Newton's law of gravitation · Loi de gravitation universelle de Newton
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|---|---|
| law of gravitation/lɔː ɒv ˌɡrævɪˈteɪʃn/ | loi de la gravitation universelle |
| attractive/əˈtræktɪv/ | attractif |
| universal constant/ˌjuːnɪˈvɜːsl ˈkɒnstənt/ | constante universelle |
| inverse-square law/ɪnˈvɜːs skweə lɔː/ | loi en carré inverse |
| point mass/pɔɪnt mæs/ | masse ponctuelle |
Every mass pulls every other
- The Earth pulls you down — and you pull the Earth up, just as hard.
- Every pair of masses attracts, anywhere in the universe.
- Newton captured it in one equation.
Toute masse attire toute autre
- La Terre vous tire vers le bas — et vous tirez la Terre vers le haut, avec la même intensité.
- Chaque paire de masses s'attire, n'importe où dans l'univers.
- Newton l'a capturé en une seule équation.
The law of gravitation 万有引力定律
- $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$ — an attractive 吸引 pull along the line joining the masses.
- $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \dfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$ is the universal constant 万有引力常数.
La loi de gravitation 万有引力定律
- $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$ — une attraction 吸引 le long de la ligne joignant les masses.
- $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \dfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$ est la constante universelle 万有引力常数.
Newton's law of gravitation · Loi de gravitation universelle de Newton
F ∝ Mm / r²
Gravity pulls inward and weakens with the square of the distance. · La gravité attire vers l'intérieur et diminue avec le carré de la distance.
Newton's law of gravitation gives the force between two masses as: · La loi de gravitation universelle de Newton donne la force entre deux masses comme :
The pull is proportional to each mass and inversely proportional to the distance squared. · L'attraction est proportionnelle à chaque masse et inversement proportionnelle au carré de la distance.
Gravity is always attractive. · La gravité est toujours attractive.
Yes — masses only ever pull together; there is no gravitational repulsion. · Oui — les masses n'ont jamais qu'une attraction mutuelle ; il n'existe pas de répulsion gravitationnelle.
An inverse-square law 平方反比定律
- The force falls off as $\dfrac{1}{r^{2}}$.
- Double the separation → the force drops to a quarter.
The International Space Station orbits Earth, held in its path by gravity
Une loi en inverse du carré 平方反比定律
- La force diminue selon $\dfrac{1}{r^{2}}$.
- Doubler la séparation → la force tombe à un quart.
La Station spatiale internationale orbite autour de la Terre, maintenue sur sa trajectoire par la gravité
Two masses attract with $40\ \text{N}$ at separation $r$. What is the force at separation $2r$? · Deux masses s'attirent avec une force de $40\ \text{N}$ à une séparation de $r$. Quelle est la force à une séparation de $2r$ ?
Inverse-square: $\dfrac{40}{2^{2}} = \dfrac{40}{4} = 10\ \text{N}$. · Inverse du carré : $\dfrac{40}{2^{2}} = \dfrac{40}{4} = 10\ \text{N}$.
If both masses are doubled (same distance), the gravitational force becomes: · Si les deux masses sont doublées (même distance), la force gravitationnelle devient :
$F \propto m_1 m_2$, so doubling each multiplies the force by $2 \times 2 = 4$. · $F \propto m_1 m_2$, donc doubler chaque masse multiplie la force par $2 \times 2 = 4$.
Two masses attract with force $F$. Match each change to the new force. · Deux masses s'attirent avec une force de $F$. Reliez chaque changement à la nouvelle force.
$F \propto \dfrac{m_1 m_2}{r^{2}}$: masses scale the force directly, the separation scales it by the inverse square. · $F \propto \dfrac{m_1 m_2}{r^{2}}$ : les masses modifient la force directement, la séparation la modifie selon l'inverse du carré.
Spheres act as points
- A uniform sphere pulls (from outside) exactly like a point mass 质点 at its centre.
- So you can treat the Earth as a point mass at its centre, and $r$ is always measured centre to centre.
