J · Vectors

AQA A-level Mathematics 7357, סעיף J (וקטורים), גרסה 1.3 (הערכה ראשונה 2018). הערות הוראה מקוריות.

תנאי קדם: גיאומטריה אנליטית מסעיף C ופיthagoras.

דוגמאות הוראה מקוריות אלו, ולא חומר רשמי של AQA.

השאלה

• רחפן טס מנקודה A(1, 2) לנקודה B(5, 5), אך תוכנת המשימה מבקשת גם את החלק ההחזרתי. איזה נוסחה אחת נותנת גם את ההזזה החוצנית וגם את הפוך המדויק שלה?
• לפני הקריאה, ציינו מהויתר הזזה דורש מעבר למרחק, וכיצד החלק ההחזרתי שונה.

השיטה

• וקטור נושא גדלות וכיוון. וקטורי מיקום ממוקמים נקודות מאתרא origin; ה-הזזה מ-A ל-B היא AB = b − a, ו-BA = −AB הופכת אותה. מחברים ומחסרים רכיבים; כפל סקלרי שומר על מקבילות וקטור.
• המכפלה הסקלרית a·b = a₁b₁ + a₂b₂ = |a||b| cos θ מדדה את הזווית: וקטורים מאונכים יש להם a·b = 0, ו-a·a = |a|². הגדלה מגיעה מפיthagoras: |(4, 3)| = 5.
• וקטור: גודל עם גדלות וכיוון; הזזה: הוקטור מנקודה אחת לאחרת, b − a; מכפלה סקלרית: סכום מכפלות הרכיבים, שווה ל-|a||b| cos θ.

בדיקת עבודתכם

• שמרו על סדר החיסור: BA = −AB, כך שהחלפת קצוות הופכת כל רכיב. טענה למקבילות דורשת יחס של כפל סקלרי בין הוקטורים; סקיץ לבד אינו הוכחה.
• עבור קויריניות של שלוש נקודות, הראו ששתי ההזזות הן מקבילות AND משתפות נקודה משותפת; וקטורים מקבילים במיקומים שונים לא מוכיחים דבר על קו אחד.

מקרה מפורט

• נתון: a = (4, 1) ו-b = (1, 3). המכפלה הסקלרית היא a·b = 4 × 1 + 1 × 3 = 7. הגדלים הם |a| = √17 ו-|b| = √10, ולכן cos θ = 7/(√17 × √10) ≈ 0.537, תוך כדי ש-θ ≈ 57.5°. מכיוון ש-a·b ≠ 0, הוקטורים אינם מאונכים.

דוגמה:

עם A(1, 2) ו-B(5, 5), מצאו את ההזזה AB, את הגדלה שלה ואת ההזזה ההחזרתית, באותו רצף. (תשובה: AB = (5, 5) − (1, 2) = (4, 3); |AB| = √(4² + 3²) = 5; BA = (−4, −3), אותה גדלה בכיוון הנגדי.)

גבולות ומלכודות

• וקטור עונה על "כמה AND באיזה כיוון"; מרחק הוא רק סקלר. המכפלה הסקלרית רואה כיוון: היא הגדולה ביותר כאשר הוקטורים מושרים, אפס כאשר מאונכים, ושלילית כאשר מתנגדים.

אזהרה:

AB ו-BA יש להם אותם רכיבים. טענה זו שגויה: BA = −AB הופכת כל רכיב — מ-B חזרה ל-A זה (−4, −3), ולא (4, 3). רק הגדלים תואמים.

מפת מושגים:

וקטורים: הזזה = סוף − התחלה, מוחזרת על ידי החלק ההחזרתי; רכיבים מתחברים; כפלים סקלריים נשארים מקבילים; המכפלה הסקלרית נותנת את הזווית, עם האנכיות בדיוק ב-a·b = 0.