GRE · GRE Subject Test · GRE Physics

כוכב לכת מאיץ גם כאשר מהירותו קבועה: המהירות כוללת כיוון.

תנאי קדם: 47.

• יישום תיאורים ניוטוניים, לאגראנז'יים והמילטוניים
• ניתוח סיבוב, כוחות מרכזיים ותנודות
• שימוש בחוקי השימור עם התנאים שלהם

חוק השני של ניוטון הוא הצהרה וקטורית. בחר מערכת צירים ומזהה מגבלות לפני פירוק למרכיבים.

שימור אנרגיה חל כאשר עבודה מכוחים לא-שימוריים ממונת; שימור תנע דורש איפוס ריבוי חיצוני נטו.

לתנודות קטנות, ליניארי סביב נקודת איזון יציבה. איבר שיקום פרופורציונלי להזחה נותן תנועה הרמונית.

משוואות לאגראנז' משתמשות ב-L=T−V ובקואורדינטות כלליות. פורמליזם זה לתואר ראשון שונה מהחלפת כוחות ברמת התיכון.

בחר מסגרת אינרציאלית וקואורדינטת x הנמדדת מאיזון הקפיץ. לקפיץ שימורי, הלגראנז'יאה נמנעת מפתרון כוחות המגבלה.

עבור m = 2.0 ק"ג ו-k = 18 N/m, קשיחות חיובית נותנת תנועה יציבה. היחידות של k/m הן שניות הפוכות בריבוע.

שימור אנרגיה קינטית אינו מתקיים בכל התנגשות, גם כאשר תנע שמר.

לגראנז'יאה: אנרגיה קינטית מינוס אנרגיה פוטנציאלית למערכת מכנית סטנדרטית.

תנע זוויתי: הרגמנט של תנע ליניארי ביחס לנקודת ייחוס.

פוטנציאל חשמלי אפס בנקודה אינו מעיד על שדה חשמלי אפס במקום זה.

דרישות מקדימות: 13, 14, 15, 29, 30.

• שימוש בפוטנציאלים אלקטרוסטטיים, שדות וחוק גווס
• ניתוח מעגלים, מגנטיות והשראה
• יישום משוואות מקסוול וקשרים של גלי אלקטרומגנטיים

שדה חשמלי הוא הגרדיאנט השלילי של הפוטנציאל. ערך מספרי ושינוי מרחבי הם כמויות נפרדות.

השתמש בחוק גווס עם סימטריה. פלאקס כולל ידוע לבדו אינו נותן את השדה בכל נקודה במשטח.

חוקי קירכוף עוקבים אחרי מטען ואנרגיה במעגלים. EMF מושרה עוקבת אחרי זרימת מגנטית משתנה עם סימן חוק לנץ.

משוואות מקסוול מקשרות בין שדות חשמלי ומגנטיים. בוואקום לגל יש E/B=c ומוביל אנרגיה.

מעטפת כדורית יש לה רדיוס R ומטען אחיד Q. בחר אפס לפוטנציאל באינסוף. סימטריה כדורית מאפשרת לחוק גווס לקבוע את השדה מחוץ למעטפת.

בתוך המעטפת, המטען הכלוא הוא אפס והסימטריה נותנת E = 0. רצף נותן שהפוטנציאל אינו אפס וקבוע בתוך המעטפת. גרדיאנט אפס, ולא ערך אפס, נותן שדה אפס. השדה הרדיאלי זז בפיזור במשטח המטעון.

אל תשתמש בחוק גאוס כדי לטעון שיש שדה אחיד על פני שטח לא סימטריים כלשהו.

פלאקס: האינטגרל המשטחי של רכיב הנורמלי של השדה.

פוטנציאל: אנרגיה פוטנציאלית ליחידת מטען.

Two individually bright waves can cancel at a point if their phases oppose.

Prerequisites: 16, 17, 18, 31, 32, 33.

• Analyse wave superposition and interference
• Use diffraction 衍射, polarisation and optical imaging
• Relate phase, frequency and dispersion

Add wave amplitudes, then calculate intensity. Intensity is proportional to squared amplitude for the same medium.

A path difference gives phase difference 相位差 2πΔ/λ. Coherent sources need stable relative phase.

For a single slit, minima satisfy a sin θ=mλ for nonzero integers m. A double slit has a different interference condition.

Geometric optics needs a stated sign convention. Wave effects matter when apertures are comparable to wavelength.

Coherent waves have a stable phase difference. Add amplitudes before squaring.

For equal individual intensities I0 and a path difference of one quarter wavelength, This is neither a maximum nor a minimum. Random relative phase removes the cross term in a long time average; stable coherence 相干性 is a physical condition, not a drawing convention.

The central single-slit maximum is not obtained by setting m=0 in the minima condition.

coherence: A stable phase relationship between waves.

diffraction: Wave spreading and interference caused by an aperture or obstacle.

Two engines can obey energy conservation, yet only one obeys the entropy 熵 limit on efficiency.

Prerequisites: 19, 20, 34, 35, 36.

• Apply the first and second laws with a sign convention
• Relate ensembles, Boltzmann factors and entropy
• Analyse ideal gases, heat engines and quantum statistics

State the first-law sign convention: ΔU=Q−W when W is work done by the system.

For a reversible engine between reservoirs, efficiency is bounded by 1−Tc/Th using absolute temperatures.

Boltzmann weights are exp(−E/kT). Probabilities require division by the partition function 配分函数.

Distinguish Maxwell–Boltzmann, Bose–Einstein and Fermi–Dirac assumptions. Fermions cannot share an identical single-particle state.

Use work W done by the gas as positive. The first law 热力学第一定律 is

For reversible isothermal expansion of an ideal gas, U depends only on T, so For n = 0.50 mol, T = 300 K and doubled volume, The gas expands and receives heat. The reservoir loses the same entropy in this reversible limit.

Celsius temperature ratios cannot be used in the Carnot efficiency formula.

entropy: A state quantity connected to multiplicity and reversible heat transfer.

partition function: The sum of statistical weights used to normalise probabilities.

A particle in a box cannot have zero ground-state kinetic energy. Its confinement changes what states are allowed.

Prerequisites: 24, 37, 38, 39.

• Use wavefunctions, operators and measurement probabilities
• Solve standard bound-state models and tunnelling reasoning
• Apply angular momentum, spin and atomic spectral principles

A state wavefunction 波函数 must satisfy the model’s boundary conditions and have total probability one: integrate |ψ(x)|² over the allowed domain. For orthonormal states φ_j, a superposition ψ=Σc_jφ_j has norm squared Σ|c_j|² because the cross terms integrate to zero. Thus an equal superposition of N orthonormal states has coefficient magnitude 1/sqrt(N). The probability of finding one constituent energy is |c_j|², not c_j. Relative phases may affect position probabilities even when energy probabilities are unchanged.

An observable is represented by a Hermitian operator 算符. Its eigenvalues are real, and a normalised state gives expectation value ⟨A⟩=∫ψ* Aψ dx. The expectation is an average over repeated preparations, not necessarily the result of one measurement. If A satisfies a polynomial identity, apply it to an eigenstate: for A⁴=I, a real eigenvalue must be +1 or −1. A complex fourth root is excluded by Hermiticity even though it solves the polynomial.

For an infinite well 0<x<L, ψ(0)=ψ(L)=0 allows sine modes sin(nπx/L), with n=1,2,… . Their energies are E_n=n²π²$\hbar$²/(2mL²), so the ground state is not zero and doubling L divides every energy by four. The equivalent h expression is n²h²/(8mL²); never substitute h for $\hbar$ without its 2π factor. A finite barrier instead permits exponential tails, and a travelling wave in a classically allowed region has oscillatory rather than exponentially decaying spatial dependence.

Operators commute when [A,B]=AB−BA=0; compatible observables can have a common eigenbasis. Since kinetic energy p²/(2m) is a function of p, it commutes with p. A position-dependent potential generally makes H=p²/(2m)+V(x) fail to commute with p. Angular momentum obeys [J_x,J_y]=i$\hbar$J_z and cyclic permutations, while J² commutes with each component. Atomic transitions exchange positive photon energy equal to a level difference; angular momentum and mechanism-specific selection rules restrict which transitions occur.

An infinite well extends from 0 to L. Vanishing wavefunction at both ends gives

Prepare $\psi=(\psi_1+i\psi_2)/\sqrt2$. Orthogonality makes its norm one. Energy measurements give E1 or 4E1 with equal probability: This average is not an allowed single energy result. The relative phase changes in time, so a superposition of different energies is not a stationary state.

A stationary state can have a nonzero energy even though its probability density is time-independent.

normalisation 归一化: Making total probability equal to one.

operator: A mathematical action representing an observable.

A precise instrument can give consistently wrong results when its calibration is shifted.

Prerequisites: 21, 22, 42, 43, 44.

• Apply special-relativistic energy and spacetime relations
• Propagate measurement uncertainty and analyse experimental data
• Recognise nuclear, particle, condensed-matter and astrophysical concepts

Special relativity uses γ=1/sqrt(1−v²/c²). Rest energy is mc² and total energy is γmc².

For independent small uncertainties, combine contributions in quadrature; correlated uncertainties require covariance 协方差 terms.

Random scatter affects precision 精密度; calibration bias affects accuracy. A log plot can reveal a power law.

Nuclear, particle, condensed-matter and astrophysics questions require undergraduate vocabulary and models. School physics alone is not a complete preparation course.

Proper time 固有时 is measured between events at one position in a frame. For a particle speed 0.60c,

If its mean proper lifetime is 4.0 microseconds, A lifetime is a mean of a distribution; it does not predict an individual decay time.

Adding percentage uncertainties linearly gives a worst-case bound, not the independent statistical standard uncertainty.

precision: Closeness of repeated measurements to each other.

covariance: A measure of joint variation used for correlated uncertainties.

לא כל הפרש אנרגיה מייצר קו דיפול חשמלי חזק.

תנאי קבלה: 23, 40, 41.

• לקשר אנרגיות אטומיות לקווים ספקטרליים
• להפעיל מספרי קוונטיים של רגע זוויתי
• להבדיל בין מעברים מותרים ומסוכנים דיפול חשמלי

ליונים חד-אלקטרוניים הדומים למימן, האנרגיות הקשורות קופלות כ−13.6 Z²/n² eV בדגם הלא-יחסי הפשוט ביותר. פליטה דורשת מעבר יורד ואנרגיית פוטון חיובית.

רגע זוויתי אורביטלי יש לו l=0,…,n−1 ו-m_l=−l,…,l. סpin אלקטרוני מוסיף s=1/2; רגע זוויתי כולל משלב תרוממות אורביטליות ו-spin.

כללי הבחירה לקיבול-דיפול חשמלי כוללים Δl=±1 ו-Δm=0,±1. כללים אלו עוסקים במנגנון מעבר ספציפי; איסור אינו פירושו בלעדיות לכל מנגנון אחר.

מבנה עדין, השפעות סpin-orbit והתפצלות זימן מדויקות את התמונה הפשוטה ביותר של האטום הידרוגן. באטומים רב-אלקטרוניים, הצללה ואינטראקציות אלקטרוניות מבטלות החלפה ישירה של אנרגיות הידרוגן.

לאיון חד-אלקטרוני שאינו יחסותי, תוך התעלמות ממבנה עדין,

עבור Z = 2, פליטה מ-n = 3 ל-n = 2 נותנת אנרגיית פוטון חיובית: הפרש אנרגיה לבדו אינו מבטיח מעבר קיבול-דיפול חשמלי; מצבי המסלול המשתתפים חייבים לענות על כללי הבחירה.

אל תגרום לאנרגיית המצב הסופי מינוס אנרגיית המצב ההתחלתי להיות שלילית לפוטון שנפלט.

כלל בחירה: הגבלה על מעברים למנגנון אינטראקציה מצוין.

התפצלות זימן: התפצלות רמות אנרגיה אטומיות בשדה מגנטי.

המוסכות של חומר מוליך למחצה תלויה במצבים ובנושאי מטען זמינים, ולא רק במספר האלקטרונים בחומר.

דרישות מוקדמות: 25, 45, 46.

• שימוש בתיאורים של פס ונושאי מטען
• יישום רעידות רדיואקטיביות ועקרונות אנרגיית קשר
• בדיקת חוקי השימור בתגובות חלקיקים

פסים מלאים אינם יכולים לשאת זרם רגיל ללא מצבים זמינים בסמוך. מתכות בעלות פסים חלקיים או משתלבים; חומרים מוליכים למחצה בעלי פער פסים קטן. הדברה של תורמים וקבלנים משנה את אוכלוסיית נושאי המטען.

תופסות פירמי-דיראק היא 1/[exp((E−μ)/(kT))+1]. בטמפרטורת אפס היא הופכת לצעד באנרגיית פירמי; הרחבה תרמית אינה הופכת כל מצב לחצי תופס.

אוכלוסיות רדיואקטיביות כפופות ל-N=N0e^(−λt), פעילות λN וחצי חיים ln2/λ. אנרגיית הקשר נובעת מכיסוי מסה כפול ב-c²; השוו את אנרגיית הקשר לכל נוקליאון בדיון ליציבות.

תהליכי גרעין וחלקיקים חייבים לשמר מטען, אנרגיה, תנע ומספרי קוונטום הרלוונטיים. דעיכת ביטה כוללת נ्यूטרينو או אנטי-ניוטרינו; סיפור דו-גופי עם אלקטרון בלבד לא יכול להסביר את הספקטרום האנרגטי הרציף שלה.

אנרגיית הקשירה היא האנרגיה החיובית הנדרשת להפרדת גרעין לגוליות נקיון חופשיות. למרה נתונה השתמשו במסה השקטה הכוללת ההתחלתית והסופית, עם קונבנציית מסה תואמת.

ירידה במסה של 0.0040 יחידות מסה אטומית נותנת Q חיובי מצביע על שחרור אנרגיה. מטען, מספר נקיונים, אנרגיה ותנע צריכים עדיין להיות מאוזנים; Q לבדו אינו קובע את קצב התגובה.

הפעילות והאוכלוסייה הנותרת שתייהן דועכות, אך היחידות שלהן שונות: הפעילות היא מעברים בשנייה.

מרווח פס: טווח אנרגטי שאינו מכיל מצבי אלקטרוניים מותרים בגוף במודל הפסים.

חצי חיים: הזמן הנדרש כדי שמספר האטומים הרדיואקטיביים יתחצף.

שיטות אנרגטיות מקשרות בין מתנד קפיץ למסלול, אך הקואורדינטות וההנחות הפיזיקליות שונות ביניהם.

תנאי מקדימים: 26, 41.

• בנה מילטוניאנית פשוטה
• השתמש במשוואות קנוניות
• יישם סקאלה כבידתית וקרנית

התנע הקנוני הוא p=∂L/∂qdot. המרת לוג'נדר H=p qdot−L נותנת מילטוניאנית כאשר מהירויות ניתנות לבטא באמצעות קואורדינטות ותנעים.

משוואות המילטון הן qdot=∂H/∂p ו-pdot=−∂H/∂q. עבור מתנד רגיל H=p²/(2m)+kq²/2, משוואות אלו מחזירות את משוואת ניוטון.

עבור מסלול כבידתי מעגלי v²=GM/r והתקופה²=4π²r³/(GM). ההנחות כוללות מסה מרכזית דומיננטית ומקריבת מסלול מעגלי; למסלולים אלפסויים משתמשים במחצית הציר הראשי בחוק קפלר. עבור לוויין בעל מסה m, הגודל של התנע הזוויתי הוא mrv=m sqrt(GMr), ולכן לוויינים זהים יש להם L פרופורציונלי ל-sqrt(r). יחס רדיוס 9 לכן נותן יחס תנע זוויתי 3, בעוד שיחס התקופה הוא 27. הבחנה זו נובעת מאותה משוואת כוח צנטריפטלי; אין להשתמש בסקאלת תקופה עבור תנע זוויתי.

בהירות וזרם מקבלים עומדים F=L/(4πd²) לקרינה איזטרופית. גוף שחור יש לו L=4πR²σT⁴; שיא הספקטרול שלו זז הפוך לטמפרטורה. מבדילו בין בהירות פנימית לבין ברק נצפה.

עבור לוגריתמיאנית רגילה $L=m\dot q^2/2-kq^2/2$, התנע הקנוני הוא

הצב את המהירות בטרנספורמציה של לורנץ: שילוב אלו נותן $\ddot q=-(k/m)q$. הפיכת התנע למהירות נדרשת; אין להניח זאת לכל לאגרנג'יאני מוגבל או סינגולרי.

המילטוניאן שווה לאנרגיה מכנית כוללת רק תחת ההנחות הרלוונטיות לערכת המערכת; אל תסיקו זאת אוניברסלית משימה שלו.

תנע קנוני: הנגזרת של הלאגרנג'יאן ביחס למהירות כללית.

בהירות: הסך הכללי של כוח הקרינה, שונה מהזרם (פוקס) בעינית הצופה.

Two carts approach from different directions. After they stick, their momentum can be conserved while their kinetic energy falls.

Prerequisites: 1.

• Compute vector momentum and energy loss in sticking collisions
• Compare fixed-force springs and use work–energy conditions
• Derive small-oscillation periods and oscillator energies

Choose an isolated system during the short collision. With negligible external impulse 外力冲量, conserve total momentum separately in every Cartesian direction. If masses m1 and m2 stick, their common velocity is (m1 v1+m2 v2)/(m1+m2). Find the magnitude only after adding vectors. Initial kinetic energy is the sum of each ½m|v|²; final kinetic energy uses the total mass and the common speed. Their difference becomes internal energy or deformation, not missing momentum. A perfectly inelastic collision means sticking, not final rest.

The work–energy theorem ΔK=∫F·dr uses net force along displacement. For a constant parallel force over distance s, ΔK=Fs. Speed doubling quadruples kinetic energy. Conservation of mechanical energy is a separate statement requiring no unaccounted nonconservative work. At a spring displacement x, U=½kx². Under the same applied force F, equilibrium extension is F/k and stored energy is F²/(2k): a stiffer spring stretches less and stores less energy. Under the same extension, it stores more. Identify which condition is held fixed.

