B · Algebra and functions

AQA A-level Mathematics 7357, סעיף B (אלגברה ופונקציות), גרסה 1.3 (הערכה ראשונה 2018). הערות לימוד מקוריות.

תנאי קדם: אלגברת GCSE: מעריכים, שורשים, פירוק למכפלים ופתרון משוואות ריבועיות.

דוגמאות הוראה מקוריות אלו, ולא חומר רשמי של AQA.

השאלה

• שני תלמידים פותרים x² − 4x + 1 = 0. אחד מסיים ריבוע ומקבל תשובות מדויקות; השני מצביב בנוסחה ומעגל מוקדם, וסוטה בחמישית. מה מבדיל בין שיטה מדויקת לשיטה הסוטה?
• לפני הקריאה, אמרו מהי המידה שכל שיטת פתרון דורשת, וכיצד הייתם בודקים תשובה סופית.

השיטה

• משוואה ריבועית ניתנת לפתרון על ידי פירוק למכפלים, השלמת ריבוע (a(x − h)² + k התן את הקודקוד (h, k)) או הנוסחה. הדיסקרימיננטה b² − 4ac סופרת שורשים ממשיים לפני כל פתרון.
• פונקציה מטפלת כל כניסה של התחום שלה בדיוק ביציאה אחת. הפוך קיים רק אם הפונקציה היא חד-חד-ערכית בתחומה — הגבילו את x² ל-x ≥ 0 תחילה. הרכבה fg(x) = f(g(x)) מפעילה את g קודם, ו-fg ו-gf שונים באופן כללי. טרנספורמציות גרף נקראות מהצורה המופרדת a·f(b(x − h)) + k: קנה מידה ב-1/b וב-a, ואז הזזה ב-h וב-k.
• השלמת ריבוע: כתיבת משוואה ריבועית בצורת a(x−h)²+k לקריאת הקודקוד ופתרון מדויק; דיסקרימיננטה: הכמות b²−4ac שקובעת כמה שורשים ממשיים קיימים; פונקציה: כלל המעניק בדיוק יציאה אחת לכל כניסה מותרת; תחום: קבוצת הכניסות המותרות של פונקציה.

בדיקת עבודתכם

• בדוק כל פתרון מועמד במשוואה המקורית, במיוחד לאחר הריבוע (שהיכול להוסיף שורשים זויפים) או החלקה בביטוי (שהיכול לאבד את מקרה האפס). שמור על צורות מדויקות עד לעיגול הנדרש; עיגול באמצע חישוב הוא הדרך לאבד עשיריות.
• עבור הפוך טעון, ודא כי f(f⁻¹(x)) = x בתחום ההפוך, וצין את תחום זה במפורש — ההפוך של x² קיים רק על ענף מוגבל.

מקרה מפורט

• ידוע: x² − 4x + 1 = 0. השלמת ריבוע: (x − 2)² − 4 + 1 = 0, ולכן (x − 2)² = 3. ערבוב מחדש: x − 2 = ±√3. הצבה נותנת x = 2 + √3 ≈ 3.732 או x = 2 − √3 ≈ 0.268. בדיקה: (2 − √3)² − 4(2 − √3) + 1 = 7 − 4√3 − 8 + 4√3 + 1 = 0 ✓.

דוגמה:

עבור f(x) = x² − 4 עם תחום x ≥ 0, מצאו את הפונקציה ההפוכה ותחומה באמצעות אותו רצף: ידוע → ערבוב → בחירת ענף → הצגת תחום וטווח. (תשובה: מ-y = x² − 4, x = √(y + 4) באמצעות ענף x ≥ 0, ולכן f⁻¹(x) = √(x + 4) עם תחום x ≥ −4 וטווח y ≥ 0.)

גבולות ומלכודות

• הנוסחה תמיד עובדת אך צורות מדויקות מועדפות כאשר השורשים הם אילוצים; מספר עשרוני הוא קירוב. הרכבה היא רגישה לסדר, וגרף מעוצב חייב להיות נבדק על ידי מעקב אחרי נקודה ידועה אחת, ולא רק לפי הנוסחה.

אזהרה:

לפונקציה f(x) = x² יש הפוך בכל המספרים הממשיים. טענה זו שגויה: לשני כניסות יש אותו יציאה (2 ו-−2 נותנים שניהם 4), ולכן היחס ההפוך אינו פונקציה — יש להגביל תחום, לדוגמה ל-x ≥ 0, וקיבלנו f⁻¹(x) = √x.

מפת מושגים:

אלגברה ופונקציות: השלמה לריבוע או שימוש בנוסחה עם הדיסקרימיננטה כסופר שורשים; בדוק מועמדים במשוואה המקורית. לפונקציות יש לתת תחומים; להפוכים יש צורך בענפים חד-ל-אחד, והעתקות גרף קוראים מהצורה המופקטרת.