LM.1 · Counting statistics, uncertainty and dimensional models

גלאי עם יעילות של עשר אחוזים לא יזהה בדיוק עשר פוטונים מתוך כל מאה. המנייה משתנה גם כאשר היעילות נשארת קבועה.

תנאי קדם: 47.

• השתמש בממוצעים ובתנודות של מנייה לפי חלוקת בינומית ופואסון
• העבר אי-ודאויות קטנות תחת הנחות הקורלציה הנתונות
• פתור מגבלות מעריכי ממדים ובדוק את היחידות של המודל

עבור N חלקיקים בלתי תלויים הפוגעים בכל, שכל אחד מהם מתגלה עם הסתברות p, המנייה X היא בינומית: ממוצע Np ושונות Np(1−p). סטיית התקן היא sqrt[Np(1−p)], ולא השונות עצמה. עבור N גדול ו-p קטן, קירוב פואסון הוא בעל ממוצע λ=Np ושונות λ, ולכן סטיית תקן sqrt(λ). עבור N=200 ו-p=0.05, הממוצע המדויק הוא 10 והסטייה sqrt(9.5)≈3.08, בעוד שקירוב פואסון נותן sqrt(10)≈3.16. אף אחד מהמודלים מבטיח מנייה קבועה. גילויים מקורבלים או זמן מת יכול לבטל את ההנחה על בלתי תלות.

עבור פונקציה נמדדת חלקה y(x1,…), ליניאריזציה של שינויים באמצעות הנגזרות החלקיות שלה. אי-ודאויות סטנדרטיות קטנות בלתי תלויות משולבות בשורש סכום הריבועים: σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i². קלט מקורבל דורש איברים צולבים בקוברייאנס. עבור y=x^a, האי-ודאות הסטנדרטית השבריתית היא בקירוב |a|σ_x/|x|. כך שאנרגיה קינטית K=½mv² עם אי-ודאות מסה זניחה, האי-ודאות השבריתית כפולה מזו של המהירות. עם אי-ודאות מסה בלתי תלויה, משלב (σ_m/m)²+(2σ_v/v)². קירובים אלו דורשים שגיאות קטנות ומודל ליניארי מקומי מתאים.

פיזור רנדומלי מדד לדיוק; סטיית כיול משותפת פוגעת בדיוק ואינה נעלמת באמצעות חזרה על מדידות. עבור קריאות חוזרות בלתי תלויות, האי-ודאות הסטנדרטית של הממוצע יורדת כ1/sqrt(n), אך טעות מערכתית משותפת אינה משתנה. האי-ודאות של פיזור פיזי והאי-ודאות של הממוצע המוערך שלו הם כמותות שונות. צין אם אחוז מצויין הוא אי-ודאות סטנדרטית, מרווח ביטחון או גבול גרוע. חיבור תרומות מוחלטות הוא גבול שמרני, ולא הכלל לשורש סכום הריבועים של טעויות סטנדרטיות בלתי תלויות.

ניתוח ממדים משווה מעריכים של מסה, אורך וזמן, ולא גדלים מספריים. עבור צורה של אורך פלאנק G^a $\hbar$^b c^d, הממדים הם [G]=L³/(MT²), [$\hbar$]=ML²/T ו-[c]=L/T. הדרישה לאורך נותנת −a+b=0, 3a+2b+d=1 ו−2a−b−d=0. מכאן a=b=1/2 ו-d=−3/2, ולכן האורך הוא sqrt(G$\hbar$/c³). ניתוח ממדים אינו יכול לקבוע מקדם ממדי חסר או להוכיח שהקבועים שנבחרו הם פיזיקלית מספיקים. דחה נוסחה עם יחידות שגויות לפני הצבת מספרים.

עבור אי-ודאויות סטנדרטיות קטנות בלתי תלויות ב$K=mv^2/2$, נגזור תחילה.

עם אי-ודאויות יחסיות 3% במסה ו2% במהירות, גבול גרוע would use a sum, not this quadrature. Correlations require covariance terms.

אל תבלבל בין ממוצע מונה למונה מובטח, בין שונות לסטיית תקן, או בין טעות סטנדרטית רנדומלית לסטיית כיול. עקביות ממדית היא נדרשת אך אינה מספקת.

אי-ודאות סטנדרטית: אי-ודאות המבוטאת כסטיית תקן תחת מודל מדידה מצוין.

קירוב פואסון: מודל מנייה של אירועים נדירים ובלתי תלויים שבו השונות שווה לממוצע.