Rotational Inertia · Inercia Rotacional
| English | Español |
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| rotational inertia/rəʊˈteɪʃənl ɪˈnɜːʃə/ | inercia rotacional |
A skater spins faster by pulling her arms in
- A figure skater spins slowly with arms outstretched, then pulls them in and whirls into a blur.
- She added no push — she just moved her mass closer to the axis.
- How hard something is to spin depends on where its mass sits, not only how much.
- This "rotational stubbornness" is called rotational inertia 转动惯量.
Una patinadora gira más rápido al acercar los brazos
- Una patinadora de figura gira lentamente con los brazos extendidos, luego los acerca y se convierte en un borroso.
- No añadió ningún empujón; simplemente movió su masa más cerca del eje.
- Qué tan difícil es girar algo depende de dónde se encuentra su masa, no solo de cuánto tiene.
- Esta "terquedad rotacional" se llama inercia rotacional 转动惯量.
Mass distribution is everything
- Rotational inertia (moment of inertia) $I$ measures resistance to angular acceleration.
- For point masses: $I = \sum m r^2$ — each bit of mass counts by its distance squared.
- Mass far from the axis contributes far more than mass near it.
- Units are $\text{kg}\cdot\text{m}^2$.
La distribución de la masa lo es todo
- La inercia rotacional (momento de inercia) $I$ mide la resistencia a la aceleración angular.
- Para masas puntuales: $I = \sum m r^2$ — cada fragmento de masa cuenta por su distancia al cuadrado.
- La masa lejos del eje contribuye mucho más que la masa cerca de él.
- Las unidades son $\text{kg}\cdot\text{m}^2$.
Two $0.5\ \text{kg}$ balls sit $2\ \text{m}$ from the axis on a light rod. What is the rotational inertia, in $\text{kg}\cdot\text{m}^2$? · Dos pelotas de $0.5\ \text{kg}$ se encuentran a $2\ \text{m}$ del eje en una varilla ligera. ¿Cuál es la inercia rotacional, en $\text{kg}\cdot\text{m}^2$?
$I = \sum mr^2 = 2 \times (0.5 \times 2^2) = 4\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$.
Rotational inertia depends on: · La inercia rotacional depende de:
$I = \sum mr^2$ depends on both the mass and its distance from the axis (squared). · $I = \sum mr^2$ depende tanto de la masa como de su distancia al eje (al cuadrado).
For point masses, rotational inertia is the sum of $m r^{\_\_}$. Fill in the power. · Para masas puntuales, la inercia rotacional es la suma de $m r^{\_\_}$. Completa el exponente.
$I = \sum m r^2$ — distance appears squared · al cuadrado. · $I = \sum m r^2$ — la distancia aparece al cuadrado.
Move the same two $0.5\ \text{kg}$ balls to $1\ \text{m}$ from the axis. What is the new rotational inertia, in $\text{kg}\cdot\text{m}^2$? · Mueve las mismas dos pelotas de $0.5\ \text{kg}$ a $1\ \text{m}$ del eje. ¿Cuál es la nueva inercia rotacional, en $\text{kg}\cdot\text{m}^2$?
$I = 2 \times (0.5 \times 1^2) = 1\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ — halving $r$ quarters $I$. · $I = 2 \times (0.5 \times 1^2) = 1\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ — al reducir $r$ a la mitad, $I$ se reduce a un cuarto.
Shape matters, so it has standard formulas
- The same mass can have very different $I$ depending on its shape and axis.
- A hollow ring (all mass at the rim) has more $I$ than a solid disk of the same mass.
- Standard shapes have known formulas, e.g. a solid disk is $I = \tfrac12 M R^2$.
- The $r^2$ weighting is why hollow objects feel "heavier" to spin.
La forma importa, por eso hay fórmulas estándar
- La misma masa puede tener una $I$ muy diferente dependiendo de su forma y eje.
