H · Integration

AQA A-level Mathematics 7357, פרק H (אינטגרציה), גרסה 1.3 (מבחן ראשון 2018). הערות הוראה מקוריות.

דרישות מוקדמות: גזירה מפרק G.

דוגמאות הוראה מקוריות אלו, ולא חומר רשמי של AQA.

השאלה

• גרף המהירות של רץ צולל מתחת לציר הזמן זמן מה, ואז עולה חזרה. ה-"שטח מתחת לעקומה" כמעט אפס — האם הרץ לא זז בכלל?
• לפני הקריאה, אמור מה משמעות השטח הסימני, וכיצד המרחק הכולל שונה מהתזוזה.

השיטה

• אינטגרציה הפוכה לגזירה: פונקציה קדומה של axⁿ היא axⁿ⁺¹/(n+1) + C עבור n ≠ −1, בעוד ש-1/x אינטגרל שלו ln|x| + C. אינטגרל מוגדר מא a ל-b הוא הצטברות סימנית: F(b) − F(a).
• שטח סימני מבטל את עצמו שם שעקומה חוצה את ציר ה-x, ולכן סך השטח החיובי דורש חלוקת האינטגרל ב-כל נקודת חצייה. המשפט היסודי מקשר בין שני הכיוונים: גזירה של פונקציית הצטברות מחזירה את הפונקציה שבתוך האינטגרל.
• פונקציה קדומה: פונקציה שנגזרת שלה היא הפונקציה שבתוך האינטגרל; אינטגרל מוגדר: ההצטברות הסימנית של פונקציה בין שתי גבולות; המשפט היסודי: הקישור הדו-כיווני שבו גזירת פונקציית ההצטברות מחזירה את הפונקציה שבתוך האינטגרל.

בדיקת עבודתכם

• ודא כל פונקציית נגזרת על ידי גזירתה חזרה, ושמר את הקבוע C באינטגרלים לא מסודרים — נקודה סופקה קובעת אותו. המקרה n = −1 נפרד: 1/x אינטגרל ל-ln|x|, לעולם לא חוק החזקות עם חלוקה באפס.
• לפני חישוב השטח הכולל, מצא את שינויי הסימן של הפונקציה שבתוך האינטגרל בתחום והפצל בהם; מהירות עם שינוי סימן תניב תוצאות שונות להתזוזה ולמרחק הכולל.

מקרה מפורט

• נתון: v(t) = 3t² − 3 עבור 0 ≤ t ≤ 2. פונקציה אנטי-גזרית היא t³ − 3t. תזוזה = [t³ − 3t] מ0 עד 2 = (8 − 6) − 0 = 2 מטר. אבל v = 0 ב-t = 1, ולכן מרחק כולל = −[t³ − 3t] מ0 עד 1 + [t³ − 3t] מ1 עד 2 = 2 + 4 = 6 מטר.

דוגמה:

מצאו את השטח בין y = x² לציר ה-x מ-0 ל-1, ולאחר מכן הערכה עם מלבנים בקצה ימין בעלי 4 רצועות, באותו סדר. (תשובה: אינטגרל מדויק ∫₀¹ x² dx = 1/3 ≈ 0.333; ההערכה היא (1/4)(1/16 + 1/4 + 9/16 + 1) = 15/32 ≈ 0.469, הערכה גבוהה לעקומה מחוספסת ועולה זו).

גבולות ומלכודות

• אינטגרציה היא הגבול של סכמי רצועות; מספר רצועות סופי משמש רק להערכה, והשגיאה תלויה בעיקום. אין לבצע אינטגרציה על פני נקודת אי-רציפות כמו 1/x ב-0, ויש לזכור ששטח חתום יכול להיות אפס בעוד שהשטח הכולל חיובי.

אזהרה:

אינטגרל מוגדר תמיד שווה לשטח חיובי כולל בין העקומה לציר. טענה זו שגויה: האינטגרל הוא מכוון — אזורים מתחת לציר נספרים כשליליים, ולכן ההזזה יכולה להיות קטנה או אפס בעוד שמרחק הכולל שהתנועה עברה גדולה.

מפת מושגים:

אינטגרציה: פונקציות נגזרות מאומתות על ידי גזירה חזרה, עם C הקבוע על ידי נקודה סופקה; אינטגרלים מוגדרים הם הצטברות מכוונת F(b) − F(a); שטח כולל דורש חלוקה בכל שינוי סימן, והמשפט היסודי מקשר בין הצטברות למשתנה באינטגרל.