GRE Subject Test · GRE Physics · נושא 18
גל יכול להכיל הרמוניות רבות ללא כלל איברי סינוס. סימטריית השתקפות מדגישה אילו מקדמים מתאפסו לפני האינטגרציה.
תנאי הכרח: 3, 47.
| English | עברית |
|---|---|
| orthogonality/ˌɔːθəɡəˈnælɪti/ | אורתוגונליות |
| Fourier coefficient/ˈfɔːrɪə ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | מקדם פורייה |
| Even symmetry/ˈiːvən ˈsɪmətri/ | סימטריה זוגית |
עבור פונקציה ממוחשקת מספיק f(2) מחזורית עם מחזור π, כתבו f(x)=a0/2+Σ[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)]. המקדם a_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)cos(nx)dx והמקדם b_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)sin(nx)dx, כאשר a0 משתמש ב-n=0. קוסינוסים וסינוסים הם אורתוגונליים במחזור מלא. הממוצע הוא a0/2, ולא a0; שמרו את האיבר הקבוע גם כאשר כל המקדמים של תדרים אי-אפס ממשפחה אחת מתאפסים.
אם f היא זוגית ביחס לראשית הנבחרת, f(x)sin(nx) היא אי-זוגית ואינטגרלה הסימטרי הוא אפס, ולכן כל b_n מתאפסים. אם f היא אי-זוגית, הממוצע שלה וכל a_n מתאפסים. הסימטריה תלויה בראשית; הזזת אות פיזיקלי אותו עשויה לערבב מקדמי סינוס וקוסינוס תוך שמירה על תדריה ההרמוניים ללא שינוי. גל משולש אי-שלילי הסימטרי לגבי x=0 יכול להכיל הרמוניות קוסינוס וממוצע לא-אפס ללא כלל הרמוניות סינוס.
עבור הרחבת ה-2π-מחזורית של f(x)=|x| על [−π,π], הממוצע הוא π/2. אינטגרציה בחלקים של x cos(nx) על [0,π] נותנת a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²), כך שמקדמי הקוסינוס ל-n זוגי הם אפס ומקדמי ה-n אי-זוגיים הם −4/(πn²). כל מקדמי הסינוס הם אפס. הדעיכה ∝1/n² משקפת פונקציה רציפה עם אי-רציפות בנטייה. קפיצה בערך הפונקציה נוטה לתת דעיכה איטית יותר במקדמים ולגלישה (overshoot) בסכומים חלקיים; אל תניחו התנהגות כיבוש זהה עבור כל צורת גל.
סכום פורייה מוסיף משרעתים עם הפאזים שלהם. עבור משרעות מונוכרומטיות שווות A הנפגשות עם הפרש פאזים φ, המשרעת המורכבת בריבוע היא 2A²(1+cosφ), ולכן העוצמה היא 2I0(1+cosφ). היא שווה ל4I0 בפאז אחד ואפס ב-φ=π. סכום אינו-קולרנטי מבטל את האיבר המוצלב, ונותן 2I0. הרמוניות בתדרים שונים יכולות לבנות צורת גל לאורך הזמן; הסכום הרגעי שלהן אינו סכום העוצמות האינדיוידואליות שלהן. זהו אם השאלה עוסקת בצורת גל, הספק ממוצע בזמן או בהתאכבות קולרנטית.
עבור פונקציה מעוגלת אמיתית, השתמש ב-$f=a_0/2+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$. סימטריה זוגית גורמת לכל מקדמי הסינוס להיות אפס, מכיוון שהאינטגרנדה היא פונקציה אי-זוגית. עבור $f(x)=|x|$ על $[-\pi,\pi]$,
סימטריה זוגית מסירה את מקדמי הסינוס, אך לא את האיבר הקבוע או כל הלרמונית קוסין. יש לבדוק את נקודת המקור של הסימטריה והאם השדות הם קoherente לפני הוספת עוצמות.
אורתוגונליות: אינטגרל של המכפלה בין פונקציות בסיס שונות לאורך התחום הנקוב, המקיים שווה לאפס.
מקדם פורייה: משקל של רכיב בסיס סינוס, קוסינוס או קבוע בהרחבה תקופתית.
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.
טוען נושאים…