Structure 1.5 · Gaz parfaits

Ce document enseigne la Structure 1.5, les gaz idéaux, pour le cours évalué pour la première fois en 2025. Tout le contenu est SL et HL.

Prérequis : la quantité de matière $n$ en mol et la masse molaire tirées de la Structure 1.4, ainsi que la réarrangement d'une équation. Vous utiliserez la constante des gaz $R = 8.31\ \text{J K}^{-1}\ \text{mol}^{-1}$ et le volume molaire $22.7\ \text{dm}^3\ \text{mol}^{-1}$ du fascicule de données.

Pourquoi une canette scellée éclate-t-elle dans un feu ?

Chauffez une canette scellée et la pression interne augmente jusqu'à ce que la canette se fende. Poussez de l'air dans un pneu de vélo et il devient plus dur. Pressez une seringue d'air avec l'extrémité bouchée et elle résiste. Un seul modèle simple explique ces trois phénomènes.

Cinq hypothèses

La théorie cinétique des gaz représente un gaz comme un grand nombre de particules minuscules en mouvement rapide et aléatoire. Un gaz idéal est celui qui obéit exactement à ce modèle :

1. Les particules se déplacent aléatoirement en lignes droites jusqu'à ce qu'elles entrent en collision.
2. Le volume des particules elles-mêmes est négligeable par rapport au volume du récipient.
3. Il n'y a pas de forces intermoléculaires entre les particules.
4. Toutes les collisions sont élastiques : aucune énergie cinétique n'est perdue.
5. L'énergie cinétique moyenne des particules est proportionnelle à la température en kelvin.

La pression est la force par unité de surface que les particules exercent lorsqu'elles heurtent les parois du récipient. Plus d'heurts par seconde, ou des heurts plus violents, signifient une pression plus élevée.

La température doit être en kelvin

L'échelle kelvin commence au zéro absolu, la température la plus basse possible, où les particules n'auraient aucune énergie cinétique.

La température en kelvin est proportionnelle à l'énergie cinétique moyenne des particules. Ce n'est pas le cas pour la température en celsius : $40\ ^{\circ}\text{C}$ n'est pas deux fois plus chaud que $20\ ^{\circ}\text{C}$, mais $400\ \text{K}$ est le double de $200\ \text{K}$. Tous les calculs sur les gaz utilisent le kelvin.

Trois relations pour une quantité fixe de gaz

Changez une quantité, maintenez une autre fixe, et observez la troisième. Chaque résultat s'explique par le comportement des particules.

Un graphique de $p$ en fonction de $V$ est une courbe, ce qui le rend difficile à vérifier. Tracez plutôt $p$ en fonction de $\dfrac{1}{V}$ : une droite passant par l'origine indique que $p \propto \dfrac{1}{V}$.

La loi combinée des gaz

Les trois relations se combinent en une seule équation pour une quantité fixe de gaz :

N'importe quelles unités de pression et de volume fonctionnent, tant que les deux côtés utilisent les mêmes. La température doit être en kelvin.

Exemple résolu. Un gaz occupe $250\ \text{cm}^3$ à $20\ ^{\circ}\text{C}$ et $100\ \text{kPa}$. Il est chauffé jusqu'à $80\ ^{\circ}\text{C}$ et la pression augmente jusqu'à $150\ \text{kPa}$. Trouvez le nouveau volume.

1. Convertir en kelvin : $T_1 = 293\ \text{K}$, $T_2 = 353\ \text{K}$.
2. Réarranger : $V_2 = \dfrac{p_1 V_1 T_2}{p_2 T_1}$.
3. Substituer : $V_2 = \dfrac{100 \times 250 \times 353}{150 \times 293} = 201\ \text{cm}^3$.
4. Vérifier : la pression plus élevée comprime le gaz et la température plus élevée l'expande. Les deux effets s'annulent presque, donc un volume proche de $250\ \text{cm}^3$ est cohérent.

Égal volumes, égal nombre de particules

Dans un gaz parfait, les particules ont un volume négligeable, donc le volume d'un gaz dépend uniquement du nombre de particules qu'il contient, pas de leur nature. Loi d'Avogadro : des volumes égaux de tous les gaz à la même température et pression contiennent le même nombre de particules.

Ainsi, une mole de tout gaz parfait a le même volume à une température et une pression données. C'est le volume molaire. À température et pression normales (STP : $273\ \text{K}$ et $100\ \text{kPa}$) :

Par exemple, $0.500\ \text{mol}$ d'oxygène ou de dioxyde de carbone à STP occupent chacun $0.500 \times 22.7 = 11.4\ \text{dm}^3$.

Comme le volume est proportionnel à la quantité, les coefficients dans une équation bilan pour les gaz donnent aussi leur rapport volumique. Dans $\text{N}_2(\text{g}) + 3\text{H}_2(\text{g}) \rightarrow 2\text{NH}_3(\text{g})$, $10\ \text{cm}^3$ d'azote réagit avec $30\ \text{cm}^3$ d'hydrogène pour donner $20\ \text{cm}^3$ d'ammoniac, toutes mesurées à la même température et pression.

Équation des gaz parfaits

En intégrant la quantité dans la loi combinée, on obtient l'équation des gaz parfaits :

$R$ est la constante des gaz, $8.31\ \text{J K}^{-1}\ \text{mol}^{-1}$. Les unités doivent correspondre à $R$ :

Un raccourci utile : kPa multiplié par dm$^3$ donne aussi des joules, vous pouvez donc utiliser kPa avec dm$^3$ dans la même équation.

