תרמודינמיקה, קרינה, תנודות וקוסמוולוגיה

Pearson Edexcel · International A-Level · Physics · נושא 5

חומר עזר

מקרר גלידה לכוכב

קרר גלידה, גשר מתנדנד וכוכב רחוק כולם מעורבים באנרגיה. יחידה זו מקשרת בין תנועת מולקולרית, שינויים גרעיניים, תנודות ותצפיות אסטרונומיות. המשימה היא לעיתים לבדוק טענה, ולא רק לחשב מספר: לנסח את הדגם, להעביר יחידות לאורך החישוב, ולשוות את התוצאה עם הטענה.

WPH15 מכסה הצהרות 125–171 מבעיית Pearson 3. הוא משתמש גם ביחידות 1, 2 ו4. עברו על דפי 5.1–5.9 לפני סטות האמיתיות המתאימות להן. השתמשו בקבועים הסופקו באופן עקבי: $g=9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}$, $k_B=1.38\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$ ו$G=6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$ אלא אם כן השאלה נותנת ערך מקומי שונה. כאן $k_B$ הוא קבוע בולצמן; $k_s$ מציינת קבוע קפיץ.

חימום, שינוי פאזה וכיול תרמיסטור

עקבו אחרי האנרגיה, לא רק אחרי הטמפרטורה

אנרגיה פנימית היא סך האנרגיה בתנועה האקראית ובאינטראקציות המולקולריות: אנרגיה קינטית אקראית פלו אנרגיה פוטנציאלית בין-מולקולרית. היא אינה כוללת את האנרגיה הקינטית של כל הגוף הנע יחד. טמפרטורה קשורה לאנרגיה הקינטית האקראית הממוצעת של המולקולות, ולא לאנרגיה הפנימית הכוללת. שתי דגימות בטמפרטורה זהה יכולות להיות בעלות אנרגיות פנימיות שונות משום הכמות והמצב שלהם שונים.

קיבולת חום סגולית $c$ היא האנרגיה הנדרשת לכל ק"ג למעלה של קלווין אחת ללא שינוי מצב. חום סתום סגולי $L$ הוא האנרגיה המועברת לכל ק"ג במהלך שינוי מצב ספציפי בטמפרטורה קבועה.

$$\Delta E=mc\Delta\theta\qquad \Delta E=L\Delta m$$

הבדל טמפרטורות של $1\ ^\circ\mathrm C$ שווה להבדל של $1\ \mathrm K$. טמפרטורות מוחלטות בחוקי גזים וקרינה חייבות להיות בקלווין. במהלך התמסה או רתיחה, אנרגיה משנה את סידורי המולקולות ואנרגיה פוטנציאלית בעוד שהטמפרטורה נשארת קבועה בשינוי פאזה אידיאלי בטמפרטורה קבועה. קרר גלידה סופח אנרגיה מהאוכל/סביבה כאשר הוא נמס. הוא אינו שולח "אנרגיה קרה" לתוך האוכל.

עקב חימום מפריד בין שינויי טמפרטורה לשינוי פאזה בטמפרטורה קבועה.

עם הספק חימום קבוע, שיפולים תלולים יותר בטמפרטורה-זמן מצביעים על קיבולת חום סגולית קטנה יותר $mc$, בהנחה שאובדן חום זניח. חלק שטוח אינו אומר שהעברת אנרגיה הפסיקה. עבור מחמם, האנרגיה הנכנסת היא $E_{\rm in}=Pt=VIt$; אנרגיה תרמית מועילה יכולה להיות קטנה יותר משום שאנרגיה בורחת לסביבה.

דוגמה מופיעה. קוביית קרח בגובה $0.40\ \mathrm{kg}$ בטמפרטורת $-10\ ^\circ\mathrm C$ נמסה למים בטמפרטורת $0\ ^\circ\mathrm C$. השתמשו ב$c_{\rm ice}=2100\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ וב$L_f=3.4\times10^5\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$.

נתון: מסה, טמפרטורות התחלתיות/סופיות וקבועי חומר. מדוע: חימום המוצק והתמסתו הם העברות אנרגיה נפרדות.

$$E_{\rm warm}=mc\Delta\theta=0.40\ \mathrm{kg}\times2100\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}\times10\ \mathrm K=8.40\times10^3\ \mathrm J$$

$$E_{\rm melt}=mL_f=0.40\ \mathrm{kg}\times3.4\times10^5\ \mathrm{J\,kg^{-1}}=1.36\times10^5\ \mathrm J$$

$$E_{\rm total}=E_{\rm warm}+E_{\rm melt}=(8.40\times10^3+1.36\times10^5)\ \mathrm J=1.44\times10^5\ \mathrm J$$

דוגמה מופיעה. מחמם בגובה $1000\ \mathrm W$ מרתיח $0.20\ \mathrm{kg}$ מים בזמן של $600\ \mathrm s$. מצאו יעילות, באמצעות ⟨$L_v=2.26\times10^6\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$⟩.

$$E_{\rm useful}=mL_v=0.20\ \mathrm{kg}\times2.26\times10^6\ \mathrm{J\,kg^{-1}}=4.52\times10^5\ \mathrm J$$

$$E_{\rm input}=Pt=1000\ \mathrm W\times600\ \mathrm s=6.00\times10^5\ \mathrm J$$

$$\eta=\frac{E_{\rm useful}}{E_{\rm input}}=\frac{4.52\times10^5\ \mathrm J}{6.00\times10^5\ \mathrm J}=0.753\approx75\%$$

עבור טעינות קומקום חוזרות, חשבו נפח מים כולל, מספר טעינות וזמן פעולה כולל. השווו אנרגיות לאורך אותו מרווח זמן מצויין. אובדן במצב המתנה לאורך יום והכניסה הנדרשת להרתיח מים הם כמויות שונות; ציינו מה שהשוואה מסוימת מקימה למעשה.

CP12: כיול תרמוסטט

לתרמיסטור יש התנגדות משתנה עם הטמפרטורה. תרמיסטור הנפוץ בעל מקדם טמפרטורה שלילי (NTC) מקטן בהתנגדות כאשר מתחמם. במחלקת מתח:

$$V_{\rm out}=V_s\frac{R_{\rm lower}}{R_{\rm upper}+R_{\rm lower}}$$

כאשר התרמיסטור הוא ההתנגדות התחתונה והמתח נמדד על פיו, החימום מקטין את מתח הפלט. החלפת מיקום ההתנגדות הופכת מגמה זו. תרמוסטט מתפעל ברף מתח פלט נבחר; מחלקת מתח לבדה אינה מכשיר הפעלה מלאך.

המתח נמדד על פני התרמיסטור NTC התחתון במחלקת מתח.

למעשה ליבה 12, מניחים את התרמיסטור ואת מדחום התייחסות סמוך זה לזה באמבט מים מעורבב. שומרים על מגעים חשמליים יבשים ומבודדים. בטמפרטורות שונות בתוך הטווח הרצוי, מחכים לאיזון תרמי ומדויקים טמפרטורה ומתח מחלק. שמרים על מתח האספקה וההתנגדות הקבועה ללא שינוי. משתמשים במולטימטר בעל התנגדות כניסה גבוהה כדי להפחית עומס. מציירים את המתח נגד הטמפרטורה ומעריכים את המתח עבור טמפרטורת ההפעלה הנבחרת. חוזרים על הקריאות או משווים חימום/קירור לגילוי השהיה. אין להניח קליברציה ליניארית ללא ראיות. משתמשים בחשמל בעל מתח נמוך ונוטים זהירות עם מים חמים.