Near a stable equilibrium x0, expand U≈U(x0)+½U″(x0)(x−x0)²; the effective stiffness is positive U″(x0). The motion obeys m xddot=−k_eff(x−x0), with ω=sqrt(k_eff/m) and period 2π/ω. A simple pendulum obeys θddot+(g/L)sinθ=0. For small angles sinθ≈θ, so T=2πsqrt(L/g). This approximation explains period–length scaling; a large amplitude requires a correction, and the mass cancels for an ideal pendulum.

For an undamped harmonic oscillator, total energy is ½m v²+½kx²=½kA². At equilibrium all its energy is kinetic; at a turning point 转折点 its speed is zero and all its energy is potential. Angular frequency is not ordinary frequency: ω=2πf. If the same oscillator has equilibrium speed vmax, A=vmax/ω. Distinguish the instant at which speed is measured from the release displacement, and keep SI units when a millijoule answer is requested.

Two carts stick with negligible external impulse. Add momentum vectors 动量矢量, then divide by total mass. Known: m1 = 2 kg, v1 = (3,0) m/s; m2 = 1 kg, v2 = (0,3) m/s.

The 6 J difference becomes internal energy. Kinetic energy is not conserved in sticking.

Do not add incoming speed magnitudes as momenta, or conserve kinetic energy in a sticking collision. Fixed-force and fixed-extension spring comparisons have opposite answers.

external impulse: Time integral of the net force from outside the chosen system.

turning point: An extreme oscillator position where its instantaneous speed is zero.

Turning a floating block upside down can change how much wood is submerged even though the total weight stays the same.

Prerequisites: 10.

• Use pivot torque and rotational inertia consistently
• Partition rolling kinetic energy with the no-slip constraint 无滑动约束
• Balance buoyancy and drag for composite bodies

Torque about a fixed pivot is r×F; its magnitude uses the perpendicular lever arm. For a uniform rod of length L pivoted at one end, gravity acts at its centre L/2 and the moment of inertia 转动惯量 is ML²/3. If its angle θ is measured from vertical, gravitational torque magnitude is Mg(L/2)sinθ, so angular-acceleration magnitude is 3g sinθ/(2L). Define the positive rotation direction before assigning a sign. Using the centre-of-mass inertia ML²/12 without the parallel-axis correction gives a wrong acceleration.

An object rolling without slipping satisfies v=Rω. Write total kinetic energy as ½Mv²+½Iω². With I=βMR², the rotational fraction is β/(1+β); for a solid disk β=1/2 and the fraction is 1/3. A hoop has β=1 and fraction 1/2. Static friction can supply the torque required for rolling without dissipating energy at an instantaneously stationary contact on a fixed surface. A sliding object does not satisfy the no-slip relation automatically.

For a floating composite, buoyancy equals the weight of displaced fluid, summed over every submerged part. Let a wood block have volume V and a dense stone volume Vs. If the stone is above the water, only submerged wood contributes: ρwater g fV equals total weight. If the stone is attached below and fully submerged, its displaced volume reduces the wood’s required submerged fraction to f−Vs/V. The stone does not cease to weigh anything; the water now supplies some of its support. Check whether the assumed orientation and flotation are physically possible.

Terminal speed 终端速度 means zero acceleration, not zero speed or zero force. With quadratic drag C v² and a downward weight Mg, neglecting buoyancy gives vt=sqrt(Mg/C). Two otherwise identical balls share the drag coefficient C; doubling mass then multiplies terminal speed by sqrt(2). If buoyancy matters, replace Mg by (M−ρfluid V)g. A linear-drag model instead gives a different mass scaling. State the specified drag law and compare force balances, rather than transferring a formula between models.

A body rolls without slipping on a fixed surface. The no-slip constraint is v = R omega.

For a solid disk, beta = 1/2, so the rotational share is For a uniform rod pivoted at one end, use $I=ML^2/3$, not its centre-of-mass inertia. About this pivot $\tau=-Mg(L/2)\sin\theta$, for theta measured from downward vertical.

Use the inertia about the chosen pivot. In flotation, include the stone’s displaced volume as well as its weight. Terminal speed requires a specified drag law.

moment of inertia: Mass-weighted squared perpendicular distance from a specified rotation axis.

terminal speed: Steady speed at which opposing forces balance.

A load released from an aircraft keeps the aircraft’s horizontal velocity. Relative to the aircraft, its initial motion can therefore be purely downward.

Prerequisites: 1, 11.

• Solve coupled-body equations using one acceleration constraint 约束
• Transform velocities between inertial frames
• Check force and energy limits for constrained motion

For a mass m1 on a frictionless horizontal table connected over an ideal massless pulley to a hanging mass m2, choose table motion and downward hanging motion as positive. A taut inextensible string gives one acceleration magnitude. Write T=m1a and m2g−T=m2a. Adding eliminates the internal tension, so a=m2g/(m1+m2) and T=m1m2g/(m1+m2). Thus T<m2g when both masses are positive. Setting tension equal to hanging weight silently assumes zero acceleration.

The common tension assumption requires an ideal massless string and pulley with negligible friction and inertia. A pulley with rotational inertia can have different tensions, with (T2−T1)R=Iα and a=Rα if the string does not slip. Draw each body separately: a force internal to the combined system remains an external force on one chosen body. Constraint forces can cancel from a system equation while still being needed for individual motion.

For two inertial frames with constant relative velocity 相对速度 V, Galilean velocity transformation is v_relative=v_ground−V. A payload released by a level aircraft initially has the aircraft’s horizontal speed. With negligible air resistance, horizontal ground velocity remains constant and vertical velocity becomes −gt if upward is positive. Relative to that aircraft, horizontal velocity is zero and downward speed is gt. Position is a different question: vertical displacement is −½gt². Do not confuse ground speed with relative speed.

Check limiting cases after solving. As m1 approaches zero, the ideal coupled acceleration approaches g and tension approaches zero; as m1 grows very large, acceleration approaches zero and tension approaches m2g from below. An energy derivation gives m2g s=½(m1+m2)v² for release from rest and an ideal pulley, agreeing with v²=2as. This agreement checks the equations; it does not permit energy conservation if friction or other unaccounted work is present.

A table mass m1 and hanging mass m2 share an acceleration through a taut ideal string. Choose rightward table motion and downward hanging motion positive.

T is less than the hanging weight 20 N. A nonzero net downward force is needed for acceleration.

A massless ideal pulley equates tension, not tension and weight. Subtract frame velocities component by component before taking a speed magnitude.

constraint: A condition linking allowed positions or motions of connected bodies.

relative velocity: Velocity of one object measured in another moving frame.

מוליך טעון יכול להיות שדה אפס בתוך חומריו בעוד שהפוטנציאל שלו אינו אפס.

תנאי קדם: 2, 47.

• הוספת כוחות קולון וקטורית לפי הגיאומטריה המדויקת
• חישוב פלוקס מתוך סימטריה או זווית מוצקה עם כיוון מצוין
• מציאת שדות ופוטנציאלים במוליכים באמצעות מטעני משטח מושגים

עבור מטען נקודתי Q במיקום r0, E(r)=Q(r−r0)/(4πε0|r−r0|³). יש לחבר וקטורים, לא גדלים של שדה. עבור שני מטענים חיוביים המושכים אלקטרון, הכוחות באותו כיוון מחברים; בכיוונים הפוכים מחסרים; רכיבים מאונכים מתאחדים לפי פיthagoras. יש להגדיר תחילה את נקודת התצפית ואת כיוון כל כוח. הפוטנציאל הוא הסכום הסקלרי V=ΣQ/(4πε0r) כאשר האפס מוגדר באינסוף. פוטנציאל אפס אינו מעיד לרוב על שדה אפס, שכן E=−∇V.

חוק גאוס הוא האינטגרל השטחי סגור ∮E·dA=Q_enclosed/ε0. הוא קובע שדה מקומי פשוט רק כאשר סימטריה גורמת לכך שהשדה הנורמלי אחיד או שהתרומות השניות לפלוקס הופכות לאפס. מטען הקרוב למישור אינסופי שולח מחצית מפלוקסו הכולל דרך המישור בגודלו: המישור יוצר זווית מוצקה 2π מתוך 4π. התוצאה בלתי תלויה במרחק ובמיקום האופקי, אך סימנה תלוי בכיוון הנורמל לבחירת המישור ובסימן המטען. מישר פתוח אינו חוסה מטען; שימוש בניסוח של משטח סגור עבורו שגוי.

באיזון אלקטרוסטטי, השדה החשמלי בתוך חומר המוליך הוא אפס והפוטנציאל במוליך קבוע. מניחים מטען Q במרכז מעטפת כדורית מוליכה בקיר פנימי a, קיר חיצוני b ומטען נטו q. משטח גאוס בתוך החומר דורש מטען על המשטח הפנימי −Q, ולכן המשטח החיצוני מכיל q+Q. סימטריה כדורית גורמת לכך שהשדה החיצוני הוא כזה של המטען הכולל Q+q במרכז. הפוטנציאל בחומר, עם אפס באינסוף, הוא (Q+q)/(4πε0b), בלתי תלוי ברדיוס התצפית בתוך החומר.

בתוך החלל של מעטפת זו עם מטען ממוקד במרכז, השדה הוא Q/(4πε0r²) בצורה רדיאלית עבור 0<r<a. הפוטנציאל כולל גם את התרומה של המטען הנקודתי וגם את התרומות הקבועות של המעטפת; הרציפות מתקיימת בכל משטח גם אם השדה הנורמלי קופץ במטען משטח. יש להפריד בין החלל, חומר המוליך והחלל החיצוני. מטען שאינו במרכז עדיין מגרה מטען פנימי כולל של −Q, אך השדה בחלל אינו עוד השדה הרדיאלי הממוקד הפשוט. אפס בשדה הפנימי של המוליך נובע מאיזון, ולא מהנחה שכל חלוקת מטעני משטח היא אחידה.

מטען נקודתי ממוקד במרכז Q נמצא בתוך מעטפת כדורית מוליכה עם מטען נטו q. איזון אלקטרוסטטי גורם לשדה להיות אפס בתוך המתכת. משטח גאוס במתכת חוסה מטען נטו אפס, ולכן $Q_{inner}=-Q$. שימור המטען נותן $Q_{outer}=q+Q$. עם רדיוס חיצוני b ואפס בפוטנציאל באינסוף,

כאן Q = +2 nC ו-q = -1 nC. החלל אינו חומר מוליך; השדה בו אינו חייב להתאפס.

אל תבלבלו בין תוצאת חצי-זרם של מישר פתוח לבין מטען חסום. שדה אפס של מוליט קובע פוטנציאל קבוע, לא בהכרח פוטנציאל אפס.

זווית מוצקה: שטח זוויתי שמורחב על ידי משטח, נמדד בסטרדיאנים.

מטען משטח מושג: מטען שנערם מחדש על מוליך כדי לספק איזון אלקטרוסטטי.

A resistor in a parallel branch sees the branch voltage, which can differ from the battery voltage because another resistor is in series.

Prerequisites: 2, 30.

• Solve resistor networks and distinguish rms from peak AC quantities
• Apply flux linkage 磁通链, Lenz direction and the current-loop field
• Use charge-to-mass ratios and balance crossed-field forces

For steady ideal resistor circuits, series resistances add and parallel conductances add. Reduce a network 电路网络 while preserving which nodes share the same voltage. With a 24 V source, a 2 Ω series resistor and parallel 3 Ω and 6 Ω branches, the parallel equivalent is 2 Ω. Total current is 6 A, branch voltage is 12 V and branch currents are 4 A and 2 A. The current through every component is not necessarily the total current; verify Kirchhoff current and voltage sums after reduction.

For sinusoidal current I=Imax sin(ωt−φ), Irms=Imax/sqrt(2). A series RLC circuit has impedance magnitude sqrt(R²+(ωL−1/(ωC))²) and average dissipated power Irms²R=Vrms Irms cosφ. Ideal inductors/capacitors exchange stored energy with zero average dissipation. If rms current is already given, do not insert another factor 1/2. An ideal rectifying diode conducts in its forward direction and blocks in reverse: a suitably oriented series diode clips the negative half of a sinusoidal resistor voltage; it does not create a full-wave rectifier by itself.

Magnetic flux is ∫B·dA, or BA cosθ for a uniform field with θ measured from the area normal. Faraday emf is −N dΦ/dt. For changing perpendicular field and fixed loop geometry, its average magnitude is NA|ΔB|/Δt. Determine the sign or current direction using opposition to the flux change, not opposition to the field itself. The magnetic field at the centre of one circular loop is μ0I/(2R), obtained from Biot–Savart: every element contributes in the same axial direction. An N-turn compact coil multiplies this result by N.

For a nonrelativistic charge with velocity perpendicular to uniform B, magnetic force |q|vB provides centripetal force mv²/r. Thus r=mv/(|q|B) and cyclotron angular frequency is |q|B/m, independent of speed in this approximation. Charge sign sets rotation direction. A deuteron has approximately twice proton mass and the same charge, while an alpha particle has four times its mass and twice its charge; their frequencies are each half the proton value. In crossed E and B fields, undeflected motion requires electric and magnetic forces opposite and v=E/B. Check vector directions before using this magnitude.

A 24 V ideal source drives 2 ohms in series with parallel 3 and 6 ohm branches. Identify nodes before reducing the network.

The other branch carries 4 A; the branch currents sum to the source current.

Do not apply battery voltage to every branch or halve an rms-current power again. Flux angle uses the area normal; a selector also needs opposing force directions.

root mean square 均方根: Square root of the mean squared value, used for effective AC current or voltage.

flux linkage: Sum of magnetic flux through a coil’s turns.

A charged capacitor can change its electric field across a gap even though no conduction current crosses the gap.

Prerequisites: 13, 29, 47.

• Use displacement current 位移电流 and material wave-speed relations
• Determine wave-field directions and radiated energy flow
• Apply Maxwell boundary conditions without confusing field components

Ampere–Maxwell law in vacuum is ∮B·dl=μ0(I_conduction+ε0 dΦE/dt). The added displacement-current term depends on the time rate of electric flux through the chosen surface. It ensures consistent results for a loop whose spanning surface either crosses a capacitor wire or passes between the plates. Displacement current is not magnetic flux or an integral over earlier electric flux. For a uniform plate field, the gap contribution is ε0A dE/dt; signs follow the oriented surface.

In a homogeneous, linear, lossless dielectric 电介质 with permeability μ and permittivity ε, Maxwell equations give wave speed v=1/sqrt(με) and refractive index n=c/v=sqrt(μrεr). For nonmagnetic material μr≈1, so v=c/sqrt(εr). Use the stated frequency-dependent material constants when dispersion matters; a static dielectric constant need not describe every optical frequency. Vacuum waves have E/B=c; in this simple medium the relation is E/B=v.

For a plane wave travelling along unit vector n, B=(n×E)/v. Both fields are perpendicular to propagation and to each other. Phase kz−ωt propagates toward +z, while kz+ωt propagates toward −z. If E is along x+y and propagation is +z, B is along −x+y, because z×x=y and z×y=−x. The Poynting vector 坡印廷矢量 S=E×H (E×B/μ in this medium) points along energy transport. In the radiation zone of an accelerating charge, energy flux is outward from the source, not necessarily in the instantaneous direction of charge motion.

Maxwell’s divergence equation ∇·B=0 gives continuity of the normal B component across an interface: a thin pillbox has no magnetic charge inside. The tangential H jump is related to surface current; it need not vanish. Under an ideal superconducting Meissner-state model with zero interior B, the exterior normal component at the boundary must therefore be zero, leaving any nonzero exterior B tangent to the surface. This conclusion is conditional on the stated zero-interior model; it does not follow by assuming all exterior field is zero. For electrostatics, normal D can instead jump by free surface charge.

A plane wave travels along positive z in a linear lossless nonmagnetic dielectric. With relative permittivity 9,

If E points along positive x, $\mathbf B=\hat{\mathbf z}\times\mathbf E/v$ points along positive y. For E0 = 200 V/m, $\mathbf E\times\mathbf H$ points along propagation. Check that material constants apply at the wave frequency.

Displacement current uses changing electric flux. Zero interior B fixes the exterior normal component, not every exterior component. Distinguish wave propagation from particle motion.

displacement current: Electric-flux time-derivative contribution in Ampere–Maxwell law.

Poynting vector: Electromagnetic energy flux per unit area and time.

A driver hears an echo from a stationary wall at a shifted pitch: the outbound and returning sound each acquire a Doppler factor 多普勒因子.

Prerequisites: 3.

• Apply source and observer Doppler factors in the medium frame
• Derive allowed pipe frequencies from displacement boundary conditions
• Distinguish frequency, wavelength and boundary changes

For sound in a stationary medium, separate source motion from observer motion. A source approaching at speed u_s compresses wavefront spacing and produces received frequency f c/(c−u_s) at a stationary observer. An observer approaching a stationary source at speed u_o meets more wavefronts per second and measures f(c+u_o)/c. Speeds are measured relative to the medium; the acoustic source and observer formulas are not symmetric under exchanging roles. Receding motion reverses the appropriate sign. These expressions assume subsonic motion along the propagation line.

For a siren moving toward a stationary reflecting wall with speed u, the wall first receives f_wall=f c/(c−u). Reflection from a stationary wall preserves frequency in the medium frame. The moving driver then approaches the returning wavefronts and receives f_echo=f_wall(c+u)/c=f(c+u)/(c−u). At small u/c the fractional shift is approximately 2u/c, but the exact expression has different numerator and denominator. A moving reflecting surface needs its own Doppler step; do not reuse the stationary-wall result blindly.

