F · Exponentials and logarithms

AQA A-level Mathematics 7357, סעיף F (מעריכים ולוגריתמים), גרסה 1.3 (הערכה ראשונה 2018). הערות הוראה מקוריות.

תנאי קדם: חוקי מעריכים ומחשבים מדעיים מ-GCSE.

דוגמאות הוראה מקוריות אלו, ולא חומר רשמי של AQA.

השאלה

• דוגמה מחצה כל 3.5 שעות, אך המעבדה זקוקה לרמת החומר ב-5 שעות — אין טבלה לכך. כיצד נוסחה אחת מחליפה את הטבלה החסרה?
• לפני הקריאה, ציין מה הדגם y = Ae^(kt) דורש כקלט, וכיצד גרף לוגריתמי יכול לשחזר את k ממידע.

השיטה

• ב-y = Ae^(kt), A הוא הכמות ההתחלתית ו-k הוא הקצב היחסי: חיובי לצמיחה, שלילי לדעיכה. החצי-חיים הוא ln 2/|k|; זמן ההכפלה הוא ln 2/k.
• הלוגריתם הוא הפונקציה ההופכת של האקספוננציאל: y = a^x פירושה x = log_a y, מוגדר רק עבור y חיובי. חוקי הלוגריתם נובעים מחוקי החזקות: log(uv) = log u + log v, log(u/v) = log u − log v, log(uᵏ) = k log u. פתרון המשוואה a^x = b נותן x = ln b / ln a. ציור של ln y נגד t הופך את y = Ae^(kt) לקו ישר: ln y = ln A + kt.
• חצי-חיים: הזמן הנדרש כדי לכמות דועכת להגיע לחצי מערכמה ההתחלתי; לוגריתם: החזקה אליה יש להרים בסיס מסוים כדי לקבל מספר חיובי נתון.

בדיקת עבודתכם

• אקספוננציאל מותאם הוא דגם: בדוק את יחידת הזמן והטווח המצוינים לפני התחזית, והשווה תחזית למדידה חדשה (שארית) לפני האמונה בה. k שלילי משמעותו דעיכה; כמות התחלתית שלילית סותרת בדרך כלל את ההקשר.
• במשוואות לוגריתמיות, רשום תחילה את התחום המקורי: כל ארגומנט בכל לוגריתם חייב להיות חיובי, ולכן מועמדים שהופקו לאחר איחוד לוגריתמים חייבים לבדוק מולו.

מקרה מפורט

• נתון: y = 80e^(−0.2t), y בגרם, t בשעות. חצי מכמות זו פירושה 40 = 80e^(−0.2t), ולכן e^(−0.2t) = 1/2. לקיחת ln: −0.2t = −ln 2, ולכן t = ln 2/0.2 ≈ 3.466 שעות. אותו k נותן את חצי-החיים לכל כמות התחלתית.

דוגמה:

פתור 3^x = 20 באמצעות אותה רצף פעולות: לקוח לוגריתם → יישום חוק החזקה → חלוקה → פרשנות. (תשובה: x ln 3 = ln 20, ולכן x = ln 20/ln 3 ≈ 2.727. בדיקה: 3^2.727 ≈ 20.)

גבולות ומלכודות

• חוקי הלוגריתם חלים רק על ארגומנטים חיוביים; ln(x + y) אין לו חוק סכום (ln 2 + ln 3 = ln 6 ≠ ln 5). הדגם האקספוננציאלי צריך שהיחידה שלו של זמן תהיה מותאמת ל-k; שיעור שנתי אפקטיבי של 10% פירושו k = ln 1.1, לא k = 0.1.

אזהרה:

עבור x ו-y חיוביים, ln(x + y) = ln x + ln y. טענה זו שגויה: חוק מכפלה הוא ln(xy) = ln x + ln y; אין חוק לסכום בתוך לוגריתם, כפי ש-x = y = 1 מראה (ln 2 ≈ 0.69 אך ln 1 + ln 1 = 0).

מפת מושגים:

אקספוננציאלים ולוגריתמים: y = Ae^(kt) עם חצי-חיים ln 2/|k|; לוגריתמים הופכים אקספוננציאלים, עומדים בחוקי המכפלה/מכילה/חזקה, וממירים התאמה אקספוננציאלית לקו ישר. בדוק תחומים ויחידות לפני הפתרון.