D · Sequences and series

AQA A-level Mathematics 7357, פרק D (סדרות וסדרים), גרסה 1.3 (הערכה ראשונה 2018). הערות הוראה מקוריות.

דרישות מקדימות: GCSE סדרות אריתמטיות ומשוואות סימולטניות.

דוגמאות הוראה מקוריות אלו, ולא חומר רשמי של AQA.

השאלה

• חוסך מצמיד סכום זהה כל שנה בעוד שההשקעה גדלה באותו אחוז כל שנה. לאחר שמונה שנים, איזה יתרה תוכלו לסכום בדיוק בשורה אחת?
• לפני הקריאה, אמרו איזה משתי הגדילה הוא על ידי חיבור ואיזה על ידי כפל, ומה כל נוסחת סכום דורשת.

השיטה

• סדרה אריתמטית מוסיפה הפרש קבוע: uₙ = a + (n − 1)d. הסכום שלה מחושב על ידי זוגות קצוות: Sₙ = n(a + uₙ)/2. סדרה גיאומטרית כופלת ביחס קבוע: uₙ = arⁿ⁻¹, עם Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) עבור r ≠ 1.
• סכום גיאומטרי אינסופי קיים רק כאשר |r| < 1, כי האיברים צומצמים לעבר אפס: S∞ = a/(1 − r). יחס חזרה מגדיר כל איבר לפי הקודם לו ודורש ערך התחלתי; סדרה מחזורית חוזרת לאחר מספר קבוע של צעדים.
• סדרה אריתמטית: סדרה עם הפרש קבוע בין איברים; סדרה גיאומטרית: סדרה עם יחס קבוע בין איברים; יחס חזרה: כלל הנותן כל איבר לפי הערך הקודם; סדרה מחזורית: סדרה שבה האיברים חוזרים לאחר מספר קבוע של צעדים.

בדיקת עבודתכם

• שחזרו את a ו-d משני איברים נתונים באמצעות משוואות סימולטניות לפני השימוש בנוסחה: u₃ = 10 ו-u₇ = 22 נותנים 4d = 12, ולכן d = 3 ו-a = 4. מספר האיברים חייב לצאת כמספר שלם חיובי; שבר או שורש שלילי נדוחים, לעולם לא מעוגלים למקום.
• בדקו סכום טעון נגד מספר האיברים הראשונים ישירות, ואמתו מטרה לפחות נגד המספרים השלמים בשני צדי החצייה.

מקרה מפורט

• ידוע: a = 5, d = 3, n = 8. האיבר השמיני הוא u₈ = 5 + 7 × 3 = 26. הסכום הוא S₈ = n(a + uₙ)/2 = 8(5 + 26)/2 = 124. כל אחד מארבעת זוגות הקצוות מסכם 31, ו4 × 31 = 124 ✓.

דוגמה:

עבור a = 12, r = 0.5, מצאו את הסכום האינסופי ואת הראשון n שהסכום החלקי שלו עולה על 23.9, באמצעות אותו רצף: ידוע → נוסחה → הצבה → בדיקת שלמות. (תשובה: S∞ = 12/(1 − 0.5) = 24. הסכומים החלקיים הם Sₙ = 24(1 − 0.5ⁿ): S₇ = 24(1 − 1/128) = 23.8125 < 23.9 ו-S₈ = 24(1 − 1/256) = 23.90625 ≥ 23.9, ולכן n = 8.)

גבולות ומלכודות

• נוסחת הסכום האינסופי אינה תקפה ב-r = 1 או r = −1, שבהם האיברים לא צומצמים; יחס שלילי מתכנס אם הגודל המוחלט שלו קטן מ1. יחס חזרה דורש שמסודר הפעולה שמר על הסדר המדויק: הבא = 1.1B + 50 שונה מ-1.1(B + 50).

אזהרה:

לכל סדרה גיאומטרית יש סכום סופי לאינסוף. טענה זו שגויה: הסכום קיים רק כאשר |r| < 1. ב-r = 2 האיברים גדלים ללא גבול, וב-r = −1 הסכומים החלקיים מתנדנד לנצח — אף אחד מהם אינו מתכנס.

מפת מושגים:

סדרות וסכומים: סדרה אריתמטית מחברת (זוג קצוות לסכום), גיאומטרית מכפילה (S = a(1−rⁿ)/(1−r), ו-S∞ = a/(1−r) רק עבור |r| < 1). שחזרו פרמטרים מהאיברים הנתונים, ובקשו תשובות שלמות למניית איברים.