At an ideal open pipe end, air displacement is an antinode and pressure variation is a node. At a rigid closed end, displacement is a node and pressure is an antinode. For both ends open, length L contains n half-wavelengths, giving f_n=nc/(2L), n=1,2,… . For one end closed, it contains an odd number of quarter-wavelengths, giving f_n=(2n−1)c/(4L). Real pipes may need end corrections; the ideal GRE model uses the stated length without inventing an adjustment.

Closing one end of a previously both-open pipe halves its fundamental and leaves only odd multiples of that new fundamental. Its old frequencies were integer multiples of c/(2L), which are even multiples of c/(4L), so none is an allowed frequency of the new ideal one-closed spectrum. This differs from simply deleting even harmonics while retaining the old fundamental. When the medium is unchanged, wave speed is unchanged; frequency and wavelength change together to satisfy the new boundary geometry.

A siren approaches a stationary wall in still air. Treat outward and return journeys separately. The wall first receives $f_w=fc/(c-u)$; reflection keeps this frequency in the medium frame. The moving listener then receives $f_e=f_w(c+u)/c$.

This Doppler effect 多普勒效应 uses velocities relative to the medium. It is not the light-wave formula.

An echo needs both Doppler factors. Closing a pipe changes the fundamental; odd harmonics are counted from the new fundamental, not the old one.

displacement antinode 位移波腹: A standing-wave position where the air displacement amplitude is maximal.

Doppler factor: Frequency multiplier produced by a specified source or observer motion.

A gas cell in one arm of a Michelson interferometer 干涉仪 is crossed twice. Counting only one passage halves the inferred refractive-index change.

Prerequisites: 3, 33.

• Calculate telescope magnification and grating resolving power 分辨本领
• Relate Michelson fringe counts to double-pass optical path changes
• Trace surface normals before applying Snell and reflection laws

For an ideal astronomical telescope adjusted for relaxed viewing at infinity, the objective forms its focal-plane image and the eyepiece collimates the emerging light. Lens separation is f_objective+f_eyepiece; angular magnification magnitude is f_objective/f_eyepiece. The usual two-converging-lens telescope produces an inverted image, represented by a negative signed angular magnification under a consistent convention. A finite final-image distance changes lens separation; do not use the infinity adjustment without checking the condition.

Resolving power R=λ/Δλ describes the smallest distinguishable wavelength separation near λ. For an ideal diffraction grating in order m with N illuminated slits, R=mN. This is a resolution criterion, not simply the angular position formula d sinθ=mλ. Increasing illuminated slit count sharpens the principal peaks; increasing slit spacing mainly changes their angular locations. A measured λ=600 nm and Δλ=3 nm gives R=200, independent of converting both lengths to metres because their ratio uses matching units.

Michelson interference depends on the optical path difference between the arms. If one arm contains a gas cell of geometric length L and index changes from n to 1 upon evacuation, a double passage changes path by 2L(n−1). If N fringes pass, the magnitude of this change is Nλ, so n−1=Nλ/(2L). For a moving mirror instead, displacement Δx gives path change 2Δx. Fringes count phase cycles; one fringe is one wavelength of optical path, not one wavelength of mirror motion.

Snell’s law n1 sinθ1=n2 sinθ2 uses angles from the local surface normal. Reflection has equal incoming and outgoing angles from that same normal. In a rectangular block, normals of neighbouring faces are perpendicular: an incidence angle measured from one normal is complementary to the angle of that same ray from the other. Draw the ray and normals before substitution. For incidence from index n into air, total internal reflection occurs only when sinθ>1/n; equality is the critical grazing case. A stated partly refracted ray must satisfy the transmission condition.

A Michelson interferometer sends light twice through a gas cell of length L. Evacuation changes path by $2L(n-1)$. N fringes correspond to path change $N\lambda$.

Thus n = 1.00030. Moving a mirror is also double-pass; a fringe is not one wavelength of mirror motion.

Use optical path, not just geometric distance. Refraction angles are measured from the normal of the actual surface, and telescope focal-length addition assumes a final image at infinity.

resolving power: Wavelength divided by the smallest resolvable wavelength separation.

optical path length 光程: Geometric path weighted by refractive index along the ray.

A waveform can contain many harmonics while having no sine terms at all. Reflection symmetry tells you which coefficients vanish before integration.

Prerequisites: 3, 47.

• Use orthogonality 正交性 to identify Fourier coefficients
• Exploit even and odd parity without discarding the constant term
• Relate component amplitudes to interference and physical waveforms

For a sufficiently regular real 2π-periodic function, write f(x)=a0/2+Σ[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)]. The coefficients are a_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)cos(nx)dx and b_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)sin(nx)dx, with a0 using n=0. Cosines and sines are orthogonal on a full period. The mean is a0/2, not a0; retain the constant term even when all nonzero-frequency coefficients of one family vanish.

If f is even about the chosen origin, f(x)sin(nx) is odd and its symmetric integral is zero, so all b_n vanish. If f is odd, its mean and all a_n vanish. Symmetry depends on the origin: shifting the same physical signal can mix sine and cosine coefficients while leaving its harmonic frequencies unchanged. A nonnegative triangular waveform symmetric about x=0 can therefore have cosine harmonics and a nonzero mean without any sine harmonics.

For the 2π-periodic extension of f(x)=|x| on [−π,π], the mean is π/2. Integrating x cos(nx) by parts on [0,π] gives a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²), so even-n cosine coefficients are zero and odd-n coefficients are −4/(πn²). All sine coefficients are zero. The 1/n² decay reflects a continuous function with a slope discontinuity. A jump discontinuity often gives slower coefficient decay and partial-sum overshoot; do not infer the same convergence behaviour for every waveform.

A Fourier sum adds amplitudes with their phases. For equal coherent monochromatic amplitudes A meeting with phase difference φ, resultant squared amplitude is 2A²(1+cosφ), so intensity is 2I0(1+cosφ). It is 4I0 in phase and zero at φ=π. Incoherent averaging removes the cross term, yielding 2I0. Harmonics at different frequencies can construct a shape over time; their instantaneous sum is not the sum of their individual intensities. Identify whether the question concerns a waveform, time-average power or coherent interference.

For a real periodic function, use $f=a_0/2+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$. Even symmetry 偶对称 makes all sine coefficients zero because the integrand is odd. For $f(x)=|x|$ on $[-\pi,\pi]$,

Integration by parts supplies the second expression. The mean is $a_0/2=\pi/2$; only odd cosine harmonics survive. A cusp does not justify dropping the constant term.

Even symmetry removes sine coefficients, not the constant term or every cosine harmonic. Check the symmetry origin and whether fields are coherent before adding intensities.

orthogonality: A zero integral of the product of distinct basis functions over the specified interval.

Fourier coefficient 傅里叶系数: Weight of a sine, cosine or constant basis component in a periodic expansion.

מקרר יכול להעביר יותר חום מאשר העבודה הסופקה לו. יחס זה הוא מקדם ביצוע, ולא יעילות שעלולה להיות מתחת לאחד.

תנאי קבלה: 4.

• יישום סימני עבודה וחום מהחוק הראשון לתהליכי גז
• השוואת מאזני אנטרופיה הפיכים ושטחי מחזור P–V
• הבחנה בין יעילות מנוע לבין מקדם הביצוע של מקרר

השתמש ב-ΔU=Q−W, כאשר Q הוא חום הנכנס למערכת ו-W היא עבודה שנעשתה על ידי המערכת. עבודת גבול קוואזיסטטית היא ∫P dV, חיובית במהלך הרחבה. עבור כמות קבועה של גז אידיאלי, האנרגיה הפנימית תלויה רק בטמפרטורה. בנפח קבוע W=0, ולכן ΔU=Q; בתהליך איסותרמי לגז אידיאלי ΔU=0, ולכן Q=W. אדיאבטי אומר Q=0, ולא טמפרטורה קבועה. לאורך מחזור, המערכת חוזרת למצאה ההתחלתי ולכן ΔU=0, ולכן סך כל Q שווה לסך כל W, גם אם העברות החום ברגעים השונים שונות.

בתרחיש הרחבה איסותרמית הפיכה של גז אידיאלי, PV הוא קבוע. עם קיבולי חום קבועים, מסלול אדיאבטי הפיך מקיים PV^γ=קבוע, כאשר γ=Cp/Cv>1; דרך אותו מצא התחלתי, הלחץ יורד מהר יותר כשהנפח גדל. מסלול איזוברי הוא אנכי בגרף P–V. מחזור סגור בעל כיוון שעון מחזיק ∮P dV חיובי; הפוך הכיוון משנה את הסימן. עבור לולאה מלבנית הגודל הוא ΔPΔV, ולולאה משולשת הגודל הוא חצי משטח המלבן החוצה המתאים. השתמש ב-Pa וב-m³ לג'אול, ולא בערך ליטר שאינו מומר.

להעברת חום הפיכה, dS=δQ_rev/T; האנטרופיה היא פונקציית מצב בעוד החום תלוי במסלול. תהליך מערכת-סביבה הפיך בעל שינוי אנטרופיה כולל אפס, אך אנטרופיה של המערכת לבדה יכולה לעלות או לרדת. תהליכים ספונטניים לא-הפיכים מייצרים אנטרופיה כוללת אי-שלילית. הרחבה איסותרמית הפיכה מגדילה את אנטרופיית הגז ב- nR ln(V2/V1); המאגר מאבד אותה כמות בדיוק. הפיכות אינה דורשת טמפרטורת מערכת קבועה, עבודה אפסית או שינוי באנרגיה פנימית.

מנוע הפיך בין TH ל-CO יש יעילות W/QH=1−TC/TH. מקרר הפיך במקום זאת יש COP=QC/W=TC/(TH−TC), ומשאב חום יש QH/W=TH/(TH−TC). השתמש בטמפרטורות קלวิน מוחלטות. בגרף T–S הפיך, הגודל של חום לאורך איסותרמה הוא T כפול שינוי האנטרופיה; שטח מלבן קרנו הוא גודל העבודה. קירור מעביר חום מקר לחם על ידי צריכת עבודה, והופך את מחזור המנוע. COP יכול לעלות על אחד מבלי להפר את השימור, מכיוון שהחום המועבר אינו אסופה רק מהעבודה.

מקרר הפיך מעביר אנטרופיה Delta S מ-Tc ל-Th.

COP מעל אחד אפשרי כי חום מועבר, ולא מופק כולו מעבודה.

אי-הפקת אנטרופיה כוללת אינה פירושה שינוי אנטרופיה של המערכת הוא אפס. מקרר משתמש ב-C/(T_H−C), ולא בנוסחת יעילות מנוע.

ייצור אנטרופיה: סך כל האנטרופיה שנוצר אי-הפיכותית. ערך זה הוא לא שלילי.

מקדם ביצועים: החום המועבר לשימוש חלוקה בעבודה הנכנסת למקרר או למשאבת חום.

A gas can have zero mean velocity while its particles have substantial average speed. Opposite directions cancel in a vector mean; speed has no sign.

Prerequisites: 4, 35.

• Normalise continuous speed densities and interpret their units
• Distinguish vector means, speed means and most probable speeds
• Use Boltzmann weights with degeneracy and a partition function 配分函数

For a continuous speed probability density 概率密度 f(v), f(v)dv approximates probability in a narrow interval and ∫from0to∞ f(v)dv=1. The density has inverse-speed units and is not itself a probability. If P(v)dv counts particles in that interval, its area is the particle count N and f=P/N. A trapezoid rising over width v0, remaining flat over width 2v0, then falling over width v0 has area 3av0 for height a. Normalise by area before computing a mean or interpreting a plotted height.

In an isotropic equilibrium gas without bulk flow, each velocity-component distribution is symmetric, so ⟨v_vector⟩=0. Speed v=|v_vector| is nonnegative and has positive mean. For a classical ideal gas, the Maxwell speed density is proportional to v²exp[−mv²/(2kBT)]. Its mode is sqrt(2kBT/m), its mean is sqrt(8kBT/(πm)) and its rms speed is sqrt(3kBT/m). These are three different quantities. The v² factor makes speed density zero at v=0, even though the velocity-vector density is largest at the zero vector.

For a continuous distribution, the probability of exactly one specified speed is zero; nonzero probabilities refer to intervals. This statement does not imply there are no particles with arbitrarily small speeds, or that a finite-resolution detector cannot record a zero bin. Temperature changes the scale of the Maxwell distribution: characteristic speeds are proportional to sqrt(T/m). Doubling temperature does not double the speed, and heavier particles are slower on average at the same temperature.

In a canonical ensemble 正则系综 at temperature T, a state of energy E_i has weight exp(−E_i/(kBT)). Divide by partition function Z=Σexp(−E_i/(kBT)) to obtain probabilities. If an energy level has degeneracy g_i, its level probability is g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. Equal energy per state does not imply equal probability per level when degeneracies differ. For a ground level of degeneracy 1 and an excited level of degeneracy 2 at Δ=kBT ln2, the excited total weight is 2e^(−ln2)=1: the two levels each have probability 1/2. Classical Maxwell–Boltzmann assumptions differ from Bose–Einstein and Fermi–Dirac quantum occupations.

A canonical ensemble has ground degeneracy 1 and excited degeneracy g at gap Delta.

With g = 4 and $\Delta=k_BT\ln2$, This is probability for the entire excited level. Each of its four states has probability 1/6.

A density height is not a probability. Mean velocity, mean speed and mode differ; include degeneracy before normalising level probabilities.

probability density: Probability per unit of a continuous variable, whose integral gives interval probability.

partition function: Sum of statistical weights used to normalise equilibrium state probabilities.

גלאי עם יעילות של עשר אחוזים לא יזהה בדיוק עשר פוטונים מתוך כל מאה. המנייה משתנה גם כאשר היעילות נשארת קבועה.

תנאי קדם: 47.

• השתמש בממוצעים ובתנודות של מנייה לפי חלוקת בינומית ופואסון
• העבר אי-ודאויות קטנות תחת הנחות הקורלציה הנתונות
• פתור מגבלות מעריכי ממדים ובדוק את היחידות של המודל

עבור N חלקיקים בלתי תלויים הפוגעים בכל, שכל אחד מהם מתגלה עם הסתברות p, המנייה X היא בינומית: ממוצע Np ושונות Np(1−p). סטיית התקן היא sqrt[Np(1−p)], ולא השונות עצמה. עבור N גדול ו-p קטן, קירוב פואסון הוא בעל ממוצע λ=Np ושונות λ, ולכן סטיית תקן sqrt(λ). עבור N=200 ו-p=0.05, הממוצע המדויק הוא 10 והסטייה sqrt(9.5)≈3.08, בעוד שקירוב פואסון נותן sqrt(10)≈3.16. אף אחד מהמודלים מבטיח מנייה קבועה. גילויים מקורבלים או זמן מת יכול לבטל את ההנחה על בלתי תלות.

עבור פונקציה נמדדת חלקה y(x1,…), ליניאריזציה של שינויים באמצעות הנגזרות החלקיות שלה. אי-ודאויות סטנדרטיות קטנות בלתי תלויות משולבות בשורש סכום הריבועים: σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i². קלט מקורבל דורש איברים צולבים בקוברייאנס. עבור y=x^a, האי-ודאות הסטנדרטית השבריתית היא בקירוב |a|σ_x/|x|. כך שאנרגיה קינטית K=½mv² עם אי-ודאות מסה זניחה, האי-ודאות השבריתית כפולה מזו של המהירות. עם אי-ודאות מסה בלתי תלויה, משלב (σ_m/m)²+(2σ_v/v)². קירובים אלו דורשים שגיאות קטנות ומודל ליניארי מקומי מתאים.

פיזור רנדומלי מדד לדיוק; סטיית כיול משותפת פוגעת בדיוק ואינה נעלמת באמצעות חזרה על מדידות. עבור קריאות חוזרות בלתי תלויות, האי-ודאות הסטנדרטית של הממוצע יורדת כ1/sqrt(n), אך טעות מערכתית משותפת אינה משתנה. האי-ודאות של פיזור פיזי והאי-ודאות של הממוצע המוערך שלו הם כמותות שונות. צין אם אחוז מצויין הוא אי-ודאות סטנדרטית, מרווח ביטחון או גבול גרוע. חיבור תרומות מוחלטות הוא גבול שמרני, ולא הכלל לשורש סכום הריבועים של טעויות סטנדרטיות בלתי תלויות.

ניתוח ממדים משווה מעריכים של מסה, אורך וזמן, ולא גדלים מספריים. עבור צורה של אורך פלאנק G^a $\hbar$^b c^d, הממדים הם [G]=L³/(MT²), [$\hbar$]=ML²/T ו-[c]=L/T. הדרישה לאורך נותנת −a+b=0, 3a+2b+d=1 ו−2a−b−d=0. מכאן a=b=1/2 ו-d=−3/2, ולכן האורך הוא sqrt(G$\hbar$/c³). ניתוח ממדים אינו יכול לקבוע מקדם ממדי חסר או להוכיח שהקבועים שנבחרו הם פיזיקלית מספיקים. דחה נוסחה עם יחידות שגויות לפני הצבת מספרים.

עבור אי-ודאויות סטנדרטיות קטנות בלתי תלויות ב$K=mv^2/2$, נגזור תחילה.

עם אי-ודאויות יחסיות 3% במסה ו2% במהירות, גבול גרוע would use a sum, not this quadrature. Correlations require covariance terms.

אל תבלבל בין ממוצע מונה למונה מובטח, בין שונות לסטיית תקן, או בין טעות סטנדרטית רנדומלית לסטיית כיול. עקביות ממדית היא נדרשת אך אינה מספקת.

אי-ודאות סטנדרטית: אי-ודאות המבוטאת כסטיית תקן תחת מודל מדידה מצוין.

קירוב פואסון: מודל מנייה של אירועים נדירים ובלתי תלויים שבו השונות שווה לממוצע.

חלקיק לא יציב מהיר יכול לעבור מרחק גדול יותר במעבדה מאשר מה שהחיים שלו במסגרת הרגיעה כפול המהירות שלו מחייב.