CP13: מדידת חום טמיעה

אספקת הספק חשמלי נמדד לחומר במהלך מעבר פאזה. מדידת מסת המסה או האידוי במרווח זמן נתון לאחר ייצוב התנאים. מאזן מודד שינוי במסה; אין לבלבל בין נפח הנוזל שנאסף לבין המסה. ללא תיקון אובדנים, $L=VIt/\Delta m$ מניח כי כל האנרגיה שהוספקה גורמת למעבר הפאזה.

תיקון שימושי הוא השוואה בין שני הספקים בטמפרטורת מעבר פאזה יציבה אותה. אם הספק אובדן החום הוא בקירוב ללא שינוי, חיסור בין שתי המדידות מבטל אותו:

$$L=\frac{P_2-P_1}{\dot m_2-\dot m_1}$$

לשנות את הנחת אובדן קבוע. מדידת ביקורת של התכה ללא הגוף המחמם היא תיקון אפשרי נוסף בניסוי קרח מתאים. מפחיתים אובדן חום באמצעות בידוד במקום בטוח; נמנעים מהתזה, משטחים חמים ומחברות רשת לא בטוחות.

גזים אידיאליים ואנרגיה קינטית מולקולרית

קלווין ומודל הגז האידיאלי

אפס מוחלט הוא $0\ \mathrm K$, כ-$-273\ ^\circ\mathrm C$. זוהי הגבול התחתון של הטמפרטורה התרמודינמית. במודל הגז האידיאלי הקלאסי, אנרגיה קינטית תרגולית ממוצעת שואפת לאפס כאשר הטמפרטורה שואפת לאפס. גזים אמיתיים צופים לפני שהאקסטרפולציה הזו מושגת; אין לטעון שמולקולות בכל חומר אמיתי מאבדות את כל האנרגיה האפשרית שלהן.

טמפרטורה מוחלטת נמדדת בקלווין: $T=\theta_{^\circ\mathrm C}+273$ בדיוק הנפוץ כאן. גז אידיאלי מורכב ממולקולות בעלות נפח זניח, ללא כוחות ביני-מולקולריים פרט במהלך התנגשויות אלסטיות, ותנועה אקראית. הלחץ נובע משינויי תנע בקירות.

$$pV=Nk_BT$$

כאן $N$ הוא מספר המולקולות, ולא מספר המולים. משתמשים בלחץ בפסקלים, נפח במטר מעוקב וטמפרטורה בקלווין. עבור מספר קבוע של מולקולות:

$$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}$$

בנפח קבוע, הלחץ פרופורציונלי לטמפרטורה בקלווין. בטמפרטורה קבועה, $pV$ הוא קבוע. יש לכלול את הלחץ החיצוני אם מדחום דוחה על לחץ ביחס לאטמוספירה.

דוגמה מפורטת. מיכל קשיח $2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ מכיל גז בטמפרטורה $1.0\times10^5\ \mathrm{Pa}$ ולחץ $300\ \mathrm K$. מצאים $N$ ולחץ לאחר חימום ל$360\ \mathrm K$.

$$N=\frac{pV}{k_BT}=\frac{(1.0\times10^5\ \mathrm{Pa})(2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3})}{(1.38\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}})(300\ \mathrm K)}=4.83\times10^{22}$$

$$p_2=p_1\frac{T_2}{T_1}=1.0\times10^5\ \mathrm{Pa}\times\frac{360\ \mathrm K}{300\ \mathrm K}=1.2\times10^5\ \mathrm{Pa}$$

אם למולקולה אחת יש מסה $m_0$, מסת הגז הכוללת היא $Nm_0$. עבור כדור, מוצאים תחילה $V=4\pi r^3/3$; הרדיוס הוא חצי הקוטר.

נגזרת הקשר האנרגטי המולקולרי

הקשר לחץ מתורת הקינטיקה הוא $pV=\tfrac13Nm_0\langle c^2\rangle$, כאשר $\langle c^2\rangle$ היא מהירות ריבועית ממוצעת. נובעת משינויי תנע אלסטיים בקיר ובמהירות ממוצעת ריבועית שווה בשלושה כיוונים מאונכים. מהירות ארבעית ממוצעת היא $c_{\rm rms}=\sqrt{\langle c^2\rangle}$; היא אינה ריבוע המהירות הממוצעת.

לקובייה בעלת צלע $l$, מולקולה אחת עם רכיב מהירות $c_x$ משנה תנע קיר ב-$2m_0c_x$ בכל התנגשות אלסטית. זמן החזרה שלה לקיר אותו הוא $2l/c_x$. מכאן הכוח הממוצע שלה הוא $m_0c_x^2/l$. סכום על פני כל המולקולות וחלוקה בשטח הקיר $l^2$:

$$p=\frac{Nm_0\langle c_x^2\rangle}{l^3}\qquad V=l^3$$

תנועה אקראית מחולקת באופן שווה בין הכיוונים המאונכים, ולכן $\langle c^2\rangle=3\langle c_x^2\rangle$. זה נותן את קשר הלחץ לעיל. השוו את שני הביטויים ל$pV$, בצעו ביטול של $N$, ולאחר מכן סדרו מחדש:

$$\frac13Nm_0\langle c^2\rangle=Nk_BT$$

$$\frac12m_0\langle c^2\rangle=\frac32k_BT\qquad c_{\rm rms}=\sqrt{\frac{3k_BT}{m_0}}$$

בטמפרטורה נתונה, מיני גזים שונים יש להם אנרגיות קינטיות תרגוליות ממוצעות שוות, אך מולקולות קלות יותר יש להן מהירויות RMS גדולות יותר. אם המהירות משתנה פי שניים באותה טמפרטורה, מסת המולקולה היא רבע. חימום מגדיל את האנרגיה הקינטית המולקולרית הממוצעת; הוא אינו נותן לכל מולקולה את אותה מהירות.

נפח הגז כולל את הצרבת וציבורי הקישור לחיישן הלחץ.

CP14: לחץ ונפח בטמפרטורה קבועה

כלאו כמות קבועה של גז במצית או בצינור מדוד המחובר לחיישן לחץ. בדוק את כיול הציוד והשתמש בלחץ מוחלט. כלול נפח מתה בצינור החיבור כאשר הוא משמעותי. שנה את הנפח בהדרגה, המתן לאחר כל שינוי עד הטמפרטורה תחזור לסביבה, ולאחר מכן רשום זוגות לחץ–נפח מרובים. אל תשחרר גז. גרף של $p$ נגד $1/V$ אמור להיות ישר העובר בראשית התאמים לתחומי השגיאה. עקומה של $p$–$V$ אינה ישרה. הימנע מלחץ גבוה מדי וחבר את החיבורים היטב. הדחקה מהירה מחממת את הגז ומפרה את תנאי הטמפרטורה הקבועה הרצוי.

