iσ_z, ולכן מטריצות פאולי שונות אנטי-קומוטות. מכפלות מחזוריות x→y→z נותנות i חיובי; הפיכת הסדר משנה את הסימן. הזהות הכללית היא σ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_k. סדר המטריצות חשוב: σ_xσ_z=−iσ_y, ולא iσ_y או פשוט σ_y. מטריצות מימדיות אלו הופכות לפועלי ספין S_i=$\hbar$σ_i/2, תוך הוספת יחידות פיזיקליות וגורמים.

24.6

שיטה מפורטת

במעבר פוטנציאל סופי, יש להתאים את פונקציית הגל והגזירה עבור אותה מסת חלקיק.

$$r=\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2},\qquad t=\frac{2k_1}{k_1+k_2}.$$

הסתברות העברה משתמשת בזרם, ולא רק במשרעת לבדה. עבור $k_2=3k_1$, $r=-1/2$, $t=1/2$.

$$R=|r|^2=1/4,\qquad T=(k_2/k_1)|t|^2=3/4,\qquad R+T=1.$$

החזרה מתרחשת גם עבור מעבר כלפי מטה. סימן הפזה נעלם כאשר לוקחים הסתברות.

שמאל: שברי החזרה והמעבר במדרגת פוטנציאל מול k₂/k₁. ימין: דגנרציות 1, 3, 6, 10, 15, 21 של אוסצילטור איזוטרופי 3D *R + T = 1, כאשר R = 0 כאשר k₂ = k₁; רמה N יש (N + 1)(N + 2)/2 מצבים

24.7