דרישות מקדימות: 6, 42.

• לקשר זמן חיים תכונתי לזמן ומרחק במעבדה
• להשתמש באנרגיה-תנע אינווריאנטית ואנרגיה קינטית יחסותית
• להסיק מהירות התרחקות לאורךית מיחסי אורכי גל

עבור מהירות יחסית v, הגדרו β=v/c ו-γ=1/sqrt(1−β²). הזמן החיים התכונני נמדד לאורך קו העולם של החלקיק על ידי שעון הנמצא במנוחה ביחס אליו. אם זמן החיים הממוצע התכונני שלו הוא τ0, אזי זמן החיים הממוצע במעבדה הוא γτ0 והמרחק הממוצע שיעבר הוא vγτ0 במהירות קבועה. הדעיכה היא סטטיסטית: זמן החיים הממוצע אינו זמן דעיכה מובטח לכל חלקיק בנפרד. ב-β=0.8, γ=5/3. יש לחשב אירועי מרחב-זמן באופן עקבי במסגרת אחת; הזמן החיים התכונני והזמן הקואורדינטי הם כמויות שונות.

האנרגיה הכוללת היא E=γmc², התנע p=γmv והאינווריאנט E²−p²c²=m²c⁴. כאשר E ו-pc מבוטאים באותן יחידות אנרגיה, מחשבים mc²=sqrt(E²−(pc)²), ולא E−pc. נדרש השורש הריבועי האי-שלילי עבור מסת רגע חיובית. עבור E=13 GeV ו-pc=12 GeV, האנרגיה השקטה היא 5 GeV והמסה היא 5 GeV/c². לחלקיק חסר מסה יש E=pc אך אין לו בהכרח אנרגיה או תנע אפס. יחסים אלו עוסקים בתנע-ארבע של חלקיק בודד, ולא ב-mv קלאסי במהירות יחסותית.

העבודה הנעשית בהאצה של חלקיק ממנוחה שווה לאנרגיה הקינטית K=E−mc²=(γ−1)mc². ב-β=0.6, γ=1.25 ו-K=0.25mc², בעוד שהאנרגיה הקינטית הקלאסית ½mv² נותנת 0.18mc². האנרגיה הקינטית הקלאסית היא פיתוח טור למהירויות נמוכות והופכת לא מדויקת בקרבת c. עבודה של האצה סופית מגדילה את γ ולא מאפשרת לחלקיק בעל מסה להגיע ל-c או לעבור אותו. יש לשמור על ההבחנה בין אנרגיה כוללת, אנרגיה שקטה ואנרגיה קינטית בעת פרשנות יחידות התשובה.

עבור התרחקות יחסית לאורךית טהורה במכניקה יחסותית ספציאלית, יחס האורכים r=λ_observed/λ_emitted=sqrt((1+β)/(1−β)). סידוד מחדש נותן β=(r²−1)/(r²+1). יחס r=2 נותן β=3/5, ולא c כפול (r−1) מתכונה הקדמה למהירויות נמוכות. הזזה לכחול משמשת r<1 ופרמטר התרחקות שלילי במסגרת זו. הנוסחה מניחה שההזזה היא קינמטית לחלוטין; הרחבה קוסמולוגית או הזזה אדומה כבידתית דורשים מודל שונה. יש לציין את המודל הנדרש בשאלה לפני פרשנות יחס ספקטרלי.

האנרגיה הכוללת והתנע קובעים את האנרגיה השקטה האינווריאנטית.

עבור E = 17 GeV ו-pc = 15 GeV, המסה השקטה היא 8 GeV/c². אין לבצע חיסור ישיר של תנע מאנרגיה.

א אל תשתמש בחיי הממוצע כזמן מעבדה, אל תפחית pc מ-E כדי למצוא מסת רגועה, ואל תשתמש בקירוב דופלר קלאסי ליחס אורך גדול.

זמן חיים תכונני: הזמן שנרשם על ידי שעון הנע עם האובייקט לאורך קו העולם שלו.

אנרגיה שקטה: האנרגיה mc² הקשורה למסת הרגע של אובייקט.

Repeated equally spaced current dips can represent repeated losses of the same excitation energy, rather than a sequence of different atomic levels.

Prerequisites: 7.

• Distinguish photoelectric thresholds and characteristic X rays
• Apply reduced-mass spectral scaling and many-electron spin filling
• Interpret Franck–Hertz energy spacing without inventing new levels

Photoelectric maximum kinetic energy is Kmax=hν−ϕ for photon frequency above threshold ν0=ϕ/h. A stopping-potential magnitude satisfies eVs=Kmax, so Vs is linear in ν above threshold. Increasing intensity at fixed frequency increases the available photon count and usually photocurrent, not maximum photoelectron energy. Below threshold the simple one-photon model emits no photoelectrons regardless of intensity. Work function 逸出功 is a property of the surface, not proportional to the illumination frequency.

Characteristic X rays result when an electron fills an inner-shell vacancy, emitting a photon equal to the shell energy difference. Their sharp lines depend on target atoms. Bremsstrahlung arises from deceleration of energetic electrons in nuclear electric fields and produces a continuous background, with an energy endpoint set by the incident electron energy. A continuous background and discrete lines can appear together; the existence of one does not exclude the other. These mechanisms differ from visible fluorescence, phonon scattering and particle capture.

For a hydrogen-like two-body atom, replace electron mass by reduced mass μ=m_eM/(m_e+M). In the simple Coulomb model, level energies scale as −μZ²/n², so spectral frequencies scale as μZ² and wavelengths inversely. For positronium M=m_e, μ=m_e/2 and its Rydberg constant is half the infinite-nuclear-mass value. For a heavy nucleus μ approaches m_e. In many-electron atoms, use orbital filling and Hund’s rule rather than the hydrogen model: degenerate orbitals are occupied singly with parallel spins before pairing. Carbon’s 2p² gives two unpaired electrons and total spin S=1; oxygen’s 2p⁴ has two unpaired electrons and also S=1. Filled pairs contribute zero net spin.

In Franck–Hertz experiments, accelerated electrons lose energy through inelastic excitation once they reach an atomic threshold. Repeated current-dip or peak spacing in accelerating voltage can therefore identify the same excitation energy lost one, two or more times. A spacing ΔV corresponds to energy eΔV; peaks at 4,8,12 V need not represent three separate excited-level energies. Contact potentials and retarding fields can shift absolute peak positions, so use the spacing and stated apparatus conditions. If the excited atom returns by one photon of that energy, wavelength is hc/(eΔV).

In the one-photon photoelectric effect 光电效应, use the surface work function phi.

For photon energy 4.5 eV and phi = 2.0 eV, The stopping-potential magnitude is 2.5 V. Higher intensity at the same frequency changes the available electron rate, not this maximum energy.

Current intensity and stopping voltage answer different questions. Include reduced mass and orbital degeneracy, and use Franck–Hertz spacing rather than treating every peak as a new energy level.

work function: Minimum energy required to remove an electron from the specified surface.

reduced mass: Two-body effective mass m1m2/(m1+m2) for relative motion.

A quantum wave can reflect from a downward potential step even though a classical particle has no turning point there.

Prerequisites: 5.

• Match travelling waves and fluxes across finite potential changes
• Count degenerate isotropic-oscillator states
• Evaluate Pauli products and distinguish anticommutation from equality

For constant potential V and energy E>V, the spatial solutions are travelling factors exp(±ikx), with k=sqrt[2m(E−V)]/$\hbar$. At finite steps with the same particle mass, wavefunction and its first derivative are continuous. In a left-incident scattering problem with no incoming beam from the right, the far-right solution contains only the right-travelling factor Ae^(ikx). If a finite well returns to the original external potential, the transmitted external wave number equals the incident one, even though the interior wave number differs. Exponentially decaying solutions describe E<V regions, not every potential well.

For a step from V1 to V2 with both regions classically allowed, write incident-plus-reflected amplitude in region 1 and transmitted amplitude in region 2. Continuity gives r=(k1−k2)/(k1+k2) and t=2k1/(k1+k2). Reflection probability is R=|r|²; transmission is T=(k2/k1)|t|² because probability current depends on wave number. Thus R+T=1 for a lossless step. Do not add raw squared transmitted amplitude to R without its current factor. With k2=3k1, R=1/4 and T=3/4 despite a downward step.

A three-dimensional isotropic oscillator separates into x,y,z modes with nonnegative integers n_x,n_y,n_z. Its energy is (N+3/2)$\hbar$ω, where N=n_x+n_y+n_z. For a spin-zero distinguishable single particle, the spatial degeneracy is the number of such triples: (N+1)(N+2)/2. This counts different assignments, not just different unordered partitions. For N=2, the six states are permutations of (2,0,0) and (1,1,0). For N=3, the degeneracy is 10. Additional spin or identical-particle constraints would change the counting problem.

Pauli matrices are σ_x=[[0,1],[1,0]], σ_y=[[0,−i],[i,0]], σ_z=[[1,0],[0,−1]]. Each squares to identity. Direct multiplication gives σ_xσ_y=iσ_z and σ_yσ_x=−iσ_z, so distinct Pauli matrices anticommute. Cyclic products x→y→z have positive i; reversing order changes the sign. The general identity is σ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_k. Matrix order matters: σ_xσ_z=−iσ_y, not iσ_y or simply σ_y. These dimensionless matrices become spin operators S_i=$\hbar$σ_i/2, adding physical units and factors.

At a finite potential step, match wavefunction and derivative for the same particle mass.

Transmission probability 透射概率 uses current, not amplitude alone. For $k_2=3k_1$, $r=-1/2$, $t=1/2$. Reflection occurs even for a downward step. Its phase sign disappears when taking probability.

Transmission probability needs the wave-number current ratio. Oscillator degeneracy counts ordered mode triples. Do not reverse Pauli matrix order without changing its sign.

reflection coefficient 反射系数: Reflected probability-current fraction relative to incident current.

degeneracy: Number of independent states sharing the specified energy.

מדידת מוליכות בלבד אינה מספקת כדי לקבוע האם אלקטרונים או חורים דומיננטיים בהובלה. מדידת הול מגנטית מספקת מבחן רגיש לסימן.

דרישות מוקדמות: 8, 46.

• השוואת אנרגיית קישור לכל נוקלאון ואנרגיית תגובה
• הבחנה בין לפטונים, מזונים ובאריונים עם מגבלות שימור
• היסק על סימן נושא הדומיננטי מדגם הול חלקיק אחד

אנרגיית הקישור B היא האנרגיה הנדרשה לפרק גרעין לגרעינים חופשיים המרכיבים אותו, השווה להפחתת המסה המתאימה כפול c². אנרגיית הקישור ליחידה של נוקלאון B/A היא ההשוואה הרלוונטית בין מספרי מסה שונים; גרעין כבד יותר יכול להיות בעל B כולל גדולה יותר אך B/A נמוכה יותר. השיא הרחב של B/A נמצא בקרבת אזור הברזל/ניקל. היתוך גרעינים קלים וביצועי גרעינים כבדים מאוד יכולים לשחרר אנרגיה כאשר המוצרים בעלי קישור כולל גדול יותר. עבור תגובה, Q=(מסת המנוחה ההתחלתית−מסת המנוחה הסופית)c²; Q חיובי מעיד על אנרגיה משוחררת. יש תמיד להשוות את האיזוטופים הספציפיים והמוצרים הסופיים בפועל, ולא רק את שמות היסוד שלהם.

לפטונים כמו אלקטרונים, מיוונים וניטרינו אינם עשויים מקווארק מרכיבים בדגם הסטנדרטי. מיוון שלילי הוא בעל מטען −e וספין 1/2, כמו אלקטרון, אך יש לו מסה שונה ושייך למשפחת טעם אחרת; הוא אינו מזון למרות שמו ההיסטורי. האדרונים מכילים קווארקים: מזונים רגילים הם בעל קווארק אחד ואנטי-קווארק אחד, ובאריונים רגילים יש שלושה קווארקים. אנטי-אריוונים מתאימים הם בעלי שלושה אנטי-קווארקים. דגמי המיון היסודיים הללו אינם מעידים שכל חלקיק מרוכב הוא פשוט בריון או מזון.

בדוק מטען, אנרגיה, תנע, מספר בריוני ומספרי לפטון רלוונטיים בתהליך מוצע. קווארקי הפרוטון uud מסכמים למטען +e; הניטרון udd מסכם לאפס. דעיכת בטא מינוס n→p+e−+אנטי-ניטרין שמירה מטען חשמלי ומכילה את האנטי-ניטרין לאיזון מספר לפטון ותנועה. מסת חלקיק בלבד אינה מספקת כדי למיין אותו כקווארק, לפטון או האדרון. ספינים של תגובה עשויים לדרוש אנרגיה קינטית מעבר להפרש מסת מנוחה אקסותרמי כאשר יש מגבלות נוספות.

במוליך פשוט עם נושא אחד, כוח לורנץ מגנטי רוחבי בונה שדה חשמלי הול עד לכוח נושאי הרוחבי מאוזן. עם קונבנציית טנזור/סימן נתונה, מקדם הול הוא R_H=1/(nq); q שלילי נותן מקדם שלילי דמוי אלקטרון, ו-q חיובי נותן מקדם חיובי דמוי חור. גודל התנגדות בלבד אינו חושף סימן זה. יש לקבוע את כיווני הזרם, השדה המגנטי והמתח בצורה עקבית לפני קריאת פולריות גולמית. למוליכים למחצה עם תרומה של אלקטרונים וחורים יש צורך בדגם שני-נושאים משוקלל לפי ניידות; המקדם הפשוט אינו חייב להיות שווה להפוך הצפיפות הכוללת של הנושאים.

במודל אפקט הול עם נשיא אחד, השתמש ב$R_H=1/(nq)$ עם סידור מוליך קבוע. עבור אלקטרונים, q = -e, n = $5.0\times10^{22}$ למטר מעוקב,

מקדם שלילי מצביע על נשאים דמויי-אלקטרון במודל זה, ולא על צפיפות שלילית. קוטביות המתח הגולמית היא משמעותית רק יחד עם שדות וכיווני מוליכים המוגדרים.

השוו אנרגיית קישור לכל נאוכלון, ולא רק אנרגיית קישור כוללת. מיון הוא לפטון, וסימן הול דורש את המוסכמת המדידה המוכרזת ומודל הנשיאים.

אנרגיית קשר לנאוכלון: אנרגיית הקשר הגרעינית מחולקת בספר הנאוכלונים.

מקדם הול: יחס פרופורציונליות מכוון המקשר בין שדה הול הרוחבי לצפיפות הזרם ולשדה מגנטי תחת סידור מוגדר.

מתח טוח במדולה משתנה לאורך כל התנודה, אך ניתן להסיק את המשוואה הזוויתית שלו מבלי לפתור עבור המתח.

תנאי קבלה: 1, 47.

• להסיק את תנועת אוילר-לאגראנג' לאחר imposed holonomic constraint
• להשתמש בקואורדינטה מחזורית כדי לזהות תנע קנוני שמור
• לליניארז איזון יציב ולבדוק את התדר resulting

מגבלה מסירה קואורדינטה עצמאית לפני שיוצרים את האנרגיה הקינטית. למדולה בעלת אורך קבוע בחר את θ מהאנך היורד: x=l sinθ ו-y=−l cosθ. גזירת שתי הקואורדינטות נותנת v²=l²θdot², ולא l² sin²θ θdot². מכאן T=ml²θdot²/2 ו-V=mgl(1−cosθ), עם פוטנציאל אפס בתחתית. האורך הקבוע הוא מגבלה holonomic: זוהי יחס בין קואורדינטות ואולי זמן. מגבלת מהירות גלילה דורשת ניתוח משלה; אל תטפל אוטומטית בכל מגבלה כהצבת קואורדינטות.

עבור מגבלות אידיאליות ומערכת שמרנית רגילה, משוואת הפעולה הרציפה היא d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0 עם L=T−V. השונות נעלמות בשתי קצוות הזמן. מדולה נותנת ∂L/∂θdot=ml²θdot ו-∂L/∂θ=−mgl sinθ, כך ml²θddot+mgl sinθ=0. הגזירה של התנע פועלת על כל גורם תלוי בזמן: עבור רדיוס משתנה, d(mr²θdot)/dt מכיל 2mr rdot θdot. השיטה הוירציונלית אינה אומרת שאנרגיה מכנית שמורה במערכת תלויה בזמן.

בתנועה מרכזית מישורית, L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). הזווית θ היא מחזורית כי L אינה תלויה במפורש ב-θ, גם אם L תלויה ב-θdot. התנע הקנוני pθ=mr²θdot הוא קבוע. המשוואה הרדיאלית היא m rddot=mrθdot²−dV/dr. האיבר הראשון הוא חלק מתאוצר הקואורדינטי, ולא כוח אמיתי חדש החוצה במסגרת אינרציונית. שימור pθ גורם לתדר הזוויתי לעלות כאשר r קטן; תדר זוויתי קבוע הוא מצב שונה, מוביל בחוץ.

קרוב לאיזון יציב q0, פתח את V בסדרה עד סדר שני והשתמש במסה מקומית קבועה M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2. מכאן התדירות של תנועות זעירות היא sqrt(V″/M). לממחוק sinθ≈θ ברדיאנים, ולכן ω=sqrt(g/l); הקירוב דורש רוחב זעיר. V″ שלילי מעיד על אי-יציבות, ולא על תנודה בתדירות מדודת מוסיין. בדק תחילה את המשוואה הלא-ליניארית המלאה, ואז הצג את הקירוב והשווה יחידות: V″/M חייב להיות בעל יחידות של הפוך לזמן בריבוע.

לממחוק באורך קבוע l, השתמש בזווית theta מהאנך כלפי מטה: x = l sin theta, y = -l cos theta. שני מהירויות הקרטזיות נותנות $T=ml^2\dot\theta^2/2$ ו$V=mgl(1-\cos\theta)$. משוואת אוילר-לאגראנג'— היא

חלק ב-$ml^2$ לפני הליניאריזציה: הקירוב משתמש ברדיאנים. שינויים בקצוות מתאפסים בהסקת פעולה עומדת (stationary-action).