אנרגיית קישור, התפוררות והיתוך

חוסר מסה הוא הפרש אנרגיה

ליבת אטום מכילה $Z$ פרוטונים ו$A-Z$ נייטרונים. המסה שלה קטנה ממס הכוללת של ניוקליונים חופשיים אלו. חוסר המסה זה מתאים ל-אנרגיית הקישור הנדרשת כדי להפריד את הליבה לחלוטין לניוקליונים חופשיים:

$$\Delta m=Zm_p+(A-Z)m_n-m_{\rm nucleus}\qquad E_b=\Delta m c_0^2$$

כאן $c_0$ היא מהירות האור, הנבדלת מקיבול החום הספציפי. יחידת המסה האטומית המאוחדת היא $1\ \mathrm u=1.66\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$. המר כל המסות ליחידה אחידה לפני ביצוע החיסור. מסות גרעיניות ומסות אטומים ניטרליים אינן חלופיות זו בזו ללא התחשבות עקבית באלקטרונים. השתמש במסות שמדויק מסופקות בשאלה.

$$1\ \mathrm{MeV}=1.60\times10^{-13}\ \mathrm J\qquad \text{binding energy per nucleon}=E_b/A$$

דוגמה פותרת. ליבה יש חוסר מסה $0.030\ \mathrm u$ ו$A=4$. מצא את אנרגיית הקישור לכל ניוקליון.

$$\Delta m_{\rm kg}=\Delta m_{\rm u}(1.66\times10^{-27}\ \mathrm{kg/u})=0.030\ \mathrm u\times1.66\times10^{-27}\ \mathrm{kg/u}=4.98\times10^{-29}\ \mathrm{kg}$$

$$E_b=\Delta m c_0^2=4.98\times10^{-29}\ \mathrm{kg}\times(3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}})^2=4.48\times10^{-12}\ \mathrm J$$

$$\frac{E_b}{A}=\frac{4.48\times10^{-12}\ \mathrm J}{4\times1.60\times10^{-13}\ \mathrm{J/MeV}}=7.00\ \mathrm{MeV\ per\ nucleon}$$

מדוע היתוך והתפוררות יכולים לשחרר אנרגיה

עקומת אנרגיית הקישור לכל ניוקליון עולה בחוד למימניות קלות, מגיעה לשיא בסביבות ברזל/ניקל, ולאחר מכן יורדת בהדרגה למימניות כבדות. אנרגיית קישור גדולה יותר לכל ניוקליון משמעת בדרך כלל שהניוקליונים קשורים חזק יותר. הערך האנכי, ולא רק מסה אטומית, הוא מה שחשוב בעת השוואת נקודות.

היתוך מימניות קלות והתפוררות מימניות כבדות יכולים להזיז תוצרים לכיוון אנרגיית קישור גבוהה יותר לכל ניוקליון.

היתוך גרעיני מאחד מימניות קלות. התפוררות גרעינית מפצל ליבה כבודה לתוצרים קטנים יותר, לעיתים עם נייטרונים. אנרגיה משתחררת כאשר לתוצרים יש אנרגיית קישור כוללת גדולה יותר ומסת ריפוד כוללת קטנה מזו של המגיבים. עבור תגובה, חשב את הפרש המסה הכולל, ולא רק הפרש בין שתי ערכים של אנרגיית קישור לכל ניוקליון. אנרגיה כוללת שמורה.

היתוך דורש טמפרטורה גבוהה מאוד כדי לספק לניוקליונים מספיק אנרגיה קינטית להתקרב למרות הדחייה האלקטרוסטטית, וצפיפות/כליא גבוהה כדי לבצע מספיק פגישות קרובות ולשמור על שחרור אנרגיה. לטמפרטורה ולצפיפות יש תפקודים שונים. פשוט לציין "לחץ גבוה" אינו מסביר את הפיכת ההדחה.

קרינה, רקע ודעיכה

בחר קרינה לפי האינטראקציה שלה

קרינת אלפא מורכבת מליבות הליום: יוננות חזקה, טווח קצר ועוצרה על ידי נייר או כמה סנטימטרים של אוויר. קרינת בטא מורכבת מאלקטרונים או פוזיטרונים: פחות יוננת, חדירה יותר, בדרך כלל עצורה על ידי כמה מילימטרים של אלומיניום. קרינת גמא היא קרינה אלקטרומגנטית: יוננות חלשה וחדירה מאוד; עופרת או בטון מפחיתים את עוצמתה אך לא מספקים עובי עצירה חד.

בתא ערפל, מעברים של אלפא הם עבים בעיקר בגלל היונות החזקה, ויחסית ישרים כי לחלקיקים יש מסה גדולה בהשוואה לחלקיקי בטא. מעברי בטא הם צרים ונדחים בקלות יותר. אל תחליף הסברים אלו. קרינת בטא יכולה לשמש לניטור עובי נייר מכיוון שחלק מהחלקיקים עוברים וחלקם נבלעים; שינוי בעובי משנה את קצב ההעברה.

במשוואות גרעיניות, שמור על מספר הניוקליונים ומספר המטען. דעיכת בטא מינוס ממירה נייטרון לפרוטון; המסה האטומית נשארת זהה והמספר האטומי עולה ב-1. כלול את האנטי-נוטרינו כשנדרש, כמו ביחידה 4:

$$^{14}_{6}\mathrm C\longrightarrow{}^{14}_{7}\mathrm N+{}^{0}_{-1}e+{}^{0}_{0}\bar\nu_e$$

דעיכת אלפא מפחיתה את $A$ ב-4 ואת $Z$ ב-2. פליטת גמא אינה משנה declaredNeither $A$ nor $Z$. משוואות גרעיניות שומרות יותר משני מספרים אלו: אנרגיה ותנע עדיין חשובים.

תיקון רקע נכון לפני יישום מודל

קרינת רקע נובעת ממקורות כמו סלעים, קרניים קוסמיות והסביבה. מדוד אותה למשך זמן מספיק ארוך כאשר המקור הבדיקה נמצא בהיעדרו. חסור את קצב ההעברה שלו מכל קריאת מקור+רקע. שמור על יחידות זמן ספירה אחידות. קצב העברה מתוקן של הגלאי פרופורציונלי לפעילות המקור רק כאשר הגיאומטריה ויעילות הגילוי נשארים ללא שינוי; היא אינה בהכרח הפעילות בשלבייקרלים.

דוגמה מפורטת. גלאי קורא $62\ \mathrm{min^{-1}}$ במרחק $r$, כולל רקע $14\ \mathrm{min^{-1}}$. נבא את הקצב הכולל ב$2r$ עבור מקור גמא איזוטרופי קטן עם בליעה זניחה.

$$R_{s,1}=R_{\rm total,1}-R_b=(62-14)\ \mathrm{min^{-1}}=48\ \mathrm{min^{-1}}$$

$$R_{s,2}=R_{s,1}\left(\frac{r}{2r}\right)^2=48\ \mathrm{min^{-1}}\times\frac14=12\ \mathrm{min^{-1}}$$

$$R_{\rm total,2}=R_{s,2}+R_b=(12+14)\ \mathrm{min^{-1}}=26\ \mathrm{min^{-1}}$$

אל תחלקו את הרקע בארבע: אינו כולו נובע ממקור הבדיקה.

