E · Trigonometry

AQA A-level Mathematics 7357, סעיף E (טריגונומטריה), גרסה 1.3 (הערכה ראשונה 2018). הערות הוראה מקוריות.

תנאי קדם: טריגונומטריה של משולש ישר זווית ב-GCSE וערכים מדויקים.

דוגמאות הוראה מקוריות אלו, ולא חומר רשמי של AQA.

השאלה

• שני סטודנטים קיבלו A = 30°, a = 7 ו-b = 10. אחד דיווח על משולש אחד; השני התעקש שישנם שניים, ושניהם ישרי זווית. איזה מידע מבדיל בין המקרים?
• לפני הקריאה, ציינו איזה חוק זוגל צלעות עם זוויות נגדיות, ואילו בדיקה נוספת נדרשת לתשובה באמצעות סינוס הפוך.

השיטה

• במעגל היחידה, הנקודה בזווית θ היא (cos θ, sin θ), לכן הסימנים נובעים מהרביעון והערכים המדויקים מגיעים ממשולשי ה-30-60-90 וה-45-45-90. רדיאן הוא הזווית שהקשת שלה שווה לרדיוס: s = rθ ושטח עיגולית = r²θ/2 דורשים רדיאנים.
• חוק הסינוס זוגל צלעות נגדיות וזוויות נגדיות: a/sin A = b/sin B. חוק הקוסינוס a² = b² + c² − 2bc cos A משתמש בזווית הנגד לצלע a. במקרה האמביוגי, sin B = b sin A / a יכול לתת את B או המשלים שלו 180° − B — יש לבדוק שניהם מול הזווית שנותרה.
• מעגל יחידה: המעגל ברדיוס 1 שעליו (cos θ, sin θ) היא הנקודה בזווית θ; רדיאן: הזווית שנקטעת על ידי קשת שאורכה שווה לרדיוס; חוק הסינוס: החוק a/sin A = b/sin B הזוגל צלעות נגדיות וזוויות נגדיות; חוק הקוסינוס: החוק a² = b² + c² − 2bc cos A; מקרה אמביוגי: מצב בחוק הסינוס בו שני משולשים עשויים להתאים לאותו נתונים.

בדיקת עבודתכם

• בחרו את החוק מהמידע הידוע: זוג צלע-זווית מתאים דורש חוק סינוס; שתי צלעות עם הזווית הכלואה ביניהן, או שלוש צלעות, דורשות חוק קוסינוס. לשטח, ab sin C / 2 דורש את הזווית שבין a לבין b.
• בדקו כל זווית מועמדת: הזווית שנותרה C = 180° − A − B חייבת להיות חיובית, וכל הצלעות חייבות להיות חיוביות. מחשבון הסינוס ההפוך מחזיר רק את הערך הראשוני החדה — המשלים הוא מועמד נפרד.

מקרה מפורט

• ידוע: צלעות 6 ו8 כולאות זווית 60°. השתמשו בחוק הקוסינוס: c² = 6² + 8² − 2 × 6 × 8 × cos 60° = 36 + 64 − 96 × 0.5 = 52. לכן c = √52 = 2√13 ≈ 7.21. השטח הוא (1/2) × 6 × 8 × sin 60° = 24 × (√3/2) = 12√3.

דוגמה:

עבור A = 30°, a = 7, b = 10, מצאו את הערכים האפשריים של B באמצעות אותה סדרה: ידוע → חוק סינוס → שני ענפים → בדיקת תקפות. (תשובה: sin B = 10 × sin 30°/7 = 5/7, ולכן B ≈ 45.6° או B ≈ 180° − 45.6° = 134.4°. בשני המקרים נותרת זווית שלישית חיובית, ולכן שני משולשים מתאימים.)

גבולות ומלכודות

• המקרה האמביוגי דורש מנייה: עם h = b sin A ו-A חדה, a < h נותן אף אחד, a = h נותן משולש ישר זווית אחד, h < a < b נותן שניים, ו-a ≥ b נותן אחד. משוואות טריגונומטריות בטווח חייבות לרשום כל פתרון: sin x = 1/2 ב-[0, 2π) כוללת גם π/6 וגם 5π/6.

אזהרה:

ערך הסינוס ההפוך במחשבון הוא הזווית היחידה האפשרית בבעיית חוק הסינוסים. טענה זו שגויה: הסינוס חיובי בשני רבעונים, ולכן המשלים 180° − B הוא מועמד שני וחייב לבדוק, מה שזהו בדיוק המקרה הערפל.

מפת מושגים:

טריגונומטריה: מעגל יחידה לערכים ולסימנים, רדיאנים לקשתות ולעיגוליות, חוק סינוס עם המקרה האמביוגי, חוק קוסינוס לזוויות כלואות, ו-ab sin C / 2 לשטח — תמיד עם בדיקת תקפות על הזווית שנותרה.