קואורדינטה מחזורית אינה מופיעה ב-L עצמו; מהירותה אינה חובה להיעדר. אל תסיר את הנגזרת בזמן של גורם משתנה r².

מגבלה הולונומית: מגבלה שניתן לבטא כקשר בין קואורדינטות ובכלל גם זמן.

משתנה ציקלי: משתנה שאינו מופיע במפורש בלגרנג'יאן, עם תנאי שימור התנע הקנוני תחת משוואת אוילר-לאגראנג'.

אדם העומד במקום על פלטפורמה מסתובבת זקוק לכוח פנימי אמיתי, אף שהתאוצה היחסית שלו לפלטפורמה הוא אפס.

תנאי קבלה: 26.

• להפוך את התאוצה באמצעות איברים של מסגרת עוברת ומסתובבת
• לקבוע כיוונים של כוחות צנטריפוגליים, קוריוליס ואוילר ממכפלות וקטוריות
• להפריד כוחות נראים מאינטראקציות אמיתיות ולבדוק גבולות אינרטיאלים

במסגרת עוברת עם תאוצת מוצא A, משוואת ניוטון הופכת ל-m a′=F_real−mA. מעלית המאיצה כלפי מעלה לכן נותנת N−mg=ma במסגרת האדמה, או N−mg−ma=0 עבור הנוסע העומד במקום במסגרת המעלית. אלו אותם התחזיות. האיבר הנוסף הוא כוח נראה הנגרם מהקואורדינטות המאיצות שנבחרו; זוהי לא מגע חדש עם גוף אחר. הזזה אחידה עם A=0 משנה מהירות אך אינה דורשת כוח נראה.

לבסיס מסתובב, גזירת וקטור מוסיפה Ω×לוקטור זה. יישום כפול נותן a=a_origin+a′+2Ω×v′+Ω×(Ω×r)+Ωdot×r. כאן r ו-v′ נמדדים ביחס לנקודת המקור הנעה בציריה המסתובבים; כל הווקטורים בחישוב חייבים להיות מבויים באותו בסיס באותו רגע. העברת שלושת האיברים הסיבוביים האחרונים לצד הכוח נותנת את כוח קוריוליס −2mΩ×v′, כוח צנטריפוגלי −mΩ×(Ω×r), וכוח אולר −mΩdot×r. סיבוב קבוע מבטל את איבר אולר, אך לא את איבר קוריוליס.

הנח את Ω לאורך +z, פלטפורמה מסתובבת נגד כיוון השעון במבט מלמעלה, וחלקיק ב-r לאורך +x. הכוח הצנטריפוגלי הוא לאורך +x בגודל mΩ²r. אם החלקיק נע החוצה עם v′ לאורך +x, אזי Ω×v′ הוא +y, ולכן כוח קוריוליס מצביע ל-−y. הפיכת מהירות היחסית הופכת את כוח קוריוליס; שמירה על v′=0 גורמת לו להיעלם. כוח קוריוליס מאונך ל-v′ ואינו מבצע עבודה רגעית על התנועה היחסית זו. הכוח הצנטריפוגלי מוסח ממרכז הסיבוב, ולא בהכרח ממוצא שנבחר בעמדה תלת-ממדית שרירותית.

גוף בשקט על הפלטפורמה יש לו a′=v′=0. עם סיבוב קבוע ונקודת מקור קבועה, הכוח האמיתי שלו חייב להיות mΩ×(Ω×r) לפנים, ומבטל את האיבר הנראה החוצה במשוואה המסתובבת. אם הסיבוב משתנה, יש צורך גם בכוח אמיתי מגנטי כדי לאזן את איבר אולר. תמיד בדוק Ω→0 ו-A→0: תנועת ניוטון אינרציאלית רגילה חייבת לחזור. אל תערבב בין הדרישה הפנימית הצנטריפטלית לבין תגובה אמיתית נוספת החוצה על אותו גוף; שותפי האינטראקציה שייכים לגרפי גוף חופשי נפרדים.

במערכת מסתובבת, כוח קוריוליס משתמש במהירות היחסית.

עבור m = 2 ק"ג, Omega = 2 רד/ש סביב ציר z, r = 1 מ' לאורך x ו-v' = 3 מ'/ש לאורך x, כוח אולר הוא אפס רק כי Omega קבוע. אלו איברים קואורדינטיים, לא מגעים פיזיקליים נוספים.

המהירות היחסית v′ נמצאת באיבר קוריוליס. שימוש במהירות האינרציאלית המלאה סופרת את הסיבוב פעמיים.

כוח קוריוליס: הכוח הנראה במערכת מסתובבת −2mΩ×v′ הנגרם מתנועה יחסית.

כוח צנטריפוגלי: הכוח הנראה במערכת מסתובבת −mΩ×(Ω×r), המכוון הרחק ממרכז הסיבוב.

A narrow pipe carries the same steady flow rate as a wide pipe, but its pressure behaviour depends on both speed and viscous losses.

Prerequisites: 10, 47.

• Combine incompressible continuity with pressure, height and kinetic energy
• Apply hydrostatic and Bernoulli relations only under their stated conditions
• Use viscosity, Poiseuille scaling and Reynolds number to distinguish flow regimes

For steady flow, the mass passing successive cross-sections per unit time is equal: ρAv is constant. An incompressible liquid has nearly constant ρ, so Q=Av is the volume flow rate 体积流量. Halving pipe radius quarters area and multiplies mean speed by four for the same Q. Pressure does not determine Q without a model of the rest of the system. In a stationary liquid, dp/dz=−ρg with z upward; therefore pressure increases by ρgh a distance h below a surface. Use absolute or gauge pressure consistently on both sides.

For steady, incompressible, inviscid motion along a streamline with no pump or dissipative loss, Bernoulli gives p+ρv²/2+ρgz=constant. These three terms are energy per volume and have pressure units. At equal height, larger speed requires smaller static pressure under these assumptions. A higher outlet also uses pressure/kinetic energy to gain gravitational energy. Bernoulli along one streamline need not imply the same constant on different streamlines in rotational flow. A stagnation point has v=0 and converts local speed energy to a pressure rise in the ideal model.

Viscosity transports momentum between neighbouring fluid layers. For steady fully developed laminar flow of a Newtonian incompressible liquid in a circular tube, Q=πR⁴Δp/(8ηL). Here Δp is the pressure drop along the tube, η dynamic viscosity 动力黏度 and L tube length. Doubling radius at fixed Δp, η and L multiplies Q by sixteen. Doubling Q at fixed geometry needs twice the pressure drop. This viscous pressure loss cannot be added to a loss-free Bernoulli equation as though nothing changes; include a dissipative pressure/head loss or use the viscous model.

The Reynolds number Re=ρvD/η compares inertial and viscous effects using characteristic speed v and length D. For a pipe use mean speed and internal diameter, not radius. Re is dimensionless: density times speed times length has the same units as dynamic viscosity. Small Re favours viscous dominance; transition to turbulence depends on geometry and disturbances, so a single threshold is not a universal law. Poiseuille scaling is not safe after assuming a turbulent flow. Check volume continuity, sign of pressure change and the regime before selecting a formula.

A steady incompressible horizontal ideal flow has areas 4 and 1 square centimetres. At the first section speed is 1 m/s. Continuity and Bernoulli give

These relations assume no pump, viscosity loss or height change. A real narrow tube may violate them.

Continuity keeps Q constant across one steady pipe; Poiseuille compares Q between different systems at a specified pressure drop. State what is held fixed before comparing radius powers.

volume flow rate: Volume crossing a section per unit time, Q=Av for mean speed v.

dynamic viscosity: The coefficient relating shear stress to velocity gradient in a Newtonian fluid.

Putting a dielectric into a capacitor changes the field differently depending on whether its battery remains connected.

Prerequisites: 13, 15.

• Relate free and bound charge to D, E and polarisation
• Compare fixed-charge and fixed-voltage dielectric changes
• Use magnetic constitutive response and free-current boundary conditions

Electric polarisation 电极化强度 P is electric dipole moment per unit volume, measured in C/m². Define D=ε₀E+P so that ∇·D=ρ_free; the total charge, including bound charge, still appears in ∇·E=ρ_total/ε₀. Bound volume charge is ρ_b=−∇·P and bound surface charge is σ_b=P·n, where n points outward from the material. Uniform P therefore gives no bound charge in the bulk but can give surface charges of opposite sign. A dielectric is not an ideal metal: polarisation need not make its internal electric field zero.

For a linear isotropic dielectric, P=ε₀χ_e E and D=εE with ε=ε₀(1+χ_e)=ε₀ε_r. These simple scalar relations assume the response is linear and ignore anisotropy, strong dispersion and nonlinear effects. In a fully filled, large parallel-plate capacitor with negligible edge effects, D normal to the plates equals the free surface-charge density. If σ_free stays fixed, increasing ε reduces E=σ_free/ε. The bound charges oppose the applied field; their magnitude is not automatically equal to the free plate charge.

For plate area A and spacing d, C=εA/d. Disconnecting the battery fixes free charge Q: V=Q/C falls and stored energy U=Q²/(2C) falls when a dielectric increases C. Leaving an ideal voltage source connected fixes V: Q=CV and stored energy U=CV²/2 both rise. The source supplies energy and moving the dielectric can involve mechanical work; compare the stated electrical energy quantity rather than assuming the capacitor alone is an isolated system. At a material interface n·(D₂−D₁)=σ_free, whereas static tangential E is continuous. Normal E generally changes when permittivity changes.

Magnetisation M is magnetic dipole moment per unit volume, measured in A/m. In SI, B=μ₀(H+M); for a linear isotropic response M=χ_m H and B=μ₀(1+χ_m)H. B and H have different units and roles. A long uniform solenoid has H≈nI when end and demagnetising effects are negligible; material response then changes B. Free surface current sets n×(H₂−H₁)=K_free, and normal B remains continuous. Ferromagnetic hysteresis and saturation cannot be represented by one constant χ_m over every field.

A capacitor is disconnected before inserting a linear dielectric with relative permittivity 4. Free charge stays fixed; capacitance 电容 becomes four times its original value.

If an ideal battery stays connected instead, V is fixed: The source exchanges energy. Do not compare isolated charge and fixed voltage as the same experiment.

Use free charge in the D equation and total charge in the E equation. Do not confuse fixed Q with fixed V, or identify B numerically with H.

electric polarisation: Electric dipole moment per unit volume, P, contributing bound charge.

magnetisation: Magnetic dipole moment per unit volume, M, entering B=μ₀(H+M).

A capacitor voltage and an inductor current cannot change instantly under finite ordinary circuit drives, but their steady-state behaviour is different.

Prerequisites: 14.

• Solve RC charging and discharging with stated initial conditions
• Solve RL current response and account for stored energy
• Use complex impedance, phase and resonance in sinusoidal circuits

For a resistor R in series with a capacitor C and a DC source V_s, Kirchhoff’s voltage law is R dq/dt+q/C=V_s. Define V_C=q/C and τ=RC. After a switch to a constant source, V_C(t)=V_s+(V_C(0)−V_s)exp(−t/τ). An initially uncharged capacitor therefore has V_C=V_s(1−exp(−t/τ)) and charging current I=(V_s/R)exp(−t/τ). With the source removed and the resistor connected across it, V_C=V_C(0)exp(−t/τ). Capacitor voltage is continuous across the switch if there is no impulsive current; the resistor current may change instantly.

In a series RL circuit, Kirchhoff’s law gives L dI/dt+RI=V_s and τ=L/R. The current after a constant drive is I(t)=V_s/R+(I(0)−V_s/R)exp(−t/τ). Inductor current is continuous for a finite voltage; its voltage may change abruptly as switching changes dI/dt. At late times an ideal inductor in a DC circuit acts as a zero-voltage connection, while an ideal capacitor has zero DC current. Stored energies are LI²/2 and CV_C²/2. During decay into a resistor, the initially stored energy becomes resistor heat rather than disappearing when the source is disconnected.

Use the declared phasor convention exp(iωt). A resistor has impedance R, an inductor iωL and a capacitor 1/(iωC)=−i/(ωC). A series RLC circuit therefore has Z=R+iX with X=ωL−1/(ωC). Divide the source voltage phasor by Z to obtain current. Its magnitude is V_rms/sqrt(R²+X²) when rms quantities are used. The impedance phase φ satisfies tanφ=X/R; current lags voltage for X>0 and leads it for X<0. Adding the scalar magnitudes R, ωL and 1/(ωC) loses the vector phase information.

Series resonance occurs at ω₀=1/sqrt(LC) when X=0. Current is maximal for a fixed voltage in this ideal series model, and the voltage/current phase difference is zero. Mean real power is V_rms I_rms cosφ=I_rms²R; ideal L and C exchange energy but dissipate no average power. This differs from transient natural frequency: a damped series circuit can oscillate at sqrt(1/(LC)−(R/(2L))²) when underdamped. Large resistance removes such free oscillation but does not change the condition X=0 of the ideal driven series impedance. State whether a question asks for a step response, free decay or sinusoidal steady state.

An RC circuit switches to fixed source voltage Vs. Charge conservation and Kirchhoff's law give

For R = 2 kilohms, C = 1 millifarad, Vs = 12 V and initial voltage zero, The time constant 时间常数 controls the remaining difference from the final state.

RC has τ=RC, while RL has τ=L/R. Do not confuse current amplitude with rms current, or resonance of a driven impedance with damped free-oscillation frequency.

time constant: The exponential response scale, RC for an RC circuit and L/R for an RL circuit.

impedance: The complex voltage-to-current phasor ratio in sinusoidal steady state.

Inserting a third polariser 偏振片 between crossed filters can increase the transmitted intensity, even though every filter removes energy.

Prerequisites: 3.

• Calculate successive ideal analyser transmissions from the immediate input state
• Distinguish linear, circular and elliptical field motion using relative phase
• Use Brewster incidence with refractive-index and plane-of-incidence conventions

For propagation along z, a transverse electric field can have x and y components. Linear polarisation means the field oscillates along one fixed line; an ideal analyser transmits the projection along its axis. Field amplitude becomes E cosθ, so intensity becomes I cos²θ. Here θ is between the incoming polarisation and that analyser, and I is the intensity immediately before it. An unpolarised beam is a statistical mixture of transverse orientations; an ideal first polariser passes half its mean intensity. The outgoing beam is then linearly polarised along the filter axis. Do not apply a new factor of one half at every later filter, or use one angle to the original source for the whole chain.

After each analyser, update both the intensity and the polarisation direction. For an initially unpolarised beam and ideal axes α₁, α₂, α₃, the final intensity is (I₀/2)cos²(α₂−α₁)cos²(α₃−α₂). Two crossed filters transmit zero in this model; a middle oblique axis changes the direction before the final projection. This increase relative to the crossed pair does not create energy: every step still has transmission between zero and one. Real filters have absorption, imperfect extinction and wavelength dependence. Use the ideal law only when those losses are excluded or separately specified.

Write E_x=A cosωt and E_y=B cos(ωt+δ) at a fixed point. Equal or opposite phases give a line, including a line at an oblique angle; equal nonzero amplitudes and a quarter-cycle phase difference give a circle. Unequal amplitudes at quarter-cycle phase give an ellipse. A quarter-wave plate adds a relative phase of π/2 between its principal axes under its design conditions. A linear input at 45° supplies equal components, so the outgoing field can be circular. A linear input along a principal axis has only one component and remains linear. For circular input, every ideal linear analyser passes half the intensity; handedness requires a declared viewing direction and phase convention.

For incidence from transparent nonmagnetic medium n₁ into n₂, Brewster’s angle measured from the normal satisfies tanθ_B=n₂/n₁. At that angle, the reflected p component, whose electric field lies in the plane of incidence, vanishes in the ideal dielectric model. Reflected light from unpolarised input is then s polarised, perpendicular to that plane. Snell’s law gives a refracted angle complementary to θ_B. This is distinct from the critical-angle condition sinθ_c=n₂/n₁, which needs n₁>n₂ and concerns total internal reflection. Brewster reflection does not imply that the entire incident intensity is reflected or that the transmitted beam is completely polarised.

An ideal first polariser transmits half of unpolarised incident intensity I0. Each later analyser uses the angle from the immediately preceding axis. For axes 0, 30 and 90 degrees,

The field after each filter points along that filter's axis. Using only the first and last axes would predict zero incorrectly.

Malus intensity uses cos² of the angle to the immediately preceding polarisation; a phase plate changes relative phase, while a polariser removes a field component.

Malus’s law 马吕斯定律: Ideal linear-analyser intensity law I_out=I_in cos²θ for linearly polarised input.

Brewster angle 布儒斯特角: Incidence angle at which the reflected p component vanishes for the ideal dielectric interface.

Two equal slits can have the right path difference for constructive interference and still deliver no intensity at that angle.

Prerequisites: 3, 17.

• Derive and evaluate the far-field single-slit intensity using amplitude superposition
• Separate double-slit interference spacing from finite-aperture envelope 包络线 width
• Identify missing orders and state the limits of far-field and small-angle formulas

For a uniformly illuminated slit of width a, far-field contributions across its opening arrive with a phase gradient k sinθ. Add their complex amplitudes before squaring: the normalised integral over x from −a/2 to a/2 is sinβ/β, where β=πa sinθ/λ. The intensity ratio is (sinβ/β)². At θ=0 take the limit sinβ/β→1, rather than calling the centre undefined or dark. Zeros occur at a sinθ=mλ with nonzero integer m. The central peak lies between the first zeros and is twice as wide as one adjacent zero-to-zero interval in sinθ. Side-peak maxima are not exactly halfway between their zeros.