אירועים אקראיים, אוכלוסיות חזותיות

דעיכה רדיואקטיבית היא ספונטנית: גרעין לא יציב דועך ללא מגרה חיצוני. היא אקראית: הזמן המדויק לדעיכת גרעין בודד אינו ניתן לחיזוי. לאוכלוסייה גדולה יש דפוס דעיכה סטטיסטי חזותי. פעילות $A$ היא מספר הדעכות לשנייה, הנמדדת ב-בקרגלים, $1\ \mathrm{Bq}=1\ \mathrm{s^{-1}}$.

$$A=\lambda N\qquad \frac{dN}{dt}=-\lambda N\qquad N=N_0e^{-\lambda t}\qquad A=A_0e^{-\lambda t}$$

קבוע הדעיכה $\lambda$ הוא ההסתברות ליחידת זמן לדעיכת גרעין. מחצית החיים $t_{1/2}$ הוא הזמן שבו האוכלוסייה שאינה דועכת, או הפעילות, מתחצות בממוצע.

עבור מחצית חיים אחת, $N/N_0=1/2=e^{-\lambda t_{1/2}}$. לקחת לוגריתמים נותן:

$$\lambda=\frac{\ln2}{t_{1/2}}\qquad \ln N=\ln N_0-\lambda t\qquad \ln(A/A_0)=-\lambda t$$

קו לוג-פעילות–זמן בעל שיפוע $-\lambda$. קחו לוגריתמים מקצבי התיקון, ולא מקריאות המקור פלו רקע. קראו מספר מרווחי מחצית חיים מהגרף והמיעלו; מדדו מפלטפורמת הפעילות המתוקנת, לא מאפס הספירות הכוללות.

תיקון רקע מפריד בין הפלטפורמה הנמדדת לבין דעיכת המקור האקספוננציאלית.

דוגמה עבודה. למקור יש מחצית חיים $3.0\ \mathrm{years}$. מתי פעילותו תרד ל-$2.0\%$ מערכה ההתחלתית?

$$\lambda=\frac{\ln2}{t_{1/2}}=\frac{\ln2}{3.0\ \mathrm{years}}=0.231\ \mathrm{year^{-1}}$$

$$t=-\frac{\ln(A/A_0)}{\lambda}=-\frac{\ln(0.020)}{0.231\ \mathrm{year^{-1}}}=16.9\ \mathrm{years}$$

השתמשו בשבר, לא ב-$2.0$ בתוך הלוגריתם. אם מחשבים הספק מכוח מקור רדיואקטיבי, $P=A E_{\rm decay}$, עם אנרגיה לכל דעיכה בג'אולים. זהו הספק גרעיני משוחרר; תפוקה חשמלית שימושית עשויה להיות קטנה יותר. המירו את מחצית החיים לשניות כאשר הפעילות חייבת להיות בבקרל.

CP15: ספיגת קרינת גמא על ידי עופרת

שמרו על מיקום קבוע למקור, לספיגה ולגלאי. מדדו רקע, ואז ספירות במרווחים ידועים שווים עבור מספר עוביות עופרת כוללות. חזרו או האריכו את זמן הספירה כי ספירות נוטות לתנודת. חסרו קצב רקע לפני השוואת העברה. אם כל עובית שווה נותנת אותה הפחתה פרקציונלית, ההכבה היא אקספוננציאלית; גרף של לוג קצב מתוקן מול עובי יהיה בקירוב ישר. שלוש עוביות מחצית ערך מעבירות $1/8$, לא $1/3$.

קבוע הספיגה בחומר אינו קבוע הדעיכה בזמן של המקור. הימנעו מקריאות קרובות מדי לרקע, שבהן החיסור נותן אי-ודאות יחסית גדולה. טפל במקורות בכלי המצוינים תחת ניטור, שמרו מרחק, מינימיזו את זמן החשיפה והחזירו אותם למגן. לעולם אל תגעו במקור או הכונו אותו לכיוון אנשים. שמרו על ניקיון בטיפול בעופרת ושטפו ידיים.

תנועה הרמונית פשוטה, גרפים ואנרגיה

תנאי החזרה

תנועה הרמונית פשוטה (SHM) מתרחשת כאשר תאוצה resultant פרופורציונלית להזזה ממיקום איזון קבוע וכיוונה אליו:

$$F=-k_sx\qquad a=-\omega^2x\qquad \omega^2=k_s/m$$

הסימן השלילי הוא כיוון החזרה. מהירות קבועה, חזרה בלבד או כוח שמצביע פשוט אל מרכז אינו מבסס SHM. לקפיץ תלוי אנכית, מדדו $x$ ממיקום האיזון המטעון. המשקל מאוזן כבר שם; ה-residual להזזה הוא $-k_sx$.

עבור שחרור ממקסימום הזזה חיובי ב-$t=0$:

$$x=A_0\cos\omega t\qquad v=-A_0\omega\sin\omega t\qquad a=-A_0\omega^2\cos\omega t$$

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac1f\qquad v_{\max}=A_0\omega\qquad |a|_{\max}=A_0\omega^2$$

כאן $A_0$ הוא משרעת, לא פעילות רדיואקטיבית. הפאזה תלויה בזמן ההתחלה שנבחר; פונקציית סינוס יכולה לתאר את אותה תנועה עם נקודת התחלה אחרת. גזרו גרפית: שיפוע הזזה–זמן הוא מהירות, ושיפוע מהירות–זמן הוא תאוצה. במקסימום הזזה, המהירות היא אפס והתאוצה מצביאה חזרה אל האיזון. באיזון, המהירות היא הגדולה ביותר והתאוצה היא אפס.

עקומות ההזזה, המהירות והתאוצה שומרות על סימניהם ומזיזות רבע תקופה.

דוגמה עבודה. גרף נותן משרעת $0.030\ \mathrm m$ ותקופה $0.50\ \mathrm s$. מצאו מהירות מקסימלית ותאוצה מקסימלית.

$$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{0.50\ \mathrm s}=12.6\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$$

$$v_{\max}=A_0\omega=0.030\ \mathrm m\times\frac{2\pi}{0.50\ \mathrm s}=0.377\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

$$|a|_{\max}=A_0\omega^2=0.030\ \mathrm m\times\left(\frac{2\pi}{0.50\ \mathrm s}\right)^2=4.74\ \mathrm{m\,s^{-2}}$$

חלופית, מצאו את המהירות המקסימלית מתוך נגזר של גרף ההעתקים בנקודת האיזון. המירו סנטימטרים למטרים. שיפוע ישר שלילי בין $a$–$x$ הוא $-\omega^2$, ולכן קחו את השנייה לפני השורש.

מחזורים ואנרגיה

עבור מסה על קפיץ אידיאלי ועבור תליון פשוט בזוויות קטנות:

$$T_{\rm spring}=2\pi\sqrt{m/k_s}\qquad T_{\rm pendulum}=2\pi\sqrt{l/g}$$

אורך התליון הוא מה ציר הסיבוב למרכז הכדור. מחזור הזוויות הקטנות אינו תלוי במסת הכדור. יחס מחזורים לקפיץ אחד לא משתנה נותן $T_2/T_1=\sqrt{m_2/m_1}$. השתמשו במסה החדשה הכוללת לפני שמצאתם את המסה המוספת.

