סטטיסטיקה 2: חלוקות, משתנים רציפים ובדיקות היפותזה
סטטיסטיקה 2 (S2, מס' WST02/01, 1 שעתיים 30 דקות, 75 נקודות, הערכה ראשונה יוני 2020) ממשיך את S1 במסלול המיושם: P1–P2 ו-S1 מובנים. הנוסח כולל טבלאות בינומיות, פואסון ורגילים. עמודה זו מכסה את החלוקה הבינומית והפואסונית עם הקירובים שלהן, משתנים רנדומליים רציפים, החלוקה המשוות, דגימה ובדיקות היפותזה מלאות.
חובה לדעת עבור S2 (אינו בנוסח):
| משפחה | נוסחות |
|---|---|
| בינומית | $X\sim B(n, p)$: $E(X) = np$, $\mathrm{Var}(X) = np(1-p)$, $P(X = r) = \binom nr p^r(1-p)^{n-r}$ |
| פואסונית | $X\sim\mathrm{Po}(\lambda)$: $E(X) = \mathrm{Var}(X) = \lambda$; הקצבים משתנים בהתאם לזמן |
| רציף | $P(a < X < b) = \int_a^b f(x)\,dx$, $f(x) = F'(x)$, $E(X) = \int xf(x)\,dx$, $E(X^2) = \int x^2f(x)\,dx$ |
| משווה | על $[a, b]$: ממוצע $\tfrac{a+b}2$, שונות $\tfrac{(b-a)^2}{12}$, צפיפות $\tfrac1{b-a}$ |
החלוקה הבינומית והפואסונית
חלוקה בינומית: $n$ ניסויים עצמאיים, הסתברות קבועה $p$ — שני ההנחות יש לנסח בהקשר. חלוקה פואסונית: אירועים מתרחשים בבודדם, בצורה עצמאית, בקצב ממוצע קבוע — הקצב מתכוון ($\mathrm{Po}(\lambda)$ לדקה נותן $\mathrm{Po}(5\lambda)$ ב-5 דקות). רגעים מגיעים כנוסחאות: $np$ ו-$np(1-p)$; $\lambda$ ו-$\lambda$. נתון הממוצע והשונות של חלוקה בינומית, פתר עבור $n$ ו-$p$ במקביל. הקירוב הפואסוני לח בנומיאל דורש $n$ גדול ו$p$ קטן (השתמש ב$\lambda = np$).
דוגמה מפורשת — רגעים ואז קירובים (WST02 יוני 2025 שאלה3). סוכריות כחולות בכל תיק קטן יש ממוצע 3 ושונות 2.55: $np = 3$ ו$np(1-p) = 2.55$ נותנים $1 - p = 0.85$, לכן $p = 0.15$ ו$n = 20$. תיק בינוני של 40 עם 20% ירוקים: $X\sim B(40, 0.2)$, $E(X) = 8$, וגם $P(X > 8) = 1 - P(X \le 8) = 0.407$. תיק גדול של 80 עם 10% צהובים: עם $n = 80$ גדולים ו$p = 0.1$ קטנים, $X\approx\mathrm{Po}(8)$ ו$P(X \ge 12) = 1 - P(X \le 11) = 0.112$.
משתנים אקראיים רציפים
משתנה מקרי רציף יש לו פונקציית צפיפות הסתברות $f$ עם שטח כולל 1 וערך $P(X = x) = 0$ בכל נקודה; פונקציית ההתפלגות המצטברת $F(x) = P(X \le x)$ עומדת ב$f = F'$ וב$F(a) = \int_{-\infty}^a f$. צפיפויות חלקי-חלקי: מנרמלים $\int f = 1$ (שהקובע את הקבוע הבלתי ידוע), ולאחר מכן קוראים את הממוצע ($F = \tfrac12$), רבעונים ואת המוד מהשיא של $f$ (הגדר $f' = 0$, או בדוק פינות). $E(X) = \int xf\,dx$, $E(X^2) = \int x^2f\,dx$, $\mathrm{Var} = E(X^2) - [E(X)]^2$; עיוות משווים בין ממוצע, ממוצע וחובה.