Exemple résolu : trouver une masse molaire. Un échantillon de gaz de $0.320\ \text{g}$ occupe un volume de $180\ \text{cm}^3$ à $300\ \text{K}$ et $100\ \text{kPa}$. Trouvez sa masse molaire.

1. Conversion : $p = 1.00 \times 10^{5}\ \text{Pa}$, $V = 180 \times 10^{-6} = 1.80 \times 10^{-4}\ \text{m}^3$.
2. Quantité de matière : $n = \dfrac{pV}{RT} = \dfrac{1.00 \times 10^{5} \times 1.80 \times 10^{-4}}{8.31 \times 300} = 7.22 \times 10^{-3}\ \text{mol}$.
3. Masse molaire : $M = \dfrac{m}{n} = \dfrac{0.320}{7.22 \times 10^{-3}} = 44.3\ \text{g mol}^{-1}$.
4. Interprétation : cette valeur est proche de $44.0\ \text{g mol}^{-1}$, le gaz pourrait donc être du dioxyde de carbone ou du propane.

Quand le modèle échoue

Un gaz réel se comporte presque idéalement à haute température et basse pression. Il s'en écarte le plus à basse température et haute pression, car deux hypothèses ne sont plus valables.

• Haute pression. Les particules sont poussées les unes contre les autres, leur propre volume n'est plus négligeable. L'espace disponible pour leur mouvement est inférieur au volume du récipient, et le volume mesuré est plus grand que ce que $pV = nRT$ prédit.
• Basse température. Les particules se déplacent lentement, permettant aux attractions intermoléculaires de s'exercer. Une particule sur le point de heurter la paroi est attirée en arrière par ses voisines, elle heurte moins fort et la pression est inférieure à celle prédite.

Les gaz présentant de fortes attractions intermoléculaires, comme l'ammoniac et la vapeur d'eau, s'écartent davantage des gaz aux faibles forces attractives, comme l'hélium et l'hydrogène.

Nous pouvons comparer un gaz réel au modèle en traçant $\dfrac{pV}{nRT}$ en fonction de la pression. Pour un gaz idéal, ce rapport est exactement 1 à toute pression.

Mesurer le comportement gazeux en laboratoire

Pour tester $p \propto T$, chauffez un ballon scellé d'air dans un bain d'eau relié à un capteur de pression. Laissez le gaz atteindre la température du bain avant chaque lecture, et restez dans les limites de température et de pression fixées par votre enseignant. Ne jamais chauffer un récipient scellé qui n'y est pas conçu.

1. Convertissez $-23\ ^{\circ}\text{C}$ et $127\ ^{\circ}\text{C}$ en kelvin.
2. Un gaz à $300\ \text{K}$ et $120\ \text{kPa}$ dans un récipient rigide est refroidi jusqu'à $250\ \text{K}$. Trouvez la nouvelle pression.
3. Calculez le volume de $0.0400\ \text{mol}$ d'un gaz à la TPN, en cm$^3$.
4. Calculez le volume, en dm$^3$, de $0.500\ \text{mol}$ de gaz à $298\ \text{K}$ et $101\ \text{kPa}$.
5. $1.00\ \text{g}$ d'un gaz occupe $0.763\ \text{dm}^3$ à $273\ \text{K}$ et $100\ \text{kPa}$. Trouvez sa masse molaire et identifiez le gaz.
6. Expliquez, en termes de particules, pourquoi la pression d'un gaz augmente lorsqu'il est chauffé à volume constant.
7. Énoncez deux hypothèses du modèle du gaz parfait et expliquez pourquoi chacune échoue à haute pression ou basse température.

Réponses.

1. $250\ \text{K}$ et $400\ \text{K}$.
2. $p_2 = 120 \times \dfrac{250}{300} = 100\ \text{kPa}$.
3. $0.0400 \times 22.7 = 0.908\ \text{dm}^3 = 908\ \text{cm}^3$.
4. $V = \dfrac{nRT}{p} = \dfrac{0.500 \times 8.31 \times 298}{101} = 12.3\ \text{dm}^3$ (kPa avec dm$^3$).
5. $n = \dfrac{0.763}{22.7} = 0.0336\ \text{mol}$ ; $M = \dfrac{1.00}{0.0336} = 29.8\ \text{g mol}^{-1}$, proche de $30$ : éthane, $\text{C}_2\text{H}_6$, ou monoxyde d'azote, NO.
6. Les particules gagnent de l'énergie cinétique et se déplacent plus vite. Elles heurtent les parois plus fréquemment et avec plus de force, donc la force par unité de surface augmente.
7. Le volume des particules est négligeable : à haute pression, les particules sont proches et leur propre volume représente une part importante du conteneur. Pas de forces intermoléculaires : à basse température, les particules se déplacent lentement et les attractions les rapprochent, réduisant la pression.

• Convertissez toutes les températures en kelvin avant de substituer.
• Dans $pV = nRT$, utilisez Pa avec m$^3$, ou kPa avec dm$^3$ ; ne mélangez jamais kPa avec m$^3$.
• Dans la loi combinée des gaz, n'importe quelle unité de $p$ et $V$ fonctionne tant que les deux côtés correspondent.
• « Dévie à haute pression et basse température » rapporte un point uniquement si la raison est donnée : volume des particules et attractions intermoléculaires.
• Le volume molaire $22.7\ \text{dm}^3\ \text{mol}^{-1}$ s'applique à la TPN ($273\ \text{K}$, $100\ \text{kPa}$) seulement.