דוגמה מופתרת. מסה של $0.50\ \mathrm{kg}$ יש לה מחזור של $0.80\ \mathrm s$. מסה נוספת מגדילה את המחזור ל$1.00\ \mathrm s$ על אותו קפיץ.

$$m_2=m_1\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2=0.50\ \mathrm{kg}\left(\frac{1.00\ \mathrm s}{0.80\ \mathrm s}\right)^2=0.781\ \mathrm{kg}$$

$$m_{\rm added}=m_2-m_1=(0.781-0.50)\ \mathrm{kg}=0.281\ \mathrm{kg}$$

עבור תנודן קפיצי ללא רכיכות, האנרגיה עוברת בין מאגרי אנרגיה פוטנציאלית אלסטית וקינטית:

$$E=\frac12k_sA_0^2=\frac12m\omega^2A_0^2\qquad E_p=\frac12k_sx^2\qquad E_k=\frac12k_s(A_0^2-x^2)$$

כך שגרף ה-$E_k$–$x$ הוא פרבולה הפוכה: אפס בנקודה $\pm A_0$, מקסימום חיובי בנקודה $x=0$. גרף ה-$E_p$–$x$ פתוח כלפי מעלה. הסכומם קבוע במודל ללא רכיכות. במערכת עם רכיכות, אנרגיה עוברת החוצה, ולכן המשרעת יורדת. האנרגיה הכוללת כולל הסביבה נשמרת.

CP16: להסיק מסה לא ידועה מתוך תהודה

שמרו על אותו מערכת קפיצים/תמיכה. חברו מספר מסות ידועות, הגיעו בתנודות קטנות והשתנו בתדר כדי למצוא את המשרעת היציבה הגדולה ביותר עבור כל מסה. רשמו את תדר התהודה, וחזרו לאט סביב כל פסגה. עם רכיכות קלות, זה מקרב לתדר הטבעי. ציירו את $1/f^2$ מול המסה הידועה הכוללת; מודל הקפיץ נותן שיפוע של $4\pi^2/k_s$. השתמשו בקליברציה כדי להסיק מסה לא ידועה מתוך תדר התהודה שלה.

התייחסו למחזיק ולמשקל התנועה האפקטיבי של הקפיץ, כאשר זה משמעותי. חריגה שאינה אפסית עשויה לייצג תרומה זו; אל תחייבו את הקו לעבור דרך הראשית ללא הצדקה. שמרו על משרعات קטנות ותחת הגבול האלסטי. הבטיחו את המסות והמעמד, ושמרו על הרגליים רחוקות. מדידת מחזורים חופשיים יכולה לספק השוואה עצמאית שימושית, אך המעשה הנדרש משתמש בתדרי תהודה.

תנודות מוגרות, תהודה ורכיכות

תנודה חופשית היא תנודה שאחרי הפרעה ראשונית ללא הגרעה תקופתית רציפה. תנודה מוגרת נתמכת על ידי כוח הגרעה תקופתי; תדר היציבה שלה הוא תדר ההגרעה. תדר טבעי הוא תדר התנודה החופשית עבור המערכת בתנאים המפורטים.

תהודה מתרחשת כאשר תדר ההגרעה הוא באותו תדר או בסמוך לתדר הטבעי, מה שמוביל להעברת אנרגיה יעילה ומשרעת יציבה גדולה. זה לא אומר "תדר מקסימלי". עבור מערכת בעלת רכיכות קלה, פסגת המשרעת היא בסמוך לתדר הטבעי ללא רכיכות. רכיכות גדולה יותר מורידה ומרחבת את הפסגה; אל תציגו כל פסגה מורכבת כבדיוק בתדר הטבעי ללא רכיכות.

רכיכות מורידה ומרחבת פסגת משרעת של תנודה מוגרת.

רכיכות מעבירה אנרגיה החוצה מתנודה, לדוגמה דרך עבודה נגדית שמגדילה את האנרגיה התרמית של המרככים והסביבה. רכיכות חזקה יותר יכולה לצמצם תנועה מסוכנת בגשרים/בניינים. עיוות פלסטי של חומר דاکטילי גם כן בולע אנרגיה מכנית בבלתי הפיכה; עיוות אלסטי טהור מחזיר את האנרגיה המאגרת ואינו אותו מנגנון.

הסבר מופתר. אנשים הולכים מספקים כוח הגרעה תקופתי לגשר. אם תדרם הוא בסמוך לתדר טבעי, אנרגיה עוברת ביעילות לתוך הגשר והמשרעת עולה. מרככים מבצעים עבודה נגד התנועה, ומעבירים אנרגיית תנודה למאגרים תרמיים, כך שהמשרעת היציבה מוגבלת. קשרו סיבה והשפעה בסדר זה ולא ספרו "תהודה, אנרגיה, רכיכות".

עבור אותה צורה ומשרעת, הוספת מסה לתליון קל מגדילה את האנרגיה המכנית המאגרת בו בעוד שהמחזור האידיאלי של זוויות קטנות נשאר ללא שינוי. תחת אובדני התנגדות דומים, הוא עלול לאבד חלק קטן יותר של אנרגיה בכל מחזור. השוואת רכיכות בהקשר זה לא מוכיחה שכל תנודן כבד יותר תמיד מורכב לאט יותר.

שדות כבידה ומסלולים

לשדה ולפוטנציאל יש משמעויות שונות

שדה כבידה הוא אזור שבו מסה חווה כוח. חוזק שדה כבידה $g=F/m$ הוא כוח ליחידת מסת בדיקה. הוא וקטור המכוון לכיוון מסת מקור בודדת. חוק ניוטון למסות נקודתיות, או מחוץ למקור כדורי סימטרי, הוא:

$$F=\frac{GMm}{r^2}\qquad g=\frac{F}{m}=\frac{GM}{r^2}$$

$r$ הוא המרחק בין מרכזים, ולא הגובה מעל פני השטח. לתנועה מקומית קרובה לאדמה, ערך קבוע $g$ יכול להיות מתאים. במרחקים רדיאליים גדולים הוא אינו קבוע.

פוטנציאל כבידה הוא אנרגיה פוטנציאלית ליחידת מסה, כאשר האפס נקבע באינסוף:

$$V_{\rm grav}=-\frac{GM}{r}\qquad E_{\rm grav}=mV_{\rm grav}=-\frac{GMm}{r}$$

הפוטנציאל הוא סקלרי ושלילי במרחק סופי. תנועה החוצה הופכת אותו לפחות שלילי, ולכן האנרגיה הפוטנציאלית עולה בעוד שכוח המשיכה נחלש. ערך הגרף של הפוטנציאל והרדיוס המקבילים לו נותנים $M=-Vr/G$.

עוצמת השדה הרדיאלי יורדת בהתאם לחוק הריבוע ההפוך, בעוד שפוטנציאל הכבידה השלילי שואף לאפס.

שדות כבידה וחשמל הם רדיאליים למקורות נקודיים בודדים, וגודל הכוחות שלהם עומד בחוק הריבוע ההפוך. הכבידה פועלת על מסה והיא אטרקטיבית בדגם זה. כוח חשמלי פועל על מטען ועשוי להיות או אטרקטיבי או דוחה. כיוון השדה החשמלי נקבע לפי הכוח על מטען בדיקה חיובי; מטען שלילי מושפע בכיוון הפוך.

דוגמה פותרת. לוויין $1000\ \mathrm{kg}$ עובר ממרחק $r_1=6.4\times10^6\ \mathrm m$ ל$r_2=1.28\times10^7\ \mathrm m$ סביב כדור הארץ, $M=6.0\times10^{24}\ \mathrm{kg}$. מצאו את השינוי באנרגיה הפוטנציאלית שלו.

$$\Delta E_{\rm grav}=GMm\left(\frac1{r_1}-\frac1{r_2}\right)$$

$$\Delta E_{\rm grav}=(6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}})(6.0\times10^{24}\ \mathrm{kg})(1000\ \mathrm{kg})\left(\frac1{6.4\times10^6\ \mathrm m}-\frac1{1.28\times10^7\ \mathrm m}\right)=+3.13\times10^{10}\ \mathrm J$$

הסימן החיובי מייצג הסרה (סופי פחות התחלתי). זוהי לא אנרגיית ההשקה הכוללת, שכן האנרגיה הקינטית עשויה גם היא להשתנות. שימוש ב$mg\Delta h$ עם ערך קבוע בשטח $g$ אינו מתאים למרחק זה.

