A · Proof

מתמטיקה A-Level של AQA 7357, סעיף א' (הוכחות), גרסה 1.3 (הערכה ראשונה 2018). הערות הוראה מקוריות.

דרישות קדם: עיבוד אלגברי מכוח GCSE.

דוגמאות הוראה מקוריות אלו, ולא חומר רשמי של AQA.

השאלה

• הנוסחה n² + n + 41 נותנת מספרים ראשוניים עבור n = 0, 1, 2, ועד 39. סטודנט מסיק שהיא תמיד נותנת מספר ראשוני. כיצד מספר אחד יכול להפריך ארבעה אימותים?
• לפני הקריאה, ציינו איזה סוג של טיעון יכול לאמת טענה על כל המקרים, ואיזה יכול לאמת טענה על מקרה בודד.

השיטה

• הוכחה סטרקטורית מתחילה מגדרות נתונות ועוקבת אחרי לוגיקה: אי-זוגיות 2a+1 ו2b+1 מתכנסים ל2(a+b+1), שהוא זוגי — הוכח לכל זוג.
• דוגמה נגדית שוללת טענה על כל הערכים בעזרת מקרה כשל אחד תקף: ב-n = 41, הערך הוא 41 × 43 = 1763, שאינו ראשוני. הוכחה בסתירה מניחה את ההפך ומגיעה לאי-אפשרות: אם √2 = p/q בשבר מצומצם, אז p² = 2q² מחייב ש-p זוגי, וכתיבת p = 2r מחייבת גם ש-q זוגי — סתירה לשבר מצומצם, ולכן √2 הוא מספר אי-רציונלי.
• סטרקטורה: הוכחת טענה על ידי שלבים לוגיים מהעובדות המקובלות; דוגמה נגדית: מקרה תקף אחד שמפריך טענה אוניברסלית; סתירה: הנחת הפוך והסקת בלתי אפשרות.

בדיקת עבודתכם

• בדיקת n = 0, 1, 2, …, 39 היא ראיה חזקה אך אינה הוכחה: הטענה נוגעת בכל המספרים הטבעיים. הוכחה חייבת לכסות את כל המקרים בו-זמנית — באמצעות אלגברה כללית, ניטול של רשימה סופית מלאה, או באמצעות סתירה.
• לפני קבלת ההוכחה, בדקו את מבנהה: האם היא מתחילה מהנחות ולא מהמסקנה? האם הסתירה תוקפת את ההנחה הנדרשת? בדיקת דוגמאות מאמתת חישוב אך לא יכולה להחליף את הטיעון הכללי.

מקרה מפורט

• ידוע: נגד-דוגמה ידועה היא n = 41. הצבה: n² + n + 41 = 41² + 41 + 41 = 41(41 + 1 + 1) = 41 × 43 = 1763. הערך מכיל גורם של 41, ולכן הוא אינו ראשוני – מקרה כשל אחד מספיק כדי להפריך טענה אוניברסלית (n = 40, נתן 1681 = 41², גם הוא כשל).

דוגמה:

בדקו אם סכום שני מספרים זוגיים הוא תמיד זוגי באמצעות הסקה: כתבו את שני המספרים כ-2a ו-2b והראו את המבנה. (תשובה: 2a + 2b = 2(a + b), שהוא כפולה של 2, ולכן זוגי לכל זוג — אין צורך בדוגמאות.)

גבולות ומלכודות

• לכל שיטה יש צורה מחויבת: הסקה דורשת משתנים כלליים, ניטול דורש רשימת מקרים ממשית ומלאה, וסתירה דורשת שהאי-אפשרות תנגזר מהשלילה עצמה. הוכחה לגבי מספרים שלמים אינה מכסה אוטומטית מספרים ממשיים, ומזהות שנוכחה לכל הערכים שונות מאשר משוואה נכונה רק לפתרונות ספציפיים.

אזהרה:

בדיקת טענה עבור מאה המספרים הראשונים מוכיחה אותה לכל מספר טבעי חיובי. טענה זו שגויה: דוגמה סופית היא עדות, לעולם לא הוכחה – n² + n + 41 עומדת ב-40 בדיקות (n = 0 עד 39) וכשלה ב-41 (n = 40 נתן 1681 = 41²), ולכן רק ארגומנט כללי או נגד-דוגמה פותרים טענה אוניברסלית.

מפת מושגים:

הוכחה: הסקה עובדת מההגדרות עם משתנים כלליים; דוגמה נגדית הורגת טענת כל-ערך בעזרת מקרה אחד; סתירה מניחה את השלילה וגוזרת אי-אפשרות. דוגמאות מאמתות ומפוללות — הן מעולם אינן מוכיחות טענה אוניברסלית.