- Un anillo hueco (toda la masa en el borde) tiene más $I$ que un disco sólido de la misma masa.
- Las formas estándar tienen fórmulas conocidas, por ejemplo, un disco sólido es $I = \tfrac12 M R^2$.
- El peso de $r^2$ es por qué los objetos huecos se sienten "más pesados" para girar.
Two objects have the same mass. Select all · todos ways to make one harder to spin than the other. · Dos objetos tienen la misma masa. Selecciona todas las formas de hacer que uno sea más difícil de girar que el otro.
Moving mass outward (rim, hollow ring) raises $I$. Colour has no effect. · Mover la masa hacia afuera (borde, anillo hueco) aumenta $I$. El color no tiene efecto.
Back to the skater
- Pulling her arms in shrinks $r$, so her $I$ drops sharply (because of the $r^2$).
- With angular momentum conserved (next topic), a smaller $I$ means a larger $\omega$ — she speeds up.
- Divers and gymnasts tuck for the same reason: small $I$, fast spin.
- Extend again and the spin slows back down.
De vuelta a la patinadora
- Al acercar los brazos reduce $r$, por lo que su $I$ disminuye drásticamente (debido al $r^2$).
- Con la conservación del momento angular (tema siguiente), una $I$ menor significa una $\omega$ mayor — gira más rápido.
- Los saltadores de plataforma y gimnastas hacen mueca por la misma razón: pequeña $I$, giro rápido.
- Si vuelve a extenderlos, el giro vuelve a desacelerar.
More or less rotational inertia? · ¿Más o menos inercia rotacional?
Rotational inertia depends on how far the mass sits from the axis. Sort each case. · La inercia rotacional depende de qué tan lejos se encuentre la masa del eje. Ordena cada caso.
A spinning skater speeds up when she pulls her arms in because her rotational inertia decreases. · Un patinador que gira acelera cuando acerca los brazos porque su inercia rotacional disminuye.
Smaller $r$ means smaller $I$; with angular momentum conserved, $\omega$ rises. · Un radio $r$ más pequeño significa una $I$ menor; con el momento angular conservado, $\omega$ aumenta.
Rotational inertia is not just mass — it depends on how the mass is arranged. Two objects of equal mass can be very different to spin. Because of the $r^2$, mass at the rim matters far more than mass near the axis.
La inercia rotacional no es solo la masa — depende de cómo está distribuida la masa. Dos objetos de igual masa pueden ser muy diferentes de girar. Debido al $r^2$, la masa en el borde importa mucho más que la masa cerca del eje.
Two $0.5\ \text{kg}$ balls sit on a light rod, each $2\ \text{m}$ from the axis.
- $I = \sum m r^2 = 2 \times (0.5 \times 2^2) = 2 \times 2 = 4\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$.
Move them to $1\ \text{m}$ and $I$ drops to $2 \times (0.5 \times 1) = 1\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ — four times smaller.
Dos bolas de $0.5\ \text{kg}$ están sobre una varilla ligera, cada una a $2\ \text{m}$ del eje.
- $I = \sum m r^2 = 2 \times (0.5 \times 2^2) = 2 \times 2 = 4\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$.
Si las mueve a $1\ \text{m}$, la $I$ baja a $2 \times (0.5 \times 1) = 1\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ — cuatro veces menor.
Rotational inertia $I$ is the resistance to angular acceleration: $I = \sum mr^2$. It depends on where the mass sits (distance squared), not just how much — so a skater pulling her arms in lowers $I$ and spins faster. Units: $\text{kg}\cdot\text{m}^2$.
Inercia rotacional $I$ es la resistencia a la aceleración angular: $I = \sum mr^2$. Depende de dónde se encuentra la masa (distancia al cuadrado), no solo de cuánta hay — así que una patinadora que acerca los brazos reduce su $I$ y gira más rápido. Unidades: $\text{kg}\cdot\text{m}^2$.