גזירת מסלול מעגלי

כוח הכבידה מספק את התוצרת הפנימית:

$$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}=m\omega^2r$$

$$v=\sqrt{GM/r}\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}\qquad M=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}$$

מסת הלוויין מצטמצמת. התקופה עולה עם הרדיוס. כדי להיראות כנראה מעל נקודה אחת על כוכב לכת מסתובב, לוויין זקוק למסלול מעגלי שוויוני, אותה כיוון סיבוב ותאום מהירות זוויתית/תקופה. תאום תקופה לבדו אינו מספיק.

דוגמה פותרת. עבור $GM=4.00\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}$ ותקופה $T=8.64\times10^4\ \mathrm s$, מצאו רדיוס של מסלול נראה-כנראה.

$$r=\left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}=\left[\frac{(4.00\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}})(8.64\times10^4\ \mathrm s)^2}{4\pi^2}\right]^{1/3}=4.23\times10^7\ \mathrm m$$

הורידו רק את רדיוס הכוכב הלכת אם נתבקש לגובה מעל פני השטח. לשדה שטח של כוכב, השתמשו ברדיוס שלו, לא בקוטר המפורט; בדקו טענה לגבי פיזור מכפיל של שדה כדור הארץ על ידי חישוב היחס.

קרינת כוכבים, מרחקים ואבולוציה

טמפרטורה, בהירות ועוצמת קליטה

גוף שחור סופג כל קרינה אלקטרומגנטית הנפלה עליו ומשמש כמעשה חום אידיאלי. הספקטרום הרציף שלו בעל צורה מאופיינת. עליית הטמפרטורה מגבירה את ההספק הנפלט הכולל ליחידת שטח ומזיזה את פסגת האורך לגלים לערכים קצרים יותר. השטח מתחת לעקומת העוצמה הספקטרלית מייצג את העוצמה הכוללת רק עם הגדרת ציר ספקטרלית מתאימה.

הבהירות $L_\star$ היא ההספק הנפלט הכולל. העוצמה $I$ שהתקבלה במרחק $d$ היא ההספק ליחידת שטח קליטה. לכוכב ספרי (גוף שחור) ברדיוס $R$ הקורא באופן שווה בכל הכיוונים:

$$L_\star=\sigma(4\pi R^2)T^4\qquad \lambda_{\max}T=2.898\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}\qquad I=\frac{L_\star}{4\pi d^2}$$

השטח הראשון הוא משטח הקריעה; השני הוא כדור הקליפה המתרחב. אל תציבו את מרחק הצופה בתוך שטח פני השטח של הכוכב. מקורות קריעה אמיתיים עשויים שלא להיות גופים שחורים מושלמים, וחומר מעבר עשוי לספוג קרינה.

הקבוע שצויין על ידי ויינ מייצג ספקטרום ליחידת אורך גל. פסגה בספקטרום המוצג ליחידת תדר אינה הופכת לפסגת אורך הגל הזו פשוט על ידי החלפת $\lambda$ ב$c_0/f$. אם מבחן נותן את התדר המתאים לפסגת אורך הגל הספציפית שלו, המירו את אורך הגל הנתון הזה באמצעות $c_0=f\lambda$. אל תמירו את הפרקטיקה הספציפית הזו לכלל כללי לכל גרף ספקטרלי.

דוגמה פותרת. פסגת אורך הגל של כוכב נמצאת ב$580\ \mathrm{nm}$, והרדיוס שלו הוא $7.0\times10^8\ \mathrm m$. מצאו את הטמפרטורה, ההבהירות והעוצמה ב$1.5\times10^{11}\ \mathrm m$.

$$T=\frac{2.898\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}}{\lambda_{\max}}=\frac{2.898\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}}{580\times10^{-9}\ \mathrm m}=5.00\times10^3\ \mathrm K$$

$$L_\star=4\pi R^2\sigma T^4=4\pi(7.0\times10^8\ \mathrm m)^2(5.67\times10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}})(4.997\times10^3\ \mathrm K)^4=2.18\times10^{26}\ \mathrm W$$

$$I=\frac{L_\star}{4\pi d^2}=\frac{2.18\times10^{26}\ \mathrm W}{4\pi(1.5\times10^{11}\ \mathrm m)^2}=7.70\times10^2\ \mathrm{W\,m^{-2}}$$

שמרו על הטמפרטורה שאינה עוגלה, שכן היא מוגבהת לריבוע. השוו את העוצמה שהתקבלה עם ההפניה הנאמרת לפני שקבלתם טענה לגבי טמפרטורת כוכב לכת או הספק.

שתי שיטות למדידת מרחק

פראלאקס טריגונומטרי מדוד את ההזזה הזוויתית apparent של כוכב קרוב ביחס לכוכבי רקע רחוקים כאשר כדור הארץ נעים סביב השמש. תצפיות בשני מועדים המרוחקים חצי שנה זו מזו משתמשות בסיס (baseline) של שני רדיוסים של מסלול כדור הארץ. זווית הפראלאקס $p$ היא חצי מההזזה הכוללת. עבור $p$ קטנים ברדיאנים, המרחק הוא $d\approx r_{\rm orbit}/p$. פארסק הוא המרחק שמעניק פראלאקס של $1$ שנייה קשת; $d_{\rm pc}=1/p_{\rm arcsec}$. אל תשתמש בקוטר כדור הארץ או השמש כבסיס למסלול.

פראלאקס משתמש ברדיוס אחד של מסלול כדור הארץ וחצי מההזזה הזוויתית המלאה של חצי שנה; התרשים אינו קנה מידה.

במרחקים גדולים, $p$ הופך לקטן מדי כך שהמכשיר לא יוכל למדוד אותו בדיוק. הגבילה נובעת מהרזולוציה הזוויתית/אי-הוודאות היחסיתית, ולא בהכרח מכך שהכוכב בלתי נראה.

נר תקן הוא גוף בעל לומינוזיטה ידועה. זיהוי אחד באשכול, מדידת העוצמה המתקבלת והשתמש ב$d=\sqrt{L_\star/(4\pi I)}$. הבהירות apparent שלו אינה נחשבת לידועה מראש. כוכבי משתנה צ'פאידים הם בעלי קשר מכויל בין תקופה ללומינוזיטה. מדוד כמה תקופות מלאות של עקומת הארה, חלק אותן במספרן, קרא את הקליברציה בזהירות והמך יחידות של לומינוזיטת שמש. קו ישר על צירים לוגריתמיים אינו מייצג אוטומטית קשר ליניארי בין הכמויות המקוריות.