![שמאל: CDF F(x) = (6x^2 - x^4)/5 על [0, 1] עולה מ0 ל1 עם הממוצע מסומן ב-F = 1/2 (x = 0.671). ימין: צפיפות f(x) = (12x - 4x^3)/5 עם החובה ב-x = 1 והאזור מעבר ל-x = 0.6 מוצלע (0.594).](/handout-media/edexcel_ial_further_mathematics/assets/08-cdf-pdf.png?v=1792758424)
דוגמה מפורשת — CDF שעבר תהליך פתרון (WST02 יוני 2025 שאלה1). $F(x) = k(6x^2 - x^4)$ על [0, 1]: $F(1) = 1$ נותן $5k = 1$. $P(X > 0.6) = 1 - \tfrac{6(0.36) - 0.1296}{5} = 0.594$. הממוצע: $\tfrac{6m^2 - m^4}{5} = \tfrac12$, כלומר $2m^4 - 12m^2 + 5 = 0$, ולכן $m = 0.671$. המוד: $f(x) = \tfrac{12x - 4x^3}{5}$ ו$f'(x) = \tfrac{12 - 12x^2}{5} = 0$ נותן $x = 1$ (דוחים $-1$, מחוץ לתמיכה). אסימטריה: ממוצע $0.64 <$ ממוצע $0.671 <$ מוד $1$ — עיוות שלילי.
![שמאל: פונקציית צפיפות משולשת העולה לאורך 2x/21 מ-0 עד k = 3.5, ואז יורדת לאורך 2(6-x)/15 עד x = 6, עם ערך שיא 1/3 מסומן. ימין: צפיפות אחידה ב[-2, 14] בגובה 1/16, כאשר המרווח [8, 14] מצופה (שטח 3/8).](/handout-media/edexcel_ial_further_mathematics/assets/08-triangular-pdf.png?v=1792133600)
דוגמה מוצגת — פונקציית צפיפות מקוטעת-קווי, ללא מחשבון (WST02 יוני 2025 Q5). עם $f(x) = \tfrac{2x}{21}$ ב$[0, k]$ ו-$f(x) = \tfrac{2(6-x)}{15}$ ב$(k, 6]$: נורמליזציה,
לכן $k = 3.5$ (פונקציית הצפיפות רציפה שם, שתי החלקים שווים ל-$\tfrac13$). אז $E(X) = \tfrac{2}{21}\cdot\tfrac{k^3}{3} + \tfrac{2}{15}\int_{3.5}^6(6x - x^2)dx = \tfrac{19}6$, ועם $E(X^2) = \tfrac{277}{24}$ נתון, $\mathrm{Var}(X) = \tfrac{277}{24} - \tfrac{361}{36} = \tfrac{109}{72}$.
ההתפלגות אחידה רציפה
ההתפלגות אחידה רציפה על $[a, b]$ אחידה על $[a, b]$: צפיפות $\tfrac1{b-a}$, פונקציית התפלגות ליניארית, תוחלת $\tfrac{a+b}2$, שונות $\tfrac{(b-a)^2}{12}$. שתי עובדות קובעות את $a$ ואת $b$ (הסתברות מרווח נותנת $b - a$; ה תוחלת נותנת $a + b$). קודי סקאלה משנים את התוחלת; הסתברויות הן אורכים חלקי $b - a$.
דוגמה מפורטת — התפלגות אחידה על מרווח רחב (WST02 יוני 2025 שאלה6). נניח $a\le2$ ו$b\ge5$. אז $P(2 < X < 5) = \tfrac3{16}$ gives $b - a = 16$; $E(X) = 6$ gives $a + b = 12$: so $a = -2$, $b = 14$ ללא הנחת התמיכה הזו, $a=4.4$ ו$b=7.6$ גם כן מקיימים את שתי העובדות הנתונות; החישובים הבאים משתמשים בהנחת התמיכה המצוינת. $E(cX + 1) = 3$ נותן $c = \tfrac13$; $\mathrm{Var} = \tfrac{256}{12} = \tfrac{64}3$; $E(X^2) = \tfrac{64}3 + 36 = \tfrac{172}3$; and $P(\tfrac32X - b > a) = P(X > \tfrac{2(a+b)}3) = P(X > 8) = \tfrac{14-8}{16} = \tfrac38$.
אוכלוסיות, דגימות וסטטיסטיקות
מרזם שואף למדוד את כולם (מלא אך יקר, איטי, ועשוי להיות הרסני). לדוגמה היא למדוד חלק נבחר מאוכלוס; היחידות הנבחרות נקראות גם דוגמה (זולה ומהירה יותר, אך עם שגיאת דגימה). מסגרת הדגימה מפרטת את יחידות הדגימה. סטטיסטיקה היא פונקציה של ערכי הדוגמה בלבד (ללא קבועים בלתי ידועים פרמטרים) — $\bar X$ הוא, $\bar X - \mu$ אינו; ההתפלגות שלו דגימות חוזרות היא ההתפלגות הדגימה.
