C · Coordinate geometry

AQA A-level Mathematics 7357, סעיף C (גיאומטריה אנליטית), גרסה 1.3 (הערכה ראשונה 2018). הערות הוראה מקוריות.

דרישות קדם: GCSE קווים ישרים, פיthagoras ומשוואות ריבועיות.

דוגמאות הוראה מקוריות אלו, ולא חומר רשמי של AQA.

השאלה

• חתך רוחב של קערת לוויין וחישוק של גלגל הם שניהם מעגלים, אך רק החישוק ניתן לכתיבה (x − a)² + (y − b)² = r² עם מרכז שקל לקרוא ממנו במבט אחד. מה משוואה זו מניבה?
• לפני הקריאה, אמור מה הפרמטרים a, b ו-r שולטים בכל אחד, ואיך could נמצא כיוון מגע ללא דיפרנציציה.

השיטה

• קו העובר דרך (x₁, y₁) עם שיפוע m הוא y − y₁ = m(x − x₁). קווים מקבילים משתפים את m; שיפועים מאונכים סופיים מקיימים m₁ × m₂ = −1.
• מעגל עם מרכז (a, b) ורדיוס r הוא (x − a)² + (y − b)² = r². הרדיוס לנקודת מגע מאונך ל-מגע שם, ולכן שיפוע המגע הוא ההופכי השלילי של השיפוע של הרדיוס. קוטב תוחך זווית ישרה בקשת.
• שיפוע: השינוי ב-y ליחידת שינוי ב-x; מעגל: קבוצת הנקודות במרחק קבוע ממרכז; מגע: קו נוגע במעגל בנקודה אחת, מאונך לרדיוס שם.

בדיקת עבודתכם

• בדוק שהנקודה המוצעת נמצאת על המעגל על ידי הצבה ל-(x − a)² + (y − b)² = r² לפני בניית מגע בו. השלמה לריבוע להצלת מרכז מהצורה המורחבת x² + y² + px + qy + s = 0 — ועודכן גם את הצד הימני.
• חתוך קו עם המעגל בהצבה: שורש כפול הוא מגע, שני שורשים הם מיתר, ודיסקרימיננטה שלילית היא אי-פגישה.

מקרה מפורט

• ידוע: המעגל x² + y² = 25 והנקודה (3, 4) עליו (3² + 4² = 25 ✓). השיפוע מהמרכז (0, 0) לנקודה (3, 4) הוא 4/3, ולכן שיפוע המשיק הוא −3/4 כי m₁ × m₂ = −1. המשוואה היא y − 4 = −(3/4)(x − 3), שמסודרת מחדש ל3x + 4y = 25.

דוגמה:

מצאו את המרכז ואת הרדיוס של x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0 באותו סדר: קבצו איברים → השלימו ריבועים → קראו את הצורה. (תשובה: (x − 2)² + (y + 1)² = 25, ולכן המרכז הוא (2, −1) והרדיוס הוא 5; שמו לב שסימני הסוגריים מתהפכים במרכז).

גבולות ומלכודות

• כלל ההופכי השלילי דורש שיפועים סופיים ואי-אפס; רדיוס אופקי נותן משיק אנכי, הנכתב כ-x = קבוע. מיתר החוצה על ידי קו האנך למרכז הוא קיצור משולש ישר-זווית: מחצית המיתר, הרדיוס ומרחק המרכז מקיימים פיתגורס.

אזהרה:

המשיק בנקודה בעיגול יש לו אותה שיפוע כמו הרדיוס לנקודה זו. טענה זו שגויה: הרדיוס והמשיק מאונכים בנקודת המגע, ולכן מכפלת השיפועים שלהם היא −1 — ב-(3, 4), לרדיוס יש 4/3 ולמשיק יש −3/4.

מפת מושגים:

גיאומטריה אנליטית: ישרים לפי נקודה ושיפוע, מעגלים לפי (x − a)² + (y − b)² = r². משיקים משתמשים בקשר האנכיות עם הרדיוס; חיתוכים משתמשים בהצבה ובדיסקרימיננטה.