דוגמה פותרת. לנר תקן יש $L_\star=4.0\times10^{28}\ \mathrm W$ ועוצמה מתקבלת של $2.0\times10^{-10}\ \mathrm{W\,m^{-2}}$.

$$d=\sqrt{\frac{L_\star}{4\pi I}}=\sqrt{\frac{4.0\times10^{28}\ \mathrm W}{4\pi(2.0\times10^{-10}\ \mathrm{W\,m^{-2}})}}=3.99\times10^{18}\ \mathrm m$$

קרא את דיאגרמת הרצשפרונג–ראסל

דיאגרמת הרצשפרונג–ראסל מציגה לומינוזיטה אנכית וטמפרטורת פני השטח אופקית, בדרך כלל עם ירידת טמפרטורה מימין וקנה מידה לוגריתמי. הסדרה הראשית נמתחת מכוכבים חמים ובהירים בחלק העליון השמאלי לכוכבים קרים וכהים בחלק התחתון הימני. ענק אדום הוא קר אך בהיר בשל שטח הפני השטח הגדול שלו. ננפת לבנה היא חמה אך כהה בשל שטח הפני השטח הקטן שלה. סימן את השמש בסביבות לומינוזיטת שמש אחת וכ-{$5800\ \mathrm K$} על הסדרה הראשית.

דיאגרמת HR מבדילה בין טמפרטורה לבין לומינוזיטה ומראה את מסלול האבולוציה המשוער דומה לשמש.

כוכבים נוצרים כאשר כוח הכובד מתכווץ ענן של גז ואבק. ליבת הכוכב מתחממת עד שמיזוג מימן יכול לתמוך בכוכב בסדרה ראשית; לחץ פנימי מאזן את כוח הכובד. בכוכב דומה לשמש, מימן בליבה נגמר לבסוף, המיזוג בליבה מצטמצם וכוח הכובד מתכווץ את הליבה. טמפרטורת הליבה עולה; מיזוג מימן בשכבה ובמיזוג הליום מאוחר יותר מקושרים להתפשטות לענק אדום. שכבות החוץ מאבדות, ושאר ליבת ננפת לבנה ללא מיזוג מתמיד. היא קוררת לאורך זמן רב מאוד. השמש לא תהפוך לסופרנובה או לכוכב ניטרונים.

כוכב כבד משמעותית יכול למזוג אלמנטים כבדים יותר דרך שלבים מאוחרים. כאשר הליבה שלו אינה יכולת להשיג אנרגיה ממיזוג, התמוטטות וסופרנובה עשויות להשאיר כוכב ניטרונים או חור שחור, בהתאם לשארית. כוכב בסדרה ראשית כבד יש יותר דלק אך צורכה אותו הרבה מהר יותר בשל ליבה חמה יותר. לכן, חיי הסדרה הראשית שלו עשויים להיות קצרים יותר. הסבר את קצב המיזוג, ולא רק כמות הדלק. מסלול ב-HR מראה טמפרטורה/לומינוזיטה משתנות, ולא כוכב הנע על פני החלל.

הזזות דופלר וקוסמולוגיה

השוו את אותו קו ספקטרלי

אפקט דופלר הוא שינוי בתדירות/אורך גל שנצפים כתוצאה מתנועה יחסית לאורך קו הראייה. גלי גלגל נערכים רחוקים יותר ממקור הנ远离 ומקרובים יותר ממקור הנקרב. נ远离 מעניקה אורכי גל ארוכים ותדירויות נמוכות; קרבה מעניקה אורכי גל קצרים ותדירויות גבוהות. תנועה אנכית לגמרי לקו הראייה אינה מהירות הנ远离 במודל הפשוט.

מקור הנ远离 מייצר אורך גל שנצפה ארוך יותר עבור אותו קו ספקטרלי מזוהה.

עבור קרינה אלקטרומגנטית במהירות נ远离 נמוכה:

$$z=\frac{\lambda_{\rm observed}-\lambda_{\rm rest}}{\lambda_{\rm rest}}\approx\frac{v}{c_0}$$

התאדמות (Redshift) $z$ היא חיובית עבור נ远离. עבור הזזות קטנות, הגודל שלה גם משוער שווה להפחתה היחסיתית של התדירות שנצפתה ביחס לתדירות שנפלטת. ציין את קונבנציית הסימן: $(f_{\rm observed}-f_{\rm rest})/f_{\rm rest}$ היא שלילית עבור נ远离. אל תשווה התאדמות חיובית להגברת תדירות עם סימן. הקירוב $v/c_0$ אינו נוסחה רלוטיביסטית לכל מהירות גבוהה.

דוגמה פותרת. קו שנפלט ב$500\ \mathrm{nm}$ נצפה ב$505\ \mathrm{nm}$.

$$z=\frac{\lambda_{\rm observed}-\lambda_{\rm rest}}{\lambda_{\rm rest}}=\frac{(505-500)\ \mathrm{nm}}{500\ \mathrm{nm}}=0.010$$

$$v\approx zc_0=0.010\times3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}=3.00\times10^6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

כדי להשתמש בקווי הספיגה של כוכב, תזכור את היחידה 2: פוטונים נקנים רק כאשר האנרגיה שלהם תואמת הבדלים מותרים ברמות אטומיות. השוו את אותו קו ספקטרלי מזוהה, ולא שני אלמנטים שונים.

לצדדים מנוגדים של כוכב מסתובב, אחד נקרב בעוד השני נ远离. אם ההזזות שלהם שוות וניגודיות, הפער בין שני אורכי הגל שנצפו הוא פי שניים מההזזה של כל צד. חלק את הפער הזה בחצי לפני שמצאת את מהירות השיוויון. לאחר מכן השתמש ב$T=2\pi R/v$. זה מניח שהמהירות שנצפתה לאורך קו הראייה בצד מייצגת את מהירות הסיבוב בשיוויון תחת תנאי הצפייה הנ"ל.

חוק האבל וגבולותיו

בקנהל קוסמולוגי גדול, מהירות ההתרחקות מקיימת בקירוב את חוק האבל:

$$v=H_0d$$

קבוע האבל $H_0$ הוא בעל יחידות של זמן הפוך. ב$\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$, המירו קילומטרים למטר ומגה-פארסק למטר לפני שמצאים את ההופכי בשניות. גופים קרובים עשויים להציג תנועות מקומיות שאינן נאותות לקשר הקנהל הגדול.

דוגמה מוצעת. השתמשו ב$H_0=70\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$ וב$1\ \mathrm{Mpc}=3.1\times10^{22}\ \mathrm m$ כדי להעריך קנהל התפשטות.

$$H_0=\frac{70\times10^3\ \mathrm{m\,s^{-1}}}{3.1\times10^{22}\ \mathrm m}=2.26\times10^{-18}\ \mathrm{s^{-1}}$$

$$t_H=\frac1{H_0}=\frac1{2.26\times10^{-18}\ \mathrm{s^{-1}}}=4.43\times10^{17}\ \mathrm s$$

ההופכי הוא זמן האבל. פרשנותו כגיל דורשת מודל לקנהל ההתפשטות העבר; אינו גיל מדויק ללא תלות במודל. קבוע האבל גדול יותר ($H_0$) נותן קנהל הופכי קטן יותר. עדויות להתפשטות תומכות ביקום צפוף וחם בעבר; הן אינן מתארות פיצוץ לתוך מרחב ריק עם מרכז וסביבה קיימים מראש.

