M · Probability

AQA A-Level Mathemat7357, סעיף M (הסתברות), גרסת 1.3 (הערכה ראשונה 2018). הערות הוראה מקוריות.

דרישות מקדימות: עצי הסתברות ומגורי ון ברמת GCSE.

דוגמאות הוראה מקוריות אלו, ולא חומר רשמי של AQA.

השאלה

• שני חומקים יוצאים מארנק של 3 אדומים ו2 כחולים, אחד אחרי השני. ההסתברויות במשיכה השנייה שונות מהראשונה — האם זה טעות או הנקודה?
• לפני הקריאה, אמור מה "ללא החזרה" משנה, ואיך עץ מראה זאת.

השיטה

• Multiply along a tree branch and add disjoint branches for one outcome. Conditional probability restricts the sample space: P(A given B) = P(A ∩ B)/P(B) for P(B) > 0. Without replacement, the composition changes for the next draw.
• בלתי תואמים אומר אין חפיפה; בלתי תלויים אומר ידע באירוע אחד אינו משנה את ההסתברות של השני. שני אירועים בלתי תואמים עם הסתברות חיובית לעולם אינם בלתי תלויים: אם A קורה, P(B) יורד ל0.
• הסתברות תנאיית: ההסתברות לאירוע בתוך הקבוצה שנבחרה על ידי המידע הנתון; בלתי תואמים: אירועים שלא יכולים לקרות יחד; עצמאיים: אירועים שבהם ידע באחד משאיר את 2019 ההסתברות של השני ללא שינוי.

בדיקת עבודתכם

• מלאו דיאגרמת ון מהמפגשים החוצה: עם 18 רכיבים, 12 שחייה ו7 עושים את השניים, האזורים הבלעדיים הם 11 ו5, ולכן לפחות אחד הוא 23 ואף אחד אינו 7 מתוך 30. חיבור 18 + 12 סופר באופן כפול את ה7.
• הסתברות תנודית משתמשת בסך הקבוצה המותנית כמכנה: P(שחייה בתנאי רכיבה) = 7/18, ולא 7/30. הפיכת התנאי בדרך כלל משנה את הערך.

מקרה מפורט

• ידוע: 3 אדומים ו2 כחולים, שתי גרירות ללא החזרה. P(שני אדומים) = 3/5 × 2/4 = 3/10. P(אחד מכל סוג) = 3/5 × 2/4 + 2/5 × 3/4 = 3/10 + 3/10 = 6/10. הענפים מכפילים והשבילים הבלתי-תלויים מחברים.

דוגמה:

נתון P(A ∩ B) = 0.12 ו-P(B) = 0.3, מצאו את P(A בתנאי B) באמצעות אותה סדרה: זהו את הקבוצה המותנית → חלק → פרש. (תשובה: P(A בתנאי B) = 0.12/0.3 = 0.4. המכנה הוא ההסתברות של B, לא המרחב כולו.)

גבולות ומלכודות

• עצמאות ותלות משיבות שאלות שונות: אירועים בלתי-תואמים עם הסתברות חיובית הם תמיד תלויים. צפיות (np) הן ממוצעים לטווח ארוך, לא הבטחות עבור ריצה אחת.

אזהרה:

אירועים בלתי-תואמים עם הסתברויות חיוביות חייבים להיות עצמאיים. טענה זו שגויה: אם A ו-B לא יכולים לקרות יחד, אזי P(B בתנאי A) = 0 ≠ P(B) — ידע שה-A קרה משנה את ההסתברות של B לחלוטין, ההפך מעצמאות.

מפת מושגים:

הסתברות: כפול לאורך ענפים, חבר שבילים בלתי-תלויים; הסתברות תנודית מחלקת על ידי הקבוצה המותנית; ללא החזרה ההסתברויות מתפתחות; בלתי-תואם עם הסתברות חיובית פירושו תלוי, לעולם לא עצמאי.