דוגמה מפורטת — התפלגות דגימה (WST02 יוני 2025 שאלה4). שלושה חרוזים מתוך 2:5 שחור-לבן, עם ניקוד 4 לכל שחור ו1 לכל לבן: עם $P(\text{black}) = \tfrac27$, ה ניקוד $X$ לוקח 3, 6, 9, 12 עם הסתברויות $\tfrac{125}{343}, \tfrac{150}{343}, \tfrac{60}{343}, \tfrac{8}{343}$ (binomial weights $\binom30(\tfrac57)^3$ etc.). If $Y$ סופר 9-נקודות מתוך $n$ ניסויים עצמאיים, $Y\sim B(n, \tfrac{60}{343})$ ו $1 - (\tfrac{283}{343})^n > 0.95$ דורש $n > 15.6$, ולכן $n = 16$.
Hypothesis tests
מבחן היפותזה משווה נתונים מול מודל אפס.
ציינו אתההיפותזה האפסית $H_0$ (ללא שינוי, הפרמטר המצוטט) ו$H_1$ (עלת אחת או דו-צדדית כפי שנדרש). מצאו את אזור הביטול ברמת המינון המצוינת על ידי בחירת זנבות שסך ההסתברות האפס שלהם אינו עולה על $\alpha$; מדווחים את רמת המשמעות בפועל כסך הסתברות הזנבות. חד-זנבי מציבות את כל הרמה בצד אחד; דו-צדדים מחלקות אותה. גמרו בהקשר: "אינה יש", ראיה לכך ש… השתנה". קירוב נורמלי למשוואה בינומית: ממוצע $np$, שונות $np(1-p)$, עםתיקון הרציפות (לפחות $t$ פירושו $t - 0.5$).
דוגמה פתורה — בדיקת קצף פואסון (WST02 יוני 2025 שאלה2). לקוחות בממוצע 20/שעה; לאחר שינויים עוברת תקופת דקה אחת 30: $X\sim\mathrm{Po}(10)$, $H_0\colon\lambda = 10$, $H_1\colon\lambda \ne 10$. ברמת 3%: $P(X \le 3) = 0.0103$ אך $P(X \le 4) = 0.0293$ (גד מדי); $P(X \ge 17) = 0.0270$ אך $P(X \ge 18) = 0.0143$ — אזור ביקורת $X \le 3$ או $X \ge 18$, רמת המציאות $0.0103 + 0.0143 = 2.46\%$. הערך הנצפה 16 נמצא מחוץ ל→ אל תדחו $H_0$.
דוגמה פותרת — בדיקת בינומית עם מרכז נורמלי (WST02 יוני 2025 שאלה7). 30% מה הלקוחות לוקחים ביטוח; דגימה של 40 נתנה $X\sim B(40, 0.3)$. הערך המקסימלי $r$ עם $P(X < r) < 0.05$ (פחות מ$r$): $P(X \le 6) = 0.0238 < 0.05$ אך $P(X \le 7) = 0.0553 > 0.05$, so $r = 7$. עבור 200 לקוחות, $B(200, 0.3)\approx N(60, 42)$: $P(X \ge t) = 0.9474$ פירושו $\tfrac{t - 0.5 - 60}{\sqrt{42}} = -1.62$, ולכן $t = 50$. לאחר מבצע מיוחד, 11 מתוך 25 קונים: $H_0\colon p = 0.3$, $H_1\colon p > 0.3$; $P(X \ge 11) = 0.0978 < 0.10$, ולכן דוחים $H_0$ — ראיה שהיחס עלה.
רשימת בדיקה לפני סיום יחידה זו
- ציינו הנחות בדיקה בינומית/פואסון בהקשר; פתרו זוגות ממוצע/שונות עבור $n$, $p$; סקלו קצבי פואסון לפי זמן.
- תקננו צפיפויות מקוטעות (קבועים, k ריבוע מושלם); גזרו את F לקבלת f; מצאו חציון/רביעיים מ-F, ממוצע מדויק מ-f' או פינות; חישבו E(X), E(X²), Var; קראו עיוות מממוצע-חציון-ממוצע מדויק.
- הציגו והסקינת את עובדות ההתפלגות אחידה; קבעו את a ו-b מתוך מרווח וערך ממוצע; שמרו על הסתברות כאורך.
- הבדילו בין מפקד לדגימה עם יתרונות וחסרונות; זיהו סטטיסטיקות; בנו התפלגויות דגימה קטנות באמצEnum; עטפו ספירות ב-B(n, p) להמשך.
- בצעו בדיקות חד-כיווניות ודו-כיווניות: היפותזות בסמלים ובמילים, אזור ביקרת על ידי איסוף, רמת משמעות אמיתית, מסקנה בהקשר; קירוב נורמלי עם תיקון רציפות כאשר n גדול.