חומר אפל מושמע מכאלי תאורה כבידתית שאין לחומר הנראה מספיק כדי להסביר, כמו סיבוב גלקסיות ותנועתן. אין לו הכרח לפלוט אור נראה. כמות החומר הכבידתי משפיעה על שינוי ההתפשטות, ולכן חוסר ודאות בתכולת החומר ובמודל ההתפשטות משפיעה על תחזיות לגורל היקום. אל תסיקו שמדידה אחת של ⟨$H_0$⟩ לבדה מוכיחה התפשטות נצחית או קריסה עתידית. מודלים מודרניים לוקחים בחשבון גם אנרגיה אפלה; תוצאה ב171 דורשת ספציפית הבנת המחלוקת בנוגע ל$H_0$, חומר אפל, גיל וגורל, ולא רק שינון תחזית אחת ללא הסתייגות.

בדוק את עצמך

מדוע האנרגיה הפנימית יכולה לעלות ללא עליית טמפרטורה במהלך מעבר פאזה?
כמות קבועה של גז מתחממת בכלי קשיח. איזה קנהל טמפרטורה יש להשתמש בהשוואת לחצים?
האם אנרגיית קישור גבוהה יותר לכל נוקליון אומרת שצריך אנרגיה פחותה או גבוהה יותר להפרדת כל נוקליון בממוצע?
מדוע יש לנתק רקע לפני השימוש ביחס קצב ספירה או לוגריתם?
קו ב$a$–$x$ בעל שיפוע $-25\ \mathrm{s^{-2}}$. מצאו תדר זוויתי.
מדוע המהירות המקסימלית בתנודה הרמונית פשוטה היא באיזון למרות שהתאוצה שם אפס?
מדוע גשר מרופד יכול להיות מונע באותו תדר אך לרדוד עם משרעת תנודה קטנה יותר?
האם הרמת לוויין לקנהל רדיוס גדול יותר מגדילה או מפחיתה את אנרגיית הפוטנציאל הכבידתית החתומה שלו?
כוכב הוא חם אך עמום. אילו אזורי HR סביר, ומה יכול להסביר את הלומינוזיות הנמוכה שלו?
בעת השימוש בהפרש אורך גל של קצוות סיבוביים נגדיים, מדוע נדרש גורם של שניים?

תשובות: (1) אנרגיית פוטנציאל מולקולרית משתנה; (2) קלווין; (3) יותר; (4) הרקע אינו עוקב אחר חוק הדעיכה/מרחק של המקור; (5) $\omega=\sqrt{25\ \mathrm{s^{-2}}}=5.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$; (6) הכוח המשחזר הרוכב הוא אפס שם אך האנרגיה היא ברובה קינטית; (7) אובדן אנרגיה גדול יותר מגביל משרעת יציבות; (8) עולה לכיוון אפס; (9) ענק לבן, משטח קריעה קטן; (10) קצה אחד הוא אדום-שיפט בעוד השני הוא כחול-שיפט.

מילון מונחים

אימון

English	עברית
Internal energy/ɪnˈtɜːnl ˈenədʒi/	אנרגיה פנימית
Specific heat capacity/spəˈsɪfɪk hiːt kəˈpæsɪti/	קיבול חום סגולי
Specific latent heat/spəˈsɪfɪk ˈleɪtənt hiːt/	חום ספציפי של קירור
thermistor/ˈθɜːmɪstə/	תרמיסטור
potential divider/pəˈtenʃl dɪˈvaɪdə/	מחלקת מתח
Absolute zero/ˈæbsəluːt ˈzɪərəʊ/	אפס מוחלט
Absolute temperature/ˈæbsəluːt ˈtemprɪtʃə/	טמפרטורה מוחלטת
ideal gas/aɪˈdɪəl ɡæs/	גז אידיאלי
mean square speed/miːn skweə spiːd/	ממוצע ריבוע המהירות
root mean square speed/ruːt miːn skweə spiːd/	מהירות שורש ממוצע ריבועית
mass deficit/mæs ˈdefɪsɪt/	חסר מסה
binding energy/ˈbaɪndɪŋ ˈenədʒi/	אנרגיית קישור
unified atomic mass unit/ˈjuːnɪfaɪd əˈtɒmɪk mæs ˈjuːnɪt/	יחידת מסה אטומית מאוחדת
Nuclear fusion/ˈnjuːklɪə ˈfjuːʒn/	היתוך גרעיני
Nuclear fission/ˈnjuːklɪə ˈfɪʃn/	סדק גרעיני
Alpha radiation/ˈælfə ˌreɪdɪˈeɪʃn/	קרינת אלפא
Beta radiation/ˈbiːtə ˌreɪdɪˈeɪʃn/	קרינת בטא
Gamma radiation/ˈɡæmə ˌreɪdɪˈeɪʃn/	קרינת גמא
nuclear equations/ˈnjuːklɪə ɪˈkweɪʒnz/	משוואות גרעין
Background radiation/ˈbækɡraʊnd ˌreɪdɪˈeɪʃn/	קרינת רקע
Radioactive decay/ˌreɪdɪəʊˈæktɪv dɪˈkeɪ/	דעיכה רדיואקטיבית
Activity/ækˈtɪvɪti/	פעילות רדיואקטיבית
becquerels/ˈbekwərəlz/	בקרל
decay constant/dɪˈkeɪ ˈkɒnstənt/	קבוע הדעיכה
half-life/hɑːf laɪf/	חצי חיים
Simple harmonic motion/ˈsɪmpl hɑːˈmɒnɪk ˈməʊʃn/	תנועה הרמונית פשוטה
free oscillation/friː ˌɒsɪˈleɪʃn/	תנודה חופשית
forced oscillation/fɔːst ˌɒsɪˈleɪʃn/	תנודה מולצת
Natural frequency/ˈnætʃərəl ˈfriːkwənsi/	תדירות טבעית
Resonance/ˈrezənəns/	רזוננס
Damping/ˈdæmpɪŋ/	ריסון
Plastic deformation/ˈplæstɪk ˌdiːfɔːˈmeɪʃn/	עיוות פלסטי
gravitational field/ˌɡrævɪˈteɪʃənl fiːld/	שדה כבידה
Gravitational field strength/ˌɡrævɪˈteɪʃənl fiːld streŋθ/	חוזק שדה כבידה
Gravitational potential/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl/	פוטנציאל כבידה
black body/blæk ˈbɒdi/	גוף שחור
Luminosity/ˌluːmɪˈnɒsɪti/	לומינוזיטי
Intensity/ɪnˈtensɪti/	עוצמה
Trigonometric parallax/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈpærəlæks/	פרלקסה טריגונומטרית
parsec/ˈpɑːsek/	פארסק
standard candle/ˈstændəd ˈkændl/	נר סטנדרטי
Hertzsprung–Russell diagram/ˈhɜːtssprʌŋ ˈrʌsl ˈdaɪəɡræm/	דיאגרמת הרץ-רוסל
main sequence/meɪn ˈsiːkwəns/	סדר ראשי
Red giants/red ˈdʒaɪənts/	ענקיות אדומות
White dwarfs/waɪt dwɔːfs/	נבוכות לבנות
Doppler effect/ˈdɒplə ɪˈfekt/	אפקט דופלר
Redshift/ˈredʃɪft/	הזזה לאדום
Hubble's law/ˈhʌblz lɔː/	חוק האבול
Hubble constant/ˈhʌbl ˈkɒnstənt/	קבוע האבול
Hubble time/ˈhʌbl taɪm/	זמן האבול
Dark matter/dɑːk ˈmætə/	חומר אפל