TS.2 · Speed distributions and statistical ensembles

גז יכול להיות בעל מהירות ממוצעת אפס בעוד שחלקיקיו הם בעלי מהירות ממוצעת משמעותית. כיוונים מנוגדים מתאפסים בממוצע וקטורי; מהירות היא סקלרית ולכן אין לה סימן.

דרישות קדומות: 4, 35.

• נרמול צפיפויות מהירות רציפות והבנת היחידות שלהן
• ההבחנה בין ממוצעים וקטוריים, ממוצעי מהירות ומהירויות הסבירות ביותר
• שימוש במשקלים בולצמן עם דרגות פירוק ותפקוד חלוקה

עבור צפיפות הסתברות מהירות רציפה f(v), f(v)dv מקרבת הסתברות בטווח צר ו∫from 0to∞ f(v)dv=1. לצפיפות יש יחידות מהירות הפוכה ואינה מהוות הסתברות עצמה. אם P(v)dv סופר חלקיקים בטווח זה, השטח שלו הוא מספר החלקיקים N ו-f=P/N. טרפז העולה על רוחב v0, נשאר שטוח על רוחב 2v0, ואז יורד על רוחב v0 יש שטח 3av0 לגובה a. נרמלו לפי שטח לפני חישוב ממוצע או פרשנות גובה מצויר.

בגז איזטרופי בשיווי משקל ללא זרימה סולבית, כל חלוקת רכיבי המהירות היא סימטרית, ולכן ⟨v_vector⟩=0. המהירות v=|v_vector| היא אי-שלילית ויש לה ממוצע חיובי. עבור גז אידיאלי קלאסי, צפיפות המהירות של מקסוול פרופורציונלית ל-v²exp[−mv²/(2kBT)]. המוד (הערך התדיר ביותר) הוא sqrt(2kBT/m), הממוצע הוא sqrt(8kBT/(πm)) והמהירות המרובעת הממוצעת היא sqrt(3kBT/m). אלו שלוש כמויות שונות. גורם ה-v² גורם לכך שהצפיפות תהיה אפס ב-v=0, גם אם צפיפות הווקטור המהירות הגדולה ביותר בנקודה אפס.

עבור חלוקה רציפה, ההסתברות לקבל בדיוק מהירות מסוימת היא אפס; הסתברויות שאינן אפס מתייחסות לתחומים. הבעיה זו אינה מעידה שלא קיימים חלקיקים עם מהירויות קטנות ככל שנרצה, או שמכשיר מדידה ברזולוציה סופית לא יכול להקליט תא אפס. שינויי טמפרטורה משנים את הקנה מידה של חלוקת מקסוול: המהירויות האופייניות פרופורציונליות ל-sqrt(T/m). הכפלת הטמפרטורה אינה מכפילה את המהירות, וחלקיקים כבדים יותר הם איטיים יותר בממוצע באותה טמפרטורה.

באוסף קנוני בטמפרטורה T, למצב אנרגיה E_i יש משקל exp(−E_i/(kBT)). לחלקו בתפקוד החלוקה Z=Σexp(−E_i/(kBT)) כדי לקבל הסתברויות. אם רמת אנרגיה יש דרגת פירוק g_i, ההסתברות של הרמה היא g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. שוויון אנרגיה לכל מצב אינו מעיד על שוויון הסתברות לכל רמה כאשר דרגות הפירוק שונות. עבור רמה יסודית בדרגת פירוק 1 ורמה מעוררת בדרגת פירוק 2 בטמפרטורה Δ=kBT ln2, המשקל הכולל של הרמה המעוררת הוא 2e^(−ln2)=1: לשתי הרמות יש כל אחת הסתברות 1/2. הנחות מקסוול-בולצמן הקלאסיות שונות מאוכלוסיות בוז-אינשטיין ופרמי-דיראק הקוונטיות.

לאוסף קנוני יש דרגת פירוק יסודית 1 ודרגת פירוק מעוררת g בפער Delta.

עם g = 4 ו$\Delta=k_BT\ln2$, זו ההסתברות לכל הרמה המעוררת. לכל אחד מארבעת המצבים שלה יש הסתברות 1/6.

גובה הצפיפות אינו הסתברות. המהירות הממוצעת, המהירות הממוצעת (speed) והמוד (mode) שונים; יש להכליל דגרגרציה לפני הנרמלה של הסתברויות רמות.

צפיפות הסתברות: ההסתברות ליחידה של משתנה רציף, שאינטגרלה נותנת את ההסתברות בתחום.

פונקציית חלוקה: סכום המשקלים הסטטיסטיים הנדרשים לנרמול הסתברויות המצב האיזותרמי.