G · Differentiation

AQA A-level Mathematics 7357, סעיף G (גזירה), גרסה 1.3 (הערכה ראשונה 2018). הערות הוראה מקוריות.

תנאי קדם: עיבוד אלגברי וסימון פונקציות מסעיף B.

דוגמאות הוראה מקוריות אלו, ולא חומר רשמי של AQA.

השאלה

• עקומת המרחק-זמן של מכונית ממשיכה להתכופף, ולכן אין "מהירות" אחת שמתאימה לכל המסע — עם זאת, המהירותמדד מראה כעת מספר אחד. מה המשמעות הגיאומטרית של מספר זה?
• לפני הקריאה, ציין כיצד שיפוע המשיק שונה מהמהירות הממוצעת בין שני זמנים.

השיטה

• הגזירה היא הגבול של מנה ההפרש [f(x+h) − f(x)]/h כאשר h → 0: שיפוע המשיק וקצב מיידי. עבור y = axⁿ, dy/dx = anxⁿ⁻¹; צורות טריגונומטריות ואקספוננציאליות נובעות: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, ברדיאנים.
• נקודה עצירה היא dy/dx = 0; סיווגה מתבצע לפי שינוי הסימן של הגזירה או סימן ה-גזירה השנייה (חיובי: מינימום מקומי; שלילי: מקסימום מקומי). כללי השרשרת, המכפלה והמכילה מטפלים בצורות מורכבות, כאשר כל גורם קצב פנימי נשמר.
• גזירה: הקצב המיידי של שינוי, שיפוע המשיק; נקודה עצירה: נקודה שבה הגזירה שווה לאפס; גזירה שנייה: הגזירה של הגזירה, המודדת כיצד השיפוע משתנה.

בדיקת עבודתכם

• נגזרת אפס היא רק מועמד: ב-y = x³ הנקודה נייחת ב-0 אך הערך ממשיך לעלות, ולכן הסיווג דורש שינוי סימן או f″. בתחום מוגבל יש להשוות גם ערכי גבול — המקסימום/מינימום הגלובלי יכול להיות בקצה התחום.
• לאחר שמגזרים מכפלה כמו xeˣ, בדוק בקלט פשוט: כלל המכפלה נותן eˣ + xeˣ, שיצירתו ב-x = 0 היא 1, לא 0. הכפלת הגזירות הנפרדות תיתן ערך שגוי שם.

מקרה מפורט

• נתון: y = x³ − 3x, לכן dy/dx = 3x² − 3. נקודה עצירה כאשר 3x² − 3 = 0: x = ±1. הגזירה השנייה היא 6x: ב-x = 1 היא 6 > 0, ולכן (1, −2) היא מינימום מקומי; ב-x = −1 היא −6 < 0, ולכן (−1, 2) היא מקסימום מקומי.

דוגמה:

עבור y = x³ − 3x ב-x = 2, מצא את משוואות המשיק והנורמל באותו סדר: נקודה מ-f → שיפוע מ-f′ → משוואות ישר. (תשובה: y = 2 ב-x = 2 והשיפוע הוא 9, לכן המשיק הוא y − 2 = 9(x − 2) והנורמל הוא y − 2 = −(1/9)(x − 2).)

גבולות ומלכודות

• הנגזרת מספקת את השיפוע, לא את הקואורדינטה y — הנקודה תמיד מגיעה מהעקומה המקורית. משיק אופקי (שיפוע 0) לו נורמל אנכי, המתואר כ-x = קבוע, מכיוון שההפוך ההפוכי של אפס אינו קיים.

אזהרה:

כל נקודה בעלת גזירה אפס היא מקסימום או מינימום מקומי. טענה זו שגויה: y = x³ יש לה dy/dx = 0 ב-x = 0 אך הגזירה 3x² נשארת חיובית משני צדדיה — נקודת עקומה עצירה, ללא קיצון כלל.

מפת מושגים:

גזירה: הנגזרת היא הגבול של שיפוע המחברת, הנותנת את שיפוע המשיק והקצב. מועמדים לקיצון נובעים מ-f′ = 0 ומיועדים על ידי שינוי סימן או f″; משיקים ונורמלים משתמשים בנקודה מ-f ובשיפוע מ-f′.