Two masses attract along the line joining them
Les sphères agissent comme des points
- Une sphère uniforme attire (de l'extérieur) exactement comme une masse ponctuelle 质点 à son centre.
- Vous pouvez donc traiter la Terre comme une masse ponctuelle à son centre, et $r$ est toujours mesuré de centre à centre.
Deux masses s'attirent le long de la ligne les joignant
A uniform sphere attracts outside objects as if all its mass were at its centre. · Une sphère uniforme attire les objets extérieurs comme si toute sa masse était concentrée en son centre.
Yes — from outside, a uniform sphere behaves exactly like a point mass at its centre. · Oui — de l'extérieur, une sphère uniforme se comporte exactement comme une masse ponctuelle placée en son centre.
Worked example: the Earth and the Moon
Earth's mass is $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$, the Moon's is $7.35 \times 10^{22}\ \text{kg}$, and their centres are $3.84 \times 10^{8}\ \text{m}$ apart.
- Force: $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^{2}} = 2.0 \times 10^{20}\ \text{N}$.
- On which body? On both: the Moon pulls the Earth with exactly the same $2.0 \times 10^{20}\ \text{N}$ — a Newton's third law pair.
- Halve the distance: the force would be $4 \times 2.0 \times 10^{20} = 8.0 \times 10^{20}\ \text{N}$.
- Check: square the separation before dividing, and keep it in metres. An answer near $10^{28}\ \text{N}$ means $r$ was not squared.
Exemple résolu : la Terre et la Lune
La masse de la Terre est $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$, celle de la Lune est $7.35 \times 10^{22}\ \text{kg}$, et leurs centres sont distants de $3.84 \times 10^{8}\ \text{m}$.
- Force : $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^{2}} = 2.0 \times 10^{20}\ \text{N}$.
- Sur quel corps ? Sur les deux : la Lune tire la Terre avec exactement la même $2.0 \times 10^{20}\ \text{N}$ — une paire de troisième loi de Newton.
- Moitié de la distance : la force serait $4 \times 2.0 \times 10^{20} = 8.0 \times 10^{20}\ \text{N}$.
- Vérification : élevez la séparation au carré avant de diviser, et gardez-la en mètres. Une réponse proche de $10^{28}\ \text{N}$ signifie que $r$ n'a pas été élevé au carré.
Two $50\ \text{kg}$ people stand with their centres $1.0\ \text{m}$ apart. What is the gravitational force between them, as a multiple of $10^{-7}\ \text{N}$? · Deux personnes de masse $50\ \text{kg}$ se tiennent dont les centres sont distants de $1.0\ \text{m}$. Quelle est la force gravitationnelle entre elles, en multiple de $10^{-7}\ \text{N}$ ?
$F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 50 \times 50}{1.0^{2}} = 1.67 \times 10^{-7}\ \text{N}$ — less than the weight of a grain of dust, which is why $G$ is called tiny. · $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 50 \times 50}{1.0^{2}} = 1.67 \times 10^{-7}\ \text{N}$ — inférieur au poids d'un grain de poussière, c'est pourquoi $G$ est qualifié de minuscule.
Weighing a planet
- You cannot put a planet on a balance, but its surface field gives its mass: $g = \dfrac{GM}{R^{2}}$, so $M = \dfrac{gR^{2}}{G}$.
- A moon's orbit works too: gravity supplies the centripetal force, $\dfrac{GMm}{r^{2}} = mr\omega^{2}$, so $M = \dfrac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}}$ — only the orbit's radius and period are needed.
Peser une planète
- Vous ne pouvez pas placer une planète sur une balance, mais son champ de surface donne sa masse : $g = \dfrac{GM}{R^{2}}$, donc $M = \dfrac{gR^{2}}{G}$.
- L'orbite d'une lune fonctionne aussi : la gravité fournit la force centripète, $\dfrac{GMm}{r^{2}} = mr\omega^{2}$, donc $M = \dfrac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}}$ — seuls le rayon et la période de l'orbite sont nécessaires.