At small angles on a distant screen L away, y≈Lθ and sinθ≈θ give first zeros y≈±Lλ/a. Thus the central width is 2Lλ/a. Use metres consistently: a millimetre slit and a nanometre wavelength differ by six powers of ten. For a wider angle, use θ=asin(mλ/a) and y=L tanθ; the small-angle y expression then becomes inaccurate. Far-field conditions need nearly parallel rays from different parts of the aperture, for example L much greater than a²/λ, or the equivalent focal-plane arrangement. Near-field Fresnel patterns cannot be assigned this intensity law blindly.

For two coherent identical uniformly illuminated slits of width a and centre separation d, the normalised pattern is (sinβ/β)² cos²α, with α=πd sinθ/λ and central intensity as the normalisation. The cos² factor produces interference orders d sinθ=nλ; the single-slit factor gives the broader envelope zeros. Small-angle neighbouring interference spacing is λL/d. Increasing d narrows fringe spacing; increasing a narrows the envelope. These are separate changes. The equal-height narrow-slit interference formula alone does not predict the diminishing brightness or missing orders of finite apertures. Incoherent sources do not maintain the same phase-dependent cross term.

A missing order 缺级 occurs when nλ/d=mλ/a simultaneously, giving n=m d/a. If d/a is an integer r, orders ±r, ±2r and so on are cancelled by aperture zeros. Do not count an order at an envelope boundary as a visible bright fringe. In the central envelope, the nominal interference-order centres satisfy |n|<d/a; when r is an integer there are 2r−1 such centres. For finite slit width, exact local maxima are shifted slightly by the changing envelope, so the interference-order locations are an approximation to observed peak centres. Identify what quantity is being requested before treating every cos² maximum as an exact maximum of the product.

For two finite slits, separate interference spacing from the single-slit envelope.

If d = 5a, the first envelope zero $a\sin\theta=\lambda$ coincides with order n = 5. Nominal order centres in the central envelope are n = -4 through +4: nine in total. These are interference centres; the envelope can shift the exact product maxima slightly.

Add field amplitudes before squaring, distinguish a from d, and exclude dark boundary orders. An interference maximum alone does not guarantee a maximum of the full pattern.

diffraction envelope 衍射包络: The aperture-dependent intensity factor that modulates the interference pattern.

missing order: An interference order cancelled because it coincides with an aperture intensity zero.

A negative image distance is a geometric result that locates a virtual image 虚像, not a failed calculation to replace by its absolute value.

Prerequisites: 3.

• Locate paraxial thin-lens and spherical-mirror images with a declared sign convention
• Use signed magnification to classify orientation and real or virtual character
• Track successive image locations as the next element’s object without resetting geometry

Use the real-is-positive convention for this unit: a real object sends diverging incident rays into the element, so s>0; an already converging incident beam can represent a virtual object, s<0. A real image has s′>0, while a virtual image has s′<0. The paraxial equation is 1/f=1/s+1/s′ and transverse magnification 横向放大率 M=−s′/s. A converging lens 会聚透镜 has f>0 and a diverging lens f<0. For left-to-right light and a real object at x<0 relative to a lens at x=0, a real image lies at x=s′>0; a negative s′ puts its virtual image on the input side. State the convention before substitution, as other signed-coordinate conventions give different-looking equations.

For a converging thin lens, a ray parallel to the axis exits through the far focal point, and a ray through the ideal optical centre continues undeviated. Their intersection identifies a real image; backwards extensions can locate a virtual image. The paraxial approximation uses rays close to the axis and neglects thickness and aberrations. With s>f>0, s′ is positive and M is negative: the image is real and inverted. With 0<s<f, s′ is negative and M is positive: the image is virtual, upright and enlarged. At s=f, emerging rays are parallel and no finite image plane exists. A diverging lens with a real object produces an upright reduced virtual image.

For a spherical mirror in the same real-is-positive convention, concave f>0 and convex f<0, with f=R/2 in the paraxial limit. A real reflected image is in front of the mirror on the incoming-light side; a virtual image is behind it. Thus a positive image distance has a different physical side for a mirror than for a transmitting lens. A parallel ray reflects through the concave focus; a ray aimed through the centre of curvature retraces its path. Convex reflected rays diverge as if from the focus behind the mirror. Use the same equation and M=−s′/s with signed values, rather than silently combining mirror geometry with a lens coordinate diagram.

For a sequence of separated lenses, first calculate the actual image coordinate from the first lens. Relative to the next lens, decide whether the incoming rays diverge from a point before it or are still converging toward a point beyond it; these are real and virtual objects respectively. Only then assign its signed object distance and solve again. Total transverse magnification is the product of the individual signed magnifications for aligned paraxial elements. Element separation is not automatically the second object distance. Geometric real/virtual character depends on convergence, not on whether the final image is magnified. These ideal results do not model wave-optical resolution or spherical/chromatic aberration.

Use real-is-positive distances and positive focal length for a converging lens. With f = 12 cm and real object distance s = 8 cm,

Thus s' = -24 cm and $M=-s'/s=+3$. The virtual image is upright, on the object's side. Signed distances identify the physical side; a negative distance is not an arithmetic failure.

Keep signs until the geometry is interpreted; a positive mirror image lies on the incident side, while a positive transmitting-lens image lies on the outgoing side.

virtual image: An apparent image located by backwards ray extensions rather than actual outgoing-ray convergence.

transverse magnification: Signed image-height to object-height ratio, −s′/s in the declared convention.

Two wall layers in series carry the same steady heat rate 热流率, but their temperature drops need not be equal.

Prerequisites: 4.

• Combine conductive thermal resistances and distinguish heat rate from heat flux
• Balance sensible and latent heat 潜热 with stated isolation and heat-capacity conditions
• Calculate free thermal expansion and constrained thermal stress with their limits

For one-dimensional steady conduction through a uniform slab, Fourier’s law gives heat flux q_x=−κ dT/dx. With constant conductivity κ, area A, length L and hot-to-cold temperature difference ΔT, heat rate is Qdot=κAΔT/L. Define thermal resistance 热阻 R_th=L/(κA), measured in K/W; temperature drop is Qdot R_th. Series layers without internal sources carry the same Qdot and their resistances add. Parallel paths at the same endpoint temperatures have heat rates that add, so inverse resistances add. Heat flux is rate per area, W/m², and need not match between layers of different area. Interface contact resistance and heat leakage must be included if specified.

Heat capacity C=dQ/dT depends on the thermodynamic path and is not the same as specific heat c per mass. For a material interval without a phase transition, Q=∫mc(T)dT, or mcΔT when c is constant. In an isolated calorimeter, sum the energy changes of all objects, including the container when relevant, and set the sum to zero. At a phase transition at its equilibrium temperature, added energy can change phase fraction rather than temperature: Q=mℓ uses latent heat ℓ in J/kg. First supply the sensible heat to reach the transition, then budget latent heat. Do not let a simple weighted-temperature average predict an impossible temperature when melting or freezing is part of the process.

For a freely expanding rod and small temperature change, ΔL≈αL₀ΔT with linear expansion coefficient α. For an isotropic solid with small strain, each dimension acquires factor 1+αΔT, so ΔA/A≈2αΔT and ΔV/V≈3αΔT. A hole expands with the surrounding material as if its missing region had expanded too. These relations assume a nearly constant coefficient and no mechanical constraint; anisotropic crystals need directional coefficients. If an elastic rod is prevented from changing length, its mechanical strain cancels thermal strain. With tensile stress positive, σ≈−YαΔT during heating, where Y is Young’s modulus. This small-strain estimate requires elastic response without yielding or buckling.

Conduction transfers energy through a temperature gradient, convection transports it with moving matter, and thermal radiation can cross a vacuum. For a surface at T facing large surroundings at T_env, a simple grey-body model gives net radiative rate εσ_SB A(T⁴−T_env⁴). Use absolute kelvin in these fourth powers, rather than Celsius values. A lumped body whose internal temperature remains nearly uniform can obey C dT/dt=−hA(T−T_env) under Newton cooling with constant h. Then the temperature excess decays with τ=C/(hA), rather than the entire Celsius or kelvin temperature decaying toward zero. This approximation requires sufficiently small internal gradients; a conduction-limited body needs a spatial temperature model.

Two slabs in series carry the same steady heat rate. Let resistances be 0.08 and 0.24 K/W. Boundary temperatures are 60 and 20 degrees Celsius.

The interface is 50 degrees Celsius when slab 1 touches the hot side. Heat rate has watt units; flux divides it by area.

Keep W separate from W/m², include the calorimeter or latent energy when needed, and do not use free-expansion length together with constrained-stress assumptions.

thermal resistance: Temperature difference per steady heat-transfer rate, measured in K/W.

latent heat: Energy transferred during a phase change at its transition temperature; specific latent heat is per mass.

A thermal energy gap can keep heat capacity small at both low and high temperatures, even while the excited-state probability keeps increasing.

Prerequisites: 20.

• Obtain canonical mean energy and free energy from a fixed energy spectrum
• Relate energy variance to constant-volume heat capacity with fixed-spectrum conditions
• Evaluate entropy and low/high-temperature limits for an original finite-level model

For a system exchanging energy with a bath at T while N and V remain fixed, let β=1/(kBT). Sum Z=Σ_i g_i exp(−βE_i) over energy levels with their degeneracies. Level probability is g_i exp(−βE_i)/Z; mean energy U is the probability-weighted energy sum. Differentiating a temperature-independent spectrum gives U=−∂lnZ/∂β. Keep the energy gap and degeneracies fixed during the derivative. Writing Δ=kBT ln3 to describe one evaluation temperature must not be read as making Δ change with T. For N independent distinguishable identical two-level subsystems, Z_total=z^N and U_total=N u. Indistinguishable particles and interactions need their own state counting rather than this product assumption.

The Helmholtz free energy 亥姆霍兹自由能 is F=−kBT lnZ. Canonical entropy follows from S=kB(lnZ+βU), equivalently −kBΣ p_j ln p_j over individual microstates. Constant-volume heat capacity is C_V=(∂U/∂T)_V,N. These quantities carry different units and describe different derivatives. Adding a constant energy offset ε to every state multiplies Z by exp(−βε), increases U and F by ε, and leaves probabilities, entropy and heat capacity unchanged when ε is independent of T. A negative chosen mean energy is therefore not evidence of a negative heat capacity. Use the same energy reference in the probabilities and thermodynamic expressions.

The second β derivative of lnZ gives variance Var(E)=⟨E²⟩−U². For the same fixed-spectrum canonical model, C_V=Var(E)/(kBT²), so C_V/kB=β²Var(E). Nonnegative variance implies nonnegative C_V within these conditions. The denominator includes kB, not kB², when heat capacity retains its ordinary J/K units. This fluctuation formula concerns the canonical energy distribution; it does not say each particle has exactly the mean energy. For independent subsystems variances add, while means add too. Relative energy fluctuations typically shrink like 1/√N when the mean and per-subsystem variance remain finite and nonzero.

For one ground state at E=0 and one excited state at fixed E=Δ>0, put x=Δ/(kBT). Then z=1+e^(−x), p_exc=1/(1+e^x), u=Δp_exc and C/kB=x²e^x/(1+e^x)². At low T, excitation and heat capacity vanish exponentially. At high T, p_exc tends to one half and energy saturates, so heat capacity tends to zero again. Entropy rises from zero for the unique ground state toward kB ln2 as the two states become equiprobable. The resulting finite-temperature heat-capacity peak is specific to the finite-level model; it is not the constant classical oscillator value. Ground-state degeneracy or additional levels would change the limiting entropy and temperature response.

Hold the two energy levels 0 and Delta fixed when differentiating the partition function 配分函数.

At $\beta\Delta=\ln3$, excited probability is 1/4, mean energy Delta/4, variance $3\Delta^2/16$ and $C_V/k_B=3(\ln3)^2/16=0.2263$. Degeneracy, if present, belongs in Z before differentiation.

Hold Δ fixed when differentiating, include degeneracies in Z, and use energy variance rather than the square of mean energy in the heat-capacity formula.

energy fluctuation 能量涨落: Canonical spread of energy about its ensemble mean, quantified by the energy variance.

Helmholtz free energy: Thermodynamic potential F=U−TS, equal to −kBT lnZ for the canonical ensemble.

A fermionic energy level can contain several particles when it contains several distinct states; the exclusion rule applies per complete state.

Prerequisites: 20, 35, 38.

• Compute mean occupation 平均占据数 per complete quantum state for fermions and bosons
• Count allowed identical-particle occupations and identify the classical dilute limit
• Compare classical quadratic-mode heat capacity with a quantum oscillator response

For noninteracting particles in thermal and particle exchange equilibrium, use chemical potential μ and x=(ε−μ)/(kBT). Mean occupation of one complete state is n_F=1/(e^x+1) for fermions and n_B=1/(e^x−1) for bosons. Fermionic occupation of that state is zero or one; its mean lies between them. Bosonic occupation can exceed one. A level of degeneracy g has total mean g times the single-state occupation when its states share the same energy. Count spin as part of a complete state. The Bose denominator requires ε>μ for the ordinary finite expression, with the ground-state limit treated separately. For equilibrium photons μ=0 because photon number is not conserved; do not set μ=0 for every material particle gas.

Count occupation patterns rather than labelling identical particles. Two identical fermions distributed among four distinct complete states have choose(4,2)=6 allowed patterns. Two identical bosons among those states have choose(4+2−1,2)=10 patterns because both may share one state. Two labelled distinguishable particles would have 4²=16 assignments. These are different counting models, not three interchangeable answers to the same specification. If a question supplies spin degeneracy, first decide whether its stated number counts complete states or just orbital levels. A Pauli prohibition on two identical complete states does not prohibit opposite-spin fermions in one spatial orbital.

When x is large and positive, occupation is small and both denominators are dominated by e^x: n_F≈n_B≈e^(−x), the Maxwell–Boltzmann dilute limit. At x=ln4 the means are 1/5 for fermions, 1/3 for bosons and 1/4 in the classical approximation; the difference is still significant. A large total particle number alone does not justify classical statistics: density, temperature and accessible states control occupation. For fermions at low T, states below μ become nearly occupied and those above nearly empty. At ε=μ a fermionic state has mean one half; inserting that value into the ordinary Bose formula would instead produce a divergent denominator and requires different limiting treatment.

Classical equipartition assigns kBT/2 of mean energy to each independent quadratic term in an equilibrated Hamiltonian. A monatomic ideal gas has three translational terms, giving U=3NkBT/2 and C_V=3NkB/2. One classical one-dimensional harmonic oscillator has kinetic and potential terms, giving mean kBT and C=kB. For a quantum oscillator with fixed spacing ε=$\hbar$ω, the thermal energy above its temperature-independent zero point is ε/(e^x−1), now x=ε/(kBT), and C/kB=x²e^x/(e^x−1)². At high T it approaches the classical value; at low T excitation freezes out and C→0. A zero-point energy ε/2 shifts U but not C. Molecular rotational/vibrational contributions likewise need their energy scales checked before assigning classical quadratic terms.

Occupation number 占据数 refers to one complete single-particle state. For $x=(\epsilon-\mu)/(k_BT)=\ln4$,

The classical dilute approximation gives $e^{-x}=1/4$; it is not exact here. A g-fold level has mean total occupation $g\bar n$, so a fermionic level can contain more than one particle while each complete state still obeys exclusion.

Exclude two fermions from one complete state, not from an entire degenerate energy level. State which x is used; chemical-potential occupations and fixed oscillator excitation formulas are different models.

mean occupation: Ensemble average number of particles in one complete quantum state or a specified group of states.

equipartition: Classical equilibrium rule assigning kBT/2 to each independent quadratic Hamiltonian term.

שינוי אנרגיה מהסדר הראשון אפס יכול להתקיים במקביל למצב משתנה ושינוי מהסדר הגבוה יותר שאינו אפס.

דרישות מקדימות: 5, 24.

• לחשב שינויי אנרגיה מהסדר הראשון עבור מצבים לא-מדורגים כערכי ציפייה נורמליים
• להשתמש בסימטריה ובאלמנטים של מטריצה כדי להעריך גבולות זיום חלשים
• לדיאגונליזציה את הפערטורבציה בתוך תת-חלל מדורג בדיוק

תנו H=H₀+λW, כאשר λ הוא פרמטר ממדי קטן והמצבים העצמיים של H₀ ידועים ומנורמלים. עבור רמה לא-מדורגת n, התיקון האנרגטי מהסדר הראשון הוא λ⟨n|W|n⟩. במרחב המיקום זהו λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx עבור פוטנציאל מכפילי, עם אינטגרציה על התחום המותר. ערך פוטנציאל בנקודה אחת אינו ערך ציפייה; צפיפות probability של המצב משקלת את כל התחום. עבור באר אינסופית ⟨0<x<L, ψ_n=√(2/L)sin(nπx/L). סימטריה ביחס למרכז גורמת לכך ש-⟨x⟩=L/2, ולכן פוטנציאל תוספת חלש γx גורם לשינוי γL/2 לכל רמת באר לא-מדורגת מהסדר הראשון. ל-γ יש יחידות של אנרגיה ליחידת אורך.

עבור פערטורבציה אי-זוגית ביחס למרכז, כמו γ(x−L/2), צפיפות ה-probability של מצב עצמי של באר לא-מודעה היא זוגית, ולכן ערכה הצלועי מתאפס. פערטורבציה ריבועית ממוקדת η(x−L/2)² מעניקה במקום זאת שינוי ηL²[1/12−1/(2π²n²)], שהוא חיובי עבור η>0 ותלוי ב-n. הפריות גורמת לאינטגרל מהסדר הראשון להתאפס רק עבור המצב והסימטריה של האופרטור הספציפיים. אלמנטים של מטריצה לא-צלועיים עדיין יכולים לשנות את פונקציית הגל. אל תמירו ביטול סימטריה בטענה שכל תיקון אנרגטי מתאפס או שהמצ המקורי נשאר מדויק.

