O · Statistical hypothesis testing

AQA A-Level מתמטיקה 7357, סעיף O (בדיקות הייפוזות סטטיסטיות), גרסה 1.3 (הערכה ראשונה 2018). הערות לימוד מקוריות.

דרישות מקדימות: המודלים הבינומיאלי והנורמלי מסעיף N.

דוגמאות הוראה מקוריות אלו, ולא חומר רשמי של AQA.

השאלה

• מפעל טוען ששיעור הפגמים הוא 10%, ובדוגמה של 10 נמצאו 3 פגמים. תלמיד אומר "3 פגמים מוכיח שהשיעור מעל 10%." מהו הדרך הנכונה לבדוק טענה זו?
• לפני הקריאה, ציינו את הטענה הבסיסית, את החלופית ואת ההסתברות כנגדה יש להעריך את הראיות.

השיטה

• נסחו את ההיפוזת האפס H₀ ואת ההיפוזת החלופית H₁ בהפרמטרים האוכלוסייתיִם BEFORE לבדוק את התוצאה. חשבו את ההסתברות, תחת H₀, לתוצאה שקיצונית לפחות כמו זו שנצפתה — ההסתברות בשוליים.
• השוו אותה לרמת המשמעות הנבחרת (כמו 5%). אם השולי עומד ברמה, דחו את H₀; אחרת אמרו שהראיות אינן מספיקות, לעולם אל תאמרו ש-H₀ הוכחה. משמעות סטטיסטית אינה אומרת כלום לגבי הגודל המעשי של אפקט.
• היפוזת אפס: הטענה הבסיסית לגבי פרמטר אוכלוסייתי, שנבדקת מול הראיות; היפוזת חלופית: הטענה המקובלת אם הראיות נגד H₀ חזקות מספיק; רמת משמעות: סף ההסתברות הנבחר לדחיית ההיפוזת האפס.

בדיקת עבודתכם

• בחרו את השולי מה-H₁, לא מהשולי שמניב מספר קטן: H₁: p > 0.1 דורש P(X ≥ נצפה), שולי עליון. בדיקות דו-צדדיות מכפילות את השולי כאשר הטענה היא "שונה", לא "גדול יותר".
• ההיפוזות הן על הפרמטר (שיעור הפגמים האמיתי), לא על הדוגמה; והן קבועות לפני שראו את הנתונים, אחרת הבדיקה מוטה.

מקרה מפורט

• נתון: H₀: p = 0.1, H₁: p > 0.1, n = 10, ונצפו 3 פגמים. תחת H₀, X ~ בינומית(10, 0.1): P(X ≥ 3) = 1 − (0.9¹⁰ + 10 × 0.1 × 0.9⁹ + 45 × 0.01 × 0.9⁸) ≈ 1 − 0.9298 = 0.0702. ברמת 5%, 0.0702 > 0.05: אין ראיות לכך ששיעור הפגמים עולה על 10%.

דוגמה:

ערך p חד-צדדי נכון הוא 0.03 ברמת 5%. נסחו את המסקנה באמצעות אותו תהליך: השוו לרמה → מסקנה בהקשר. (תשובה: 0.03 < 0.05, ולכן דוחים את H₀: הראיות תומכות בטענה החלופית ברמת 5%.)

גבולות ומלכודות

• כשל בדחיית H₀ אינו הוכחה שהוא נכון — ייתכן שהדוגמה פשוט קטנה מדי כדי לזהות הבדל אמיתי. רמת 5% אומרת כי 1 מתוך 20 טענות חפות יידחו במזל רב פעמים בבדיקות; משמעות סטטיסטית אינה מודדת חשיבות.

אזהרה:

הימנעות מהדחיית היפוטזת אפס אינה מוכיחה שהיא נכונה. טענה זו שגויה: המבחן בודק רק האם העדויות נגד H₀ עומדות בסף הקביעה. עדות חלשה משאירה את H₀ ללא הוכחה, ולא מאמת אותה — "עדויות לא מספיקות" ו"מוכח כנכון" הם מסקנות שונות לחלוטין.

מפת מושגים:

מבחני היפוטזה סטטיסטיים: נסחו תחילה את H₀ ואת H₁ באמצעות פרמטרים, חשבו את הסבירות בקצה הזנב תחת H₀, השוו את התוצאה לסף המשמעותיות הנקבע מראש והסיקו בהקשר — לעולם אל תטענו שההיפוטזה האפסית הוכחה כאשר היא עומדה במבחן.