Worked example: the mass of Mars
At the surface of Mars the field strength is $3.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ and the radius is $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Show that the mass of Mars is about $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$.
- Start from the field of a sphere: $g = \dfrac{GM}{R^{2}}$.
- Rearrange: $M = \dfrac{gR^{2}}{G} = \dfrac{3.7 \times (3.4 \times 10^{6})^{2}}{6.67 \times 10^{-11}}$.
- Answer: $M = 6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$, as required — about a tenth of the Earth's mass.
- Check: a "show that" is marked on the working, so write the equation, the rearrangement and the substitution, and let the number fall out.
Exemple résolu : la masse de Mars
À la surface de Mars, l'intensité du champ est $3.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ et le rayon est $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Montrez que la masse de Mars est d'environ $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$.
- Partir du champ d'une sphère : $g = \dfrac{GM}{R^{2}}$.
- Réarranger : $M = \dfrac{gR^{2}}{G} = \dfrac{3.7 \times (3.4 \times 10^{6})^{2}}{6.67 \times 10^{-11}}$.
- Réponse : $M = 6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$, comme demandé — environ un dixième de la masse terrestre.
- Vérification : un « montrez que » est noté sur le raisonnement, alors écrivez l'équation, le réarrangement et la substitution, et laissez le nombre apparaître naturellement.
A planet has surface field strength $25\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ and radius $7.0 \times 10^{7}\ \text{m}$. What is its mass, as a multiple of $10^{27}\ \text{kg}$? · Une planète a une intensité de champ de surface de $25\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ et un rayon de $7.0 \times 10^{7}\ \text{m}$. Quelle est sa masse, en multiple de $10^{27}\ \text{kg}$ ?
$M = \dfrac{gR^{2}}{G} = \dfrac{25 \times (7.0 \times 10^{7})^{2}}{6.67 \times 10^{-11}} = 1.84 \times 10^{27}\ \text{kg}$ — close to Jupiter. · $M = \dfrac{gR^{2}}{G} = \dfrac{25 \times (7.0 \times 10^{7})^{2}}{6.67 \times 10^{-11}} = 1.84 \times 10^{27}\ \text{kg}$ — proche de celle de Jupiter.
$r$ is the distance between the centres — never the gap between the surfaces, and never a height above the ground on its own. $G$ is tiny, which is why gravity between everyday objects is negligible; only a planet-sized mass makes it noticeable. And the two forces in the pair are equal, however different the masses — the apple pulls the Earth as hard as the Earth pulls the apple.
$r$ est la distance entre les centres — jamais l'espace entre les surfaces, ni jamais une hauteur au-dessus du sol isolément. $G$ est minuscule, c'est pourquoi la gravité entre objets quotidiens est négligeable ; seule une masse de taille planétaire la rend perceptible. Et les deux forces de la paire sont égales, quelle que soit la différence de masse — la pomme tire la Terre aussi fort que la Terre tire la pomme.
In $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$, the distance $r$ is measured between the ____ of the two masses. · Dans $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$, la distance $r$ est mesurée entre les ____ des deux masses.
A uniform sphere acts as a point mass at its centre, so for a satellite $r$ is the planet's radius plus the height above the surface. · Une sphère uniforme agit comme une masse ponctuelle en son centre, donc pour un satellite $r$ correspond au rayon de la planète plus l'altitude au-dessus de la surface.
You've got it
- $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$ — always attractive, along the joining line, equal on both masses
- it is an inverse-square law: double $r$ → quarter the force
- a uniform sphere acts as a point mass at its centre, so $r$ is centre-to-centre; $M = \dfrac{gR^{2}}{G}$ weighs a planet
Vous avez compris
- $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$ — toujours attractive, le long de la ligne de jonction, égale sur les deux masses
- c'est une loi en inverse du carré : doublez $r$ → divisez la force par quatre
- une sphère uniforme agit comme une masse ponctuelle à son centre, donc $r$ est de centre à centre ; $M = \dfrac{gR^{2}}{G}$ pèse une planète