I · Numerical methods

AQA A-level Mathematics 7357, סעיף I (שיטות נומרליות), גרסה 1.3 (הערכה ראשונה 2018). הערות הוראה מקוריות.

תנאי קדם: הערכת פונקציה וניתוח סימן מהסעיפים B ו-G.

דוגמאות הוראה מקוריות אלו, ולא חומר רשמי של AQA.

השאלה

• המשוואה x³ − x − 1 = 0 אין לה פתרון אלגברי מסודר, אלא מהנדס זקוק לשורש לארבעה מקומות אחרי הנקודה. כיצד ניתן להוכיח שתשובה מקורבת נכונה בדיוק המפורש?
• לפני הקריאה, ציינו מה מעיד שינוי סימן, ומה יכול לגרום לתשובה עשרונית להיות אמינה.

השיטה

• פונקציה רציפה עם סימנים הפוכים בשתי הקצוות יש לה שורש ביניהם. חצייה מחלקת את הקטע, שומרת על החצי שקצוותיו עדיין שונים בסימן; עצור אם האמצע הוא בעצמו שורש.
• איטרציה x הבא = g(x משפרת הערכה מהסדרה; גבול חייב לקיים L = g(L) ויש לבדוק באות המקורית. ניוטון-רפסון משתמש ב-x הבא = x − f(x)/f′(x) כאשר הנגזרת אינה אפס. כלל הטרפז מעריך אינטגרל מוגדר: (h/2)(y₀ + 2y₁ + … + 2yₙ₋₁ + yₙ).
• ביסקציה: מחצית של מרווח שורש, שמירה על החצי עם שינוי סימן; איטרציה: חזרה על עדכון x הבא = g(x מההערכה הקודמת; ניוטון-רפסון: עדכון השורש x הבא = x − f(x)/f′(x); כלל הטרפז: הערכת אינטגרל על ידי חיבור רצועות טרפז.

בדיקת עבודתכם

• שינוי סימן מוכיח שורש רק כאשר הפונקציה רציפה: 1/x משנה סימן סביב x = 0 ללא שורש שם. דווח על שורש מעוגל עם הברקתו, כגון 1.3247 לארבעה מקומות עשרוני המוצגים על ידי שינוי סימן של f ב-[1.32465, 1.32475], כך שהדיוק יהיה מוכח.
• איטרציה עשויה להתפוצץ או לסבוב: יש לבדוק את האיטרטים, התחום והמשוואה המקורית. כלל הטרפז מעריך גבוה או נמוך בהתאם לעיקום, ולא בהתאם לכך שהפונקציה פשוט עולה.

מקרה מפורט

• נתון: f(x) = x² − 2 ו-x₀ = 1.5 לניוטון-רפסון. f′(x) = 2x, ולכן x₁ = x₀ − f(x₀)/f′(x₀) = 1.5 − (2.25 − 2)/3 = 1.5 − 0.0833… = 1.4166667. שלב שני: f(1.4166667) ≈ 0.0069444, f′ ≈ 2.8333333, ולכן x₂ ≈ 1.4142157, התכנסות ל√2.

דוגמה:

העריכו ∫₀² x² dx עם שתי רצועות טרפז שוות והשוו עם הערך המדויק, באותו סדר. (תשובה: h = 1, גבהים 0, 1, 4, ולכן A = (1/2)(0 + 2 × 1 + 4) = 3. הערך המדויק הוא 8/3 ≈ 2.667 — העקומה החוספסת גורמת להערכה להיות גבוהה).

גבולות ומלכודות

• לכל שיטה יש תנאים: שיטת מחצית הצורך בשינוי סימן רציף, שיטת ניוטון דורשת נגזרת שאינה אפס ויכולה לכשל מהתחלה גרועה, ו-|g′(L)| < 1 הוא תנאי מספיק לקונרגנסיה מקומית כאשר g′ רציף סביב הנקודה הקבועה L והערך ההתחלתי קרוב מספיק; אינו תנאי הכרחי. יותר פסי משפרים הערכת טרפז אך לעולם אינם הופכים אותה לדויקית באמצעות הצהרה.

אזהרה:

כל שינוי סימן מוכיח קיום שורש, כולל אחד חוצה אי-רציפות. טענה זו שגויה: הנימוק ערך ביניים דורש רציפות בכל הקטע — חוצה אסימפטוטה הפונקציה יכולה לקפוץ משלילי לחיובי ללא שום שורש.

מפת מושגים:

שיטות נומריות: כלוא שורש עם שינוי סימן רציף וחלק בשתיים באמצעות חצייה; חזרו על הפעולה עם בדיקת התכנסות; ניוטון–רפסון משתמש במשיק; כלל הטרפז מעריך אינטגרלים כאשר העיקומיות קובעת את כיוון השגיאה.