Derivatives and stationary points · Derivadas y puntos estacionarios
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| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | derivada |
What is the slope at one point?
- A curved road has different slopes at different positions. An average gradient cannot describe every point.
- This lesson studies derivative 导数: The instantaneous rate of change, also the gradient of a tangent.
¿Qué es la pendiente en un punto?
- Una carretera curva tiene diferentes pendientes en distintas posiciones. Una pendiente promedio no puede describir cada punto.
- Esta lección estudia derivada: La tasa de cambio instantánea, también la pendiente de una tangente.
Choose the mathematical structure
- For y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1). A stationary point satisfies dy/dx=0. Check the sign change of the derivative, or the second derivative when it is nonzero, to classify it.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Elija la estructura matemática
- Para y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1). Un punto estacionario satisface dy/dx=0. Verifique el cambio de signo de la derivada, o la segunda derivada cuando sea distinta de cero, para clasificarlo.
- Establezca las entradas permitidas y las unidades antes de calcular. Una ecuación debe expresar la relación, no solo registrar una entrada de calculadora.
Which description correctly defines derivative? · ¿Qué descripción define correctamente la derivada?
The instantaneous rate of change, also the gradient of a tangent. · La tasa de cambio instantánea, también la pendiente de una tangente.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
For y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. At x=1, the gradient is 0 and y=-2. The second derivative is 6x, positive at x=1, so this is a local minimum. At x=-1, y=2 and the second derivative is negative, giving a local maximum.
Trabaje a través de un caso verificado
- Verifique el resultado contra las cantidades iniciales. Sustituya en la relación original, o compare la gráfica y la respuesta numérica según corresponda.
Para y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. En x=1, la pendiente es 0 y y=-2. La segunda derivada es 6x, positiva en x=1, por lo que se trata de un mínimo local. En x=-1, y=2 y la segunda derivada es negativa, lo que da lugar a un máximo local.
Derivatives and stationary points · Derivadas y puntos estacionarios
For y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1) · Para y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
Compare the model with the worked case and explain one change. · Compara el modelo con el caso resuelto y explica un cambio.
For y=x³-3x, find dy/dx at x=2. · Para y=x³-3x, encuentra dy/dx en x=2.
dy/dx=3x²-3. At x=2 it is 12-3=9. · dy/dx=3x²-3. En x=2 es 12-3=9.
Test a tempting shortcut
- A zero derivative does not always mean a maximum or minimum: y=x³ is stationary at 0 but continues increasing. An endpoint can also produce an extreme value on a restricted domain.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Every point with zero derivative is a local maximum or minimum. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Pruebe un atajo tentador
- Una derivada nula no siempre significa un máximo o un mínimo: y=x³ es estacionaria en 0 pero sigue aumentando. Un extremo también puede aparecer en un dominio restringido.
- Cuando un atajo falla, identifique la suposición que rompe. Mantenga un valor exacto hasta el redondeo final solicitado.
Todo punto con derivada nula es un máximo o un mínimo local. Esta afirmación es falsa. Explique qué definición o suposición viola.
Find the y-coordinate of the stationary point at x=1. · Encuentra la coordenada y del punto estacionario en x=1.
Substitute into the original curve: y(1)=1-3=-2. · Sustituye en la curva original: y(1)=1-3=-2.
Every point with zero derivative is a local maximum or minimum. · Cada punto con derivada cero es un máximo o mínimo local.
A zero derivative does not always mean a maximum or minimum: y=x³ is stationary at 0 but continues increasing. An endpoint can also produce an extreme value on a restricted domain. · Una derivada cero no siempre significa un máximo o mínimo: y=x³ es estacionaria en 0 pero continúa aumentando. Un extremo también puede producirse en un punto final en un dominio restringido.
Interpret a new situation
- At GCSE/IGCSE use only the polynomial scope allowed by the tier; do not add chain, product or quotient rules there. At advanced level, connect the derivative to rates and optimization with a valid domain.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
Interprete una situación nueva
- En GCSE/IGCSE use solo el alcance polinómico permitido según el nivel; no añada las reglas de la cadena, producto o cociente en ese nivel. En niveles avanzados, conecte la derivada con tasas y optimización dentro de un dominio válido.
- Una solución completa proporciona el resultado matemático y explica lo que significa. Verifique si es posible en el contexto declarado.
For y=4x³, find dy/dx at x=2. · Para y=4x³, encuentra dy/dx en x=2.
The derivative is 12x²; at 2 it is 12×4=48. · La derivada es 12x²; en 2 es 12×4=48.
Match each part of a complete solution to its purpose. · Emparejar cada parte de una solución completa con su propósito.
An assumption justifies the model; a check tests the result; interpretation connects it to the question. · Una suposición justifica el modelo; una comprobación verifica el resultado; la interpretación lo conecta con la pregunta.
Use this in your course
- Current first-assessment-2021 Applications and Interpretation SL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
The instantaneous rate of change, also the gradient of a tangent. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
Use esto en su curso
- Aplicaciones e Interpretación SL de primera evaluación-2021 actual. Este es apoyo conceptual redactado; se necesita la guía completa para certificar cada objetivo.
- Proporcione el método antes de la respuesta final, y use las reglas de calculadora y fórmulas del examen. Revise una respuesta incorrecta localizando el primer paso inválido.
La tasa de cambio instantáneo, también conocida como la pendiente de una tangente. Elija la relación, muestre el método, verifique sus supuestos e interprete el resultado.