עבור מצב לא-מדורג, ההתמזגות הדומיננטית של מצב לא-מודעה אחר m פרופורציונלית ל-λW_mn/(E_n⁰−E_m⁰). לכן תנאי הקטנות המשמעותי משווה אלמנטים של מטריצת הזיום עם הפרשי הרמות הרלוונטיים, ולא רק עם אפס אנרגיה מוחלט ארביטרי. מהסדר השני, התיקון האנרגטי מכיל Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰−E_m⁰). עבור המצב הלא-מדורג הנמוך ביותר, כל המכנים שלפני הם שליליים, ולכן התיקון מהסדר השני הוא לא-חיובי בדגם זה. סמוך לדירוג, מכנה קטן מבטל את פיתוח הלא-מדורג; השתמשו בתת-חלל מצומד במקום לחלק באפס.

אם רמה של H₀ מדורגת בדיוק, בחרו בסיס אורתוגונלי מנורמל בתוך תת-החלל הזה ויצרו את המטריצה ההרמיטית של הפערטורבציה שם. הערכים העצמיים שלה הם שינויי האנרגיה מהסדר הראשון, והווקטורים העצמיים שלה מגדירים את השילובים שמדיאגונליזרים את הפיצול המוביל. עבור תת-חלל דו-מצבי עם פערטורבציה ε[[2,1],[1,2]], השילובים הסימטריים והאנטי-סימטריים המנורמלים יש שינויים 3ε ו-ε. קריאה רק בשני האיברים הדיאגונליים תגרום לחזות שגויה של שני שינויים בגודל 2ε. מכפלה סקלרית שגויה של המזהה מזיזה את שני המצבים באותו שיעור ואינה מפיכה את הדירוג שלהם; זיומים מחוץ לתת-החלל יכולים להיות רלוונטיים מהסדר הגבוה יותר.

תת-חלל מדורג דורש דיאגונליזציה של מטריצה לפני חישוב שינויי האנרגיה מהסדר הראשון. הנח כי ההפרעה המוגבלת לשני מצבים היא $\epsilon\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$.

השינויים הם epsilon ו-3 epsilon. המצבים המנורמלים הם $(1,-1)/\sqrt2$ ו-$(1,1)/\sqrt2$. קריאה רק מהכניסות האלכסוניות תעביר את הפיצול. הזיווגים עם רמות אחרות חייבים להישאר חלשים ביחס למרווחי האנרגיה שלהם.

השתמשו במשקלי מצבים מנורמלים, שמרו על יחידות ההפרעה, ודיאגנליזציינו בלוק דגנרטי. ביטול מסדר ראשון ואינвариנטיות מדויקת הן טענות שונות.

שינוי אנרגיה מסדר ראשון: תיקון מוביל בהפרעה חלשה הנתון על ידי ערך הצפוי של המצב ללא הפרעה.

תיאוריית ההפרעה הדאגנרטית: שיטה שמדיagonalize (מאלכסנית) תחילה את ההפרעה בתוך תת-חלל דאגנרטי ללא הפרעה.

Two electrons can share one spatial orbital if their complete spatial-plus-spin state has the required antisymmetry.

Prerequisites: 5, 36.

• Construct normalised symmetric and antisymmetric 反对称 two-orbital spatial states
• Combine spatial and spin symmetry to produce allowed two-electron states
• Count complete-state occupations and interpret exchange-induced correlations

For identical particles, exchanging every coordinate and spin label changes a fermionic total wavefunction by a minus sign and leaves a bosonic one unchanged. Mathematical slots 1 and 2 label arguments, not permanently distinguishable particles. For two distinct orthonormal orbitals a and b, spatial combinations are Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2. Orthogonality makes these combinations normalised and gives exchange eigenvalues ±1. If the two orbitals are identical, the antisymmetric combination is identically zero and the displayed symmetric formula is not correctly normalised; the double-occupation spatial state is simply a(1)a(2). Recheck normalization whenever orbitals or their overlaps change.

Two spin-1/2 particles have one spin singlet 自旋单态 (↑↓−↓↑)/√2 with total spin S=0; it is antisymmetric under exchange. The three triplets ↑↑, (↑↓+↓↑)/√2 and ↓↓ have S=1 and are symmetric. Electrons require an antisymmetric total state, so a symmetric spatial state pairs with the singlet, while an antisymmetric spatial state pairs with a triplet. Two electrons in the same spatial orbital can form the singlet, but cannot form a triplet there in this simple two-electron state. Pauli exclusion prevents occupation of the same complete single-particle state, including spin. Opposite-spin electrons in one orbital are two different complete states; describing exclusion as one electron per orbital discards this distinction.

For two spatial orbitals a,b and two spin states each, there are four complete single-particle states. Two identical electrons have choose(4,2)=6 occupation patterns: two double-occupation singlets, one different-orbital singlet, and three different-orbital triplets. For three spatial orbitals, there are six complete states and choose(6,2)=15 patterns. Counting ordered assignments overcounts identical particles. Spinless bosons in two orbitals instead have three occupations: both in a, one in each, both in b. These counts assume no additional energy restriction and the stated accessible single-particle states; restricting total energy or spin projection changes the allowed subset.

An antisymmetric spatial state satisfies Ψ_−(x,x)=0, so its joint position density vanishes on the coincidence line. A symmetric spatial state need not vanish there. The difference arises from interference between exchanged amplitudes, even for noninteracting particles; it is not a separately imposed classical repulsive force. For a well of length L, choose a(x)=√(2/L)sin(πx/L), b(x)=√(2/L)sin(2πx/L). At x₁=L/4 and x₂=3L/4, the antisymmetric spatial amplitude is −2/L and its density is 4/L²; the symmetric amplitude is zero. These are joint probability densities per two lengths, not dimensionless probabilities at exact points. Physical spin compatibility still decides which total electronic state uses each spatial combination.

For orthonormal different orbitals a and b, symmetric and antisymmetric spatial states are

A two-electron total state must be antisymmetric under simultaneous exchange of position and spin. Thus symmetric space pairs with the spin singlet; antisymmetric space pairs with triplet spin. If both electrons occupy a, the spatial product is symmetric and only singlet spin is allowed. The different-orbital normalisation formula cannot simply be reused for a = b.

Exchange all spatial and spin arguments. Do not confuse antisymmetric space with antisymmetric total state, or use the distinct-orbital √2 factor for two identical orbitals.

spin singlet: Antisymmetric two-spin-1/2 state with total spin S=0.

Slater determinant 斯莱特行列式: Antisymmetric fermionic construction from complete single-particle states; duplicate states make it vanish.

A bound wavefunction can extend outside a finite well 有限深势阱 even though the particle’s energy is below the external potential.

Prerequisites: 5, 24, 37.

• Match decaying finite-well states and derive parity-dependent quantisation conditions
• Interpret dimensionless bound-state roots and distinguish confinement from scattering
• Use hydrogenic quantum numbers, angular momentum and radial probability measures

Declare a symmetric well V=−V₀ for |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 and the same mass throughout. A bound energy lies between −V₀ and zero. Inside, k=√[2m(E+V₀)]/$\hbar$ gives oscillatory solutions; outside, κ=√(−2mE)/$\hbar$ gives decaying tails. Reject growing exponentials to obtain a normalisable state. Reflection symmetry permits even interior cos(kx) or odd sin(kx) states. At finite boundaries without delta interactions, both ψ and ψ′ are continuous. Even matching gives k tan(ka)=κ; odd matching gives −k cot(ka)=κ. A finite well does not require ψ to vanish at its edges as an infinite wall does.

Introduce z=ka and ρ=a√(2mV₀)/$\hbar$. Then κa=√(ρ²−z²) and 0<z<ρ. Solve z tan z=√(ρ²−z²) for an even state, or −z cot z=√(ρ²−z²) for an odd one, on intervals with the appropriate sign and away from tangent poles. Energy follows as E/V₀=z²/ρ²−1. For ρ=1, the ground root lies in 0<z<1 and the even equation is equivalent there to z=cos z. Bisection or a converged root finder gives z≈0.739085 and E/V₀≈−0.453753. Since ρ<π/2, no odd bound-state branch fits. In one dimension an attractive square well has an even bound ground state however shallow it is; an E=0 threshold tail is not square integrable.

For an even bound state 束缚态 write ψ=A cos(kx) inside and ψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] outside. Continuity sets the relative tail amplitude; integrate |ψ|² over both the interior and tails to determine A. Probability outside the well is nonzero and depends on its depth, width and the selected state. Bound states have discrete energies and normalisable decaying asymptotes. A scattering state with E>0 has propagating external waves and is normalised or interpreted using a continuum/flux convention. A decaying tail is not evidence that the state violates energy conservation, and raw tail amplitude is not the outside probability until it has been integrated and normalised.

For a one-electron Coulomb ion with nuclear charge Ze, use the nonrelativistic central-potential model and a heavy nucleus approximation unless reduced mass is specified. E_n≈−13.6 Z²/n² eV; allowed orbital numbers are n≥1, l=0,…,n−1 and m_l=−l,…,l. L² has eigenvalue l(l+1)$\hbar$² and L_z=m_l$\hbar$; the ground 1s orbital has l=0, despite the historical Bohr circular-orbit rule. Spatial degeneracy at fixed n is Σ_l(2l+1)=n² before spin and fine-structure corrections. If ψ=R_nl(r)Y_lm with angular part normalised, radial probability in dr is r²|R|²dr, not just |R|²dr. For hydrogen 1s, the radial density is 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³: it peaks at r=a₀ and has mean 3a₀/2, while the three-dimensional point density is largest at the origin. Distinguish these measures before locating a most probable radius.

A finite well has V = -V0 for $|x|<a$ and zero outside. A bound energy lies strictly between -V0 and zero. Define

Even parity gives an interior cosine and decaying tails. Matching value and derivative at a gives Odd parity instead gives $-k\cot(ka)=\kappa$. Solve only within valid parity intervals; a root at a tangent pole is not a bound state.

Use the declared potential zero, match ψ′ as well as ψ, and include the radial shell measure. A bound tail and a continuum travelling wave have different energy regimes.

bound state: Normalisable stationary state with confined probability and discrete energy in the specified model.

radial probability density 径向概率密度: Probability per radial distance, including the spherical-shell measure after angular integration.

The same magnetic field needs different quantum labels when its energy scale crosses the spin-orbit splitting.

Prerequisites: 7, 37.

• Calculate orbital and spin magnetic shifts in the appropriate coupling regime
• Find photon-energy shifts from allowed upper-minus-lower level changes
• Contrast parity cancellation with degenerate electric-field splitting

An electron has a negative magnetic moment: μ_L=−μ_B L/$\hbar$ and μ_S≈−2μ_B S/$\hbar$. With B along positive z, the interaction −μ·B therefore gives H_Z=μ_B B(L_z+2S_z)/$\hbar$. μ_B≈5.788×10⁻⁵ eV/T. In an uncoupled basis with orbital projection m_l and spin projection m_s=±1/2, the shift is μ_B B(m_l+2m_s). Use this uncoupled rule when the magnetic interaction is large relative to the relevant spin-orbit splitting but still small relative to orbital energy gaps, so quadratic diamagnetic and orbital restructuring effects can be neglected. Large and small are comparisons of energies, not universal Tesla thresholds. In the opposite weak-field regime, m_l and m_s are not independently conserved labels for an LS-coupled eigenstate.

When LS coupling dominates a weak magnetic perturbation, J=L+S and m_J label the multiplet. The first-order shift is μ_B B g_J m_J, with g_J=1+[J(J+1)+S(S+1)−L(L+1)]/[2J(J+1)] in the approximation g_s=2. L,S,J here are dimensionless quantum numbers. For L=1,S=1/2, J=3/2 gives g_J=4/3 and shifts −2,−2/3,+2/3,+2 times μ_B B. J=1/2 gives g_J=2/3 and shifts ±μ_B B/3. Do not substitute J=0 into the singular formula; a J=0 state has no first-order vector projection shift. Intermediate fields require a coupled Hamiltonian rather than mixing weak-field and uncoupled formulas.

A photon’s energy is the upper atomic energy minus the lower energy. Its field-induced change is therefore ΔE_γ=ΔE_upper−ΔE_lower. Count allowed transitions using the stated selection rules as well as the two level patterns. Several transitions can share one frequency; the number of split states is not automatically the number of spectral lines. In a spin-neglected orbital model, an upper L=1 triplet has shifts m_l μ_B B with m_l=−1,0,+1, and a lower L=0 state has zero shift. Electric-dipole Δm_l=0,±1 permits three photon shifts −μ_B B,0,+μ_B B. This normal-triplet model does not describe every real atom or fine-structure multiplet. Polarisation and observation direction can change which components are detected.

In a uniform electric field F along z, an electron’s perturbation is +eFz for the stated electrostatic potential convention. A nondegenerate parity eigenstate has ⟨z⟩=0, so its first-order diagonal Stark shift vanishes, although a quadratic shift can remain. Exactly degenerate opposite-parity states instead allow an off-diagonal dipole matrix element. In an original two-state model, suppose the dipole matrix is [[0,d],[d,0]], with real d in charge×length units. The perturbation F times this matrix has eigenvalues ±dF and opposite superpositions of the two states. Changing a basis phase changes the off-diagonal sign but not the splitting 2|dF|. Actual near-degenerate atoms require comparison with fine structure and other small splittings before an exactly degenerate approximation is adopted; this supplied matrix is not a universal hydrogen coefficient.

In weak LS-coupled magnetic fields, the Zeeman effect 塞曼效应 uses J, not uncoupled ml and ms.

For L = 1, S = 1/2 and J = 3/2, $g_J=4/3$. Select the field regime before inserting quantum numbers. Photon shifts subtract the lower-level shift.

Declare the coupling regime, keep the negative electron moment sign, and subtract lower-level shifts. Zero diagonal dipole expectation does not exclude degenerate mixing or quadratic shifts.

Landé factor 朗德因子: Projection factor relating a weak-field LS-coupled magnetic shift to g_J m_J.

Stark splitting 斯塔克分裂: Electric-field-induced separation of atomic energy levels, with symmetry and degeneracy controlling leading order.

A spectral peak, a total radiation flux and an atomic transition energy are three different observables.

Prerequisites: 7, 9, 34.

• Distinguish wavelength spectral peak, integrated radiation and photon energy
• Derive Bohr radius and energy scaling under one-electron assumptions
• Calculate Coulomb-ion transitions, series limits and ionisation thresholds

For ideal thermal equilibrium radiation, Planck’s wavelength spectral radiance 光谱辐亮度 is B_λ=2hc²/{λ⁵[exp(hc/(λk_B T))−1]}. B_λ is per wavelength interval and per solid angle, not a total power. A blackbody’s hemispheric surface flux spectrum is M_λ=πB_λ; integrating over all wavelengths gives σ_SB T⁴. All temperatures are absolute Kelvin. The wavelength peak obeys λ_max T≈2.898×10⁻³ m·K. A spectrum per frequency has a different peak because B_ν dν and B_λ dλ include a Jacobian; c/λ_max is not the peak frequency of B_ν. Increasing T moves the wavelength peak shorter and increases the integrated flux by T⁴, not by the peak-position ratio alone.

For an original uniform grey surface of area A and wavelength-independent emissivity ε, net radiative power to a large uniform environment is εσ_SB A(T⁴−T_env⁴) under the stated view-factor assumptions. Use σ_SB≈5.670×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴. Spectrally varying emissivity or incomplete surroundings requires a more detailed model. A photon at a specified wavelength has E=hc/λ, conveniently about 1240 eV·nm/λ_nm. A thermal spectrum contains many photon energies; a photon at the wavelength peak is not the mean energy of every photon. For T=3000 K, λ_max≈966 nm; its photon energy is about 1.284 eV. A surface with A=2×10⁻⁴ m² and ε=0.5 emits 459.27 W to a negligibly cold environment.

In the historical Bohr one-electron model with a heavy nucleus of charge Ze, Coulomb force m_e v²/r=Ze²/(4πε₀r²) and angular momentum m_e vr=n$\hbar$ lead to r_n=a₀n²/Z, v_n=Zαc/n and E_n≈−13.6Z²/n² eV. The radius scales with n²/Z while binding energy scales with Z²/n²; do not use the same charge power in both. These circular-orbit assumptions are a historical scaling model. Wave-mechanical angular momentum is √[l(l+1)]$\hbar$ with l=0,…,n−1, so a 1s orbital has zero orbital angular momentum rather than the Bohr n$\hbar$ value. Reduced-mass corrections replace m_e with μ: Coulomb radius scales as 1/μ and energy as μ. Multielectron screening, large-Z relativistic corrections and fine structure are outside the simple model.

For an emission ni→nf with ni>nf, E_γ≈13.6Z²(1/nf²−1/ni²) eV. Convert this positive difference to λ≈1240/E_γ nm. Ionisation from n requires energy 13.6Z²/n² eV to reach the continuum zero. Absorption reverses the level ordering and needs the corresponding positive incoming photon energy. For a series ending at fixed nf, the largest bound-bound photon energy occurs as ni→∞, giving E_limit=13.6Z²/nf² and the shortest series wavelength. For one-electron helium Z=2, n=3→2 gives 7.5556 eV and λ≈164.12 nm. Its Bohr n=3 radius is 4.5a₀; this radius describes the historical orbit, not a universal radial mode for every l at n=3.

Wien's law 维恩定律 refers to the wavelength-density peak of a blackbody spectrum.

A photon at that wavelength has energy The source emits a distribution of photon energies. Its integrated surface flux is $\sigma T^4$, and the frequency-density peak is not obtained by simply using c divided by this peak wavelength.

Declare a wavelength or frequency density, use Kelvin for fourth powers, and distinguish transitions from ionisation. A Bohr circular radius and angular momentum are not every wave orbital’s radius and L.

spectral radiance: Radiation intensity per projected area, solid angle and stated spectral interval.

series limit 谱线系限: Limiting bound-bound photon energy or wavelength as the initial level approaches the continuum for a fixed final level.

Two observers can disagree about which of two events happened first, and both can be right.

Prerequisites: 22.

• Transform event separations and identify proper length 固有长度 versus simultaneous endpoint readings
• Apply relativistic velocity addition and check a four-vector invariant
• Classify the interval sign to order events and rule out causal contact

Use the Lorentz transformation with declared frame motion: if frame S′ moves at +v along x relative to S, then x′=γ(x−vt) and t′=γ(t−vx/c²) with γ=1/sqrt(1−v²/c²). Apply it to event separations Δx and Δt, not only to single coordinates. Two events simultaneous in S (Δt=0) at different places have Δt′=−γvΔx/c²: the event further in the +x direction happens earlier in S′. Simultaneity is frame-dependent, not a bookkeeping error.

A moving rod length must be read from endpoint positions at the same lab time (Δt=0). Then Δx′=γΔx gives L=L0/γ with L0 the rest-frame (proper) length. Reading the endpoints simultaneously in the rod frame instead does not produce the lab length; the two reading conditions answer different questions. State the frame and the reading condition before quoting any length.

The interval s²=c²Δt²−Δx² (mostly-minus convention, declared once) is invariant. s²>0 is timelike: a frame exists with the events co-located, and Δτ=s/c is the proper time between them. s²<0 is spacelike: a frame exists with the events simultaneous, and sqrt(−s²) is the proper distance. s²=0 is lightlike. Timelike order is the same in every frame; spacelike order can swap, and no signal can join the events because |Δx/Δt|>c.

Collinear velocities add as u=(u′+v)/(1+u′v/c²); the denominator keeps u<c for any u′,v<c, and u′=c gives u=c exactly. Energy and momentum form a four-vector with invariant E²−p²c²=m²c⁴: compute it in any convenient frame. Check each result in the nonrelativistic limit, where the addition rule reduces to u=u′+v and the invariant reduces to the rest energy.

Two lab events have Delta x = 900 m and Delta t = 2 microseconds. Their spacetime interval 时空间隔 is spacelike because c Delta t = 600 m is less than Delta x. A frame making them simultaneous satisfies

Their separation in that frame is $\sqrt{\Delta x^2-c^2\Delta t^2}=670.8$ m. No frame can put these spacelike events at the same position.

Quoting L=L0/γ without the simultaneous-endpoint condition, or adding velocities as u=u′+v at relativistic speeds. A simultaneity difference is physical, not a mistake.

spacetime interval: The invariant combination c²Δt²−Δx² under the declared sign convention, whose sign classifies an event separation.

proper length: The endpoint separation measured in the object's rest frame; any other frame must read both endpoints simultaneously in its own time.

מד מתח משנה את המעגל שהוא מודד; הקריאה היא תוצאת מחלקת מתח, ולא המתח במעגל פתוח.

דרישות מקדימות: 14, 21, 30.

• לחשב את עומס המדידה מהעכבות המקור והמדידה הסופית
• לקבוע ריבוי מגבר פשוט ותגובת מסנן בדרגה ראשונה
• לפרש יעילות גלאי, רזולוציה, זמן מת and טעות כיול

דגם את המעגל הנמדד כמקור ת'וורני V_th עם התנגדות R_th והמכשיר כהתנגדות כניסה R_m. הקריאה היא V_th·R_m/(R_m+R_th), בעלת אותו סימן כמו V_th וגודל שאינו עולה על |V_th| עבור התנגדויות חיוביות. מקור 10 V עם R_th=100 kΩ שנמדד על ידי מד 1 MΩ נותן 10×(1/1.1)=9.09 V, שגיאת נמוכה של 9%. מקדם 10× למדיסקופ משבייע את ההתנגדות הכניסה האפקטיבית ומפחית את האות פי עשר; ציין את שתי ההשפעות.

שלב אופ-אם לא-הופך אידיאלי יש לו ריבוי 1+R2/R1; השלב ההופך הוא −R2/R1, כאשר הסימן מובא במפורש. מסנן RC נמוך-תדר בדרגה ראשונה יש לו תדירות חיתוך f_c=1/(2πRC); היחס המשרעת שלו הוא 1/sqrt(1+(f/f_c)²) והפאזה היא −arctan(f/f_c). בתדר f=f_c המשרעת היא $1/\sqrt{2}$ (נקודת ה−3 dB), ולא חצי. עבור R=1 kΩ ו-C=100 nF, f_c≈1.59 kHz.

יעילות גלאי ε היא אירועים שנמדדו חלקי אירועים שנפלו; רזולוציה אנרגטית מצוינת כ-FWHM/E, כגון 13.2 keV בקו 662 keV, כ-2%. גלאי שאינו משתתק עם זמן מת τ מקלט m=n/(1+nτ) מקצב אמיתי n; הפיכה נותנת n=m/(1−mτ), שהיא נכשלת כאשר mτ→1. ציין את דגם זמן המת שאתה מניח; התנהגות משתתקת שונה.

כיול ליניארי נגד סטנדרטים ידועים יכול לתקן סטיית אפס ושגיאת קנה מידה; הוא אינו מסיר רעש ואינו מבטיח תיקון של אי-ליניאריות. עקומת כיול ממפה ערכים מוצגים לערכים אמיתיים; אינטרפולציה בין נקודות מניחה חלקיות מקומית. דווח על רזולוציה ועליה בנפרד: שיאים חדים עם יעילות נמוכה עדיין מחמיצים אירועים, ויעילות גבוהה עם רזולוציה רחבה עדיין מערבבת קווים סמוכים.

מד מתח בעל התנגדות כניסה סופית יוצר מחלקת מתח עם התנגדות המקור.

עבור גלאי שאינו משתתק עם קצב נצפה m וזמן מת tau, יעילות, זמן מת ורזולוציה ספקטרלית הן תיקונים שונים; אחד אינו יכול להחליף את השני.

התייחסות לתדירות החיתוך $1/\sqrt{2}$ כחצי, התעלמות מכך שמד סופי קורא נמוך דרך מחלקת המתח, או יישום תיקון לא-משתתק מעבר לטווח שלו.

זמן מת: המרווח הקטן ביותר לאחר אירוע שנרשם, שבו הגלאי אינו יכול לזהות אירוע נוסף.

התנגדות כניסה: העומס האפקטיבי שמציג מכשיר מדידה למעגל הנבדק.

קרן פוטונים אין לה טווח קבוע, בעוד שחלקיק מטען כבד יש לו; חישובי הגנה יכשלו אם השניים יוחלפו זה עם זה.

תנאי מקדימים: 7, 17, 21.

• להבחין בין עצירת חלקיקים מטענים וטווחם לבין דעיכה מעריכית של פוטונים
• לחשב עוצמה מדוכאת וספירות נמדדות עם מקדם נתון
• להסביר פליטה מגרה, הפוך אוכלוסין ותנאי תהודה באופטיקה של תא

חלקיקים מטענים כבדים מאבדים אנרגיה ברציפות דרך התנגשויות קטנות רבות, ולכן יש להם טווח משוער: במודל איבוד קבוע, חלקיק באנרגיה התחלתית E0 ובקצב איבוד dE/dx ייעצר לאחר E0/(dE/dx). אלקטרונים סוטים יותר ופולטים. פוטונים לעומת זאת מתגישים באירועים בודדים, ולכן קרן צרה מדוכאת מעריכית לפי I=I0 e^(−μx) ללא עומק מקסימלי קבוע; שכבת מחצית הערכים היא ln2/μ.

השתמש במעריכי רק לגיאומטריית קרן צרה נתונה: μ=0.2 /ס"מ נותן שכבת מחצית ערכים של 3.47 ס"מ ו-I/I0=e^(−2)≈0.135 לאחר 10 ס"מ. כפול את יעילות הגלאי לספירות שנרשמו: עם μx=ln4 ו-ε=0.25 השבר הנרשם הוא 0.25×1/4=1/16. הצטברות מהפוטונים המפוזרים גורמת לכך שהגנה בקרן רחבה תעביר יותר מאשר המעריכי לקרן צרה; ציין את הגיאומטריה.

פליטה מגרה מייצרת פוטון המתאים לפוטון המגרש בתדר, כיוון ופאזה, ונותנת הגברה קוהרנטית. היא מתחרה בספיגה; הגברה נטו דורשת הפוך אוכלוסין N2/g2>N1/g1 (N2>N1 עבור היתכנות שווה). תנאי איזון בטמפרטורה חיובית נותן N2/g2<N1/g1 על פי גורם בולצמן, ולכן מערכת דו-רמותית באיזון לא יכולה לייצר לייזר רציף; לייזרים פרקטיים מזרמים רמה שלישית או מצב מטאסטבילי.

תא ליני באורך L תומך במודים עומדים עם L=mλ/2, כלומר תדרים ν_m=mc/(2L) עם מרווח c/(2L): עבור L=30 ס"מ המרווח הוא 500 MHz. הגברה חייבת להיות גדולה מאבדני המעבר הסביבי כדי להתרחש תהודה. מתקנים כמו Michelson משתמשים באותה קוהרנטיות: מספר הרצועות עוקב אחרי שינויים במסלול האופטי, כפי שקורה במדידת תא הגז.

קרן צרה יש לה דעיכה $I=I_0e^{-\mu x}$ ושכבת מחצית ערכים $x_{1/2}=\ln2/\mu$.

שלוש שכבות מחצית ערכים מעבירות 1/8. מודל זה אינו כולל הצטברות מפוזרים לתוך הגלאי. עבור תא לייזר בוואקום ליני, מודים ארוכים-גליים סמוכים נפרדים ב-$c/(2L)$. הגברה נטו מגרה דורשת $N_2/g_2>N_1/g_1$; המודל הפשוט יותר $N_2>N_1$ מניח היתכנות שווה.

הקצאת טווח מוגדר לפוטונים או חוק אקספוננציאלי יחיד לחלקיקים טעונים, ושכחתי שהתפלגות דו-רמות באיזון לא יכולה להתהפך. בדוק איזה מודל אינטראקציה נדרש לסוג החלקיקים בקרן.

שכבת חצי ערך: עובי החומר המפחית קרן מותכנסת אקספוננציאלית למחצה, השווה לln2/μ.

הפוך אוכלוסייה: מצב אי-איזון בו האוכלוסייה ברמת הלייזר העליונה גדולה מזו בתחתונה, מה שמאפשר פליטה מגרה נטו.

Rotating a crystal in an X-ray beam maps its atomic planes, because constructive reflection happens only at discrete angles.

Prerequisites: 8, 36.

• Apply the Bragg condition 布拉格条件 to find plane spacings or diffraction angles
• Estimate free-electron Fermi energy 费米能 and Fermi temperature
• Distinguish electronic and lattice heat-capacity contributions

Bragg reflection from parallel planes spaced d interferes constructively when 2d sinθ=nλ, with θ measured from the plane surface (the glancing angle), not from the normal. First order n=1 gives the smallest angle. For λ=0.154 nm and a peak at θ=20°, d=0.154/(2 sin20°)≈0.225 nm. If 2d<λ no order exists; the sine must stay at or below 1.

In a cubic crystal the (hkl) plane spacing is d=a/sqrt(h²+k²+l²) with lattice constant a; the (110) planes give a/√2. A measured Bragg angle therefore measures the lattice constant. Systematic absences from the basis (for example body-centred lattices missing h+k+l odd) carry structure information beyond the spacing formula.

The free-electron model packs N conduction electrons into states up to the Fermi wavevector k_F=(3π²n)^(1/3) for number density n, giving E_F=$\hbar$²k_F²/(2m). For n=8.5×10²⁸ /m³, k_F≈1.36×10¹⁰ /m, E_F≈7.05 eV and T_F=E_F/k_B≈8.2×10⁴ K. Since T_F far exceeds room temperature, only a fraction of order T/T_F of the electrons are thermally excited.

Metals therefore have two low-temperature heat-capacity terms: an electronic term γT linear in T and a lattice (Debye) term βT³. Plotting C/T against T² gives intercept γ and slope β. At room temperature the lattice part approaches the classical Dulong–Petit value and dominates; the electronic term matters at low T, where the T³ lattice term collapses faster.

Bragg diffraction uses angle theta from the crystal plane, not from its normal.

Low-temperature metal heat capacity has separate electronic and lattice terms: A plot of C/T against T squared has intercept gamma and slope beta. A straight line identifies this model's regime.

Measuring θ from the plane normal instead of the plane, or assigning the whole low-T heat capacity to electrons. The sine condition and the two-term decomposition are where these calculations fail.

Bragg condition: Constructive reflection from lattice planes when 2d sinθ=nλ, with θ measured from the plane.

Fermi energy: The highest occupied electron energy at zero temperature in the free-electron model.

One atomic mass unit is 931.5 MeV, so a reaction energy is a small difference between large masses.

Prerequisites: 8, 25, 21.

• Compute reaction energy from complete atomic or nuclear mass bookkeeping
• Calculate activity from half-life and a simple decay-chain balance
• Compare fission and fusion binding changes with charge and nucleon conservation

The reaction energy is Q=(m_initial−m_final)c²; Q>0 releases kinetic energy. Track every species, and keep the mass convention consistent: tabulated atomic masses include electrons. For β− decay and for α decay with a neutral helium product, atomic electron counts balance directly; β+ or electron capture needs explicit electron-mass terms. Use 1 u=931.5 MeV/c².

Alpha decay of ²³⁸U with atomic masses 238.0508 u → 234.0436 u + 4.0026 u gives Δm=0.0046 u and Q≈4.28 MeV. Fusion D+T with 2.0141+3.0161−4.0026−1.0087=0.0189 u gives Q≈17.6 MeV. A reaction also requires charge and nucleon-number balance: ¹⁴N+α→¹⁷O+p balances 7+2=9 and 14+4=18.

Activity is A=λN with decay constant λ=ln2/T½; one becquerel is one decay per second. For T½=2 h and N=6×10¹², A=6×10¹²×ln2/7200≈5.8×10⁸ Bq. After three half-lives both N and A fall by 1/8. Equal activities do not imply equal atom counts: shorter half-life at fixed N gives larger A.

In a chain A→B→C with a long-lived parent (λ_A≪λ_B), B accumulates until its activity approaches the parent activity (secular equilibrium); write the balance dN_B/dt=λ_A N_A−λ_B N_B. The binding-energy-per-nucleon curve peaks near iron, so heavy fission (about 7.6 to 8.5 MeV per nucleon over roughly 240 nucleons, of order 200 MeV) and light fusion both release energy; compare total binding, not nucleon counts.

Activity is $A=\lambda N$, with $\lambda=\ln2/T_{1/2}$. For N = $6.0\times10^{12}$ and half-life 2 hours, convert time before calculating.

A decay chain requires both production and loss terms: $\dot N_B=\lambda_AN_A-\lambda_BN_B$. Equal activities do not imply equal populations. Atomic-mass beta-plus Q values require subtracting $2m_ec^2$.

Mixing atomic and nuclear masses without tracking electrons, or reporting a positive Q for a reaction that needs energy input. Balance charge and nucleon number first, then check the sign of Q.

Q value Q值: The rest-mass energy converted to kinetic energy in a reaction, (m_initial−m_final)c².

activity: The decay rate λN of a radioactive sample, measured in becquerel.

Writing the Laplacian of a radial function as f″ drops a term; the operator belongs to the coordinates, not the symbol.

Prerequisites: Algebra, differentiation and vector components.

• Use the divergence 散度 and Laplacian in the coordinate system selected by the symmetry
• Solve a simple separated boundary-value mode problem
• Check convergence, units and stability of an original numerical update

Choose coordinates by symmetry before writing operators. For a radial function in spherical coordinates, ∇²f=f″+(2/r)f′, and the divergence of a radial field A=A_r r̂ is (1/r²)d(r²A_r)/dr. Check: A=k r̂/r² has divergence (1/r²)dk/dr=0 away from the origin, and f=1/r satisfies ∇²f=f″+2f′/r=2/r³−2/r³=0 away from the origin. Cartesian forms apply only to Cartesian dependences.

Separation of variables 分离变量法 turns a boundary-value problem into ordinary modes. For a string fixed at both ends, write u=X(x)T(t); the wave equation gives X″/X=(1/c²)T″/T=−k², the fixed ends force X=sin(nπx/L), and the allowed frequencies are ω_n=nπc/L, f_n=nc/(2L). Each mode must satisfy the boundary conditions before any sum over modes.

An explicit Euler update for y′=−λy is y_{n+1}=(1−λh)y_n, bounded when |1−λh|≤1, i.e. 0<h≤2/λ for λ>0; asymptotic decay needs 0<h<2/λ. With λ=10 /s, h must not exceed 0.2 s; h=0.25 s multiplies by −1.5 each step and diverges with alternating sign. Stability is a property of the recurrence, not of the true solution.

Check a numerical answer three ways before trusting it: units of every term (λh must be dimensionless), convergence under refinement (halve h and compare; explicit Euler error is first order), and a limiting case with a known exact answer. For y′=−4y with y0=8 and h=0.2, five steps give 8×0.2⁵=0.00256 versus exact 8e^(−4)≈0.1465: stable but inaccurate, so refine.

A spherical radial field has divergence

For $A_r=Cr$, it gives 3C, not C. Fixed string ends require $X(0)=X(L)=0$, hence $X_n=\sin(n\pi x/L)$ with positive integer n. Euler for $\dot y=-\lambda y$ gives $y_{n+1}=(1-\lambda h)y_n$. For positive h, bounded absolute stability permits $h\leq2/\lambda$; decay to zero requires the strict inequality $0<h<2/\lambda$. At the upper endpoint the numerical solution alternates without decay. Stability does not establish accuracy.

Applying the Cartesian Laplacian to a radial function, summing modes that violate the boundary conditions, or calling a bounded-looking run converged without refining the step. Match operator, boundaries and stability condition 稳定性条件 to the actual problem.

separation of variables: Solving a partial differential equation by writing the unknown as a product of single-variable factors.

stability condition: The step-size restriction that keeps a numerical